线性代数练习题(行列式)
线性代数习题行列式(最新整理)
a n (a 1)n (a n)n
a n1 (a 1)n1 (a n)n1
(3) Dn1
;
a
a1 an
1
1
1
提示：利用范德蒙德行列式的结果．
an
bn
0
(4) D2n 0
a1 b1 c1 d1
0;
0
cn
dn
(5) Dn det(aij ),其中aij i j ;
8
1 a1 1
（3）逆序数为 5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1
（4）逆序数为 3：2 1，4 1，4 3
n(n 1)
（5）逆序数为
：
2
32
1个
5 2，5 4
2个
7 2，7 4，7 6
3个
………………
…
(2n 1) 2，(2n 1) 4，(2n 1) 6，…，(2n 1) (2n 2) (n 1)
1
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1 2 3 4；
（2）4 1 3 2；
（3）3 4 2 1；
（4）2 4 1 3；
（5）1 3 … (2n 1) 2 4 … (2n) ；
（6）1 3 … (2n 1) (2n) (2n 2) … 2.
解（1）逆序数为 0
（2）逆序数为 4：4 1，4 3，4 2，3 2
a1n ann
n( n1)
n( n1)
n( n1)
D3 (1) 2 D2 (1) 2 (1) 2 D (1)n(n1) D D
7.计算下列各行列式（ Dk为k阶行列式 ）：
a
1
(1) Dn ,其中对角线上元素都是 a ，未写出的元素都是 0；
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
线性代数章节练习题
b b2 ac
c
a
c2 a2
ab abc
b b2 abc
c c2 abc
abc
111
(a b c) a2 b2 c2 (a b c) a b c
111
a2 b2 c2
(a b c)(b a)(c a)(c b)
246 427 327 1000 427 327 1000 100 327 （2） 1014 543 443 2000 543 443 2000 100 443
D 2 0
2 7
2 0
2 0
5 3 2 2
求第四行各元素的余子式之和的值。
8 计算 n 阶行列式
x y 00 0 0 x y0 0 Dn 0 0 0x y y 0 00 x
3 1 1 9 计算行列式 D 1 5 1 。
1 1 3
3 2 2 10 计算三阶行列式 D k 1 k 。
（C） C PT AP
（D） C PAPT
13 计算
0 1 0 2007 1 2 3 0 1 0 2006 1 0 0 4 5 61 0 0 0 0 1 7 8 9 0 0 1
14 设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。 （1）证明 B 可逆；（2）求 AB-1
（C）当 n m 时，必有 AB 0
（D）当 n m 时，必有 AB 0 18 证明 R( A B) R( A) R(B)
4 1 41 则
R(BA 2A)
19 A 为 m p 矩阵，B 为 p n 矩阵，若 AB=0 证明： R( A) R(B) P
20 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若 R( A) . 证明 R( A E) n r ，其中 E 为 n 阶单位阵
线性代数习题
线性代数习题景德镇陶瓷学院信息工程学院第一章 行列式习题1、若排列x 1 x 2……x n-1 x n 的逆序数为I ，问排列x n x n-1……x 2 x 1的逆序数是多少？2、选择i 与k ，使（1）1274i56k9成偶排列 （2） 1i25k4897成奇排列3、计算排列2K ，1，2K-1，2，2K-2，3……K+1，K 的逆序数，并讨论它的奇偶性。
4、在六阶行列式中，项：a 23a 31a 42a 56a 14a 65，a 32a 43a 14a 51a 66a 25各应带什么符号5、根据行列式定义，计算：()x x x x x x f 111123111212-=中X 4与X 3的系数。
6、计算行列式D=2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a7、计算行列式D=nx x x nx x x nx x x n n n +++++++++ 212121222111注：n 阶行列式计算的常用方法有：（1）按定义展开：直接用定义展开计算；（2）三角化：即利用行列式的基本性质，使行列式主对角线一侧的元素都变为零（如第9题）；（3）拆子列：利用行列式的性质50，将行列式化为两个较简单的行列式来计算。
（如第7、8、10题）；（4）递推法：设法找出n 阶行列式D n 与低阶行列式的关系（往往要用归纳法验证），再递推求出D n 的值。
（如第8题）；（5）降阶法：利用行列式按行（列）展开定理，将行列式降阶后求解； （6）应用范德蒙行列式：将行列式变形，化成范德蒙行列式。
具体计算n 阶行列式时应根据行列式特点单独或综合运用上述方法。
8、证明：6 D n =βαβααββααββα++++10000010001000 =βαβα--++11n n9、计算nD (333)...............3 (33)33...3233 (331)=10、计算行列式yy x x -+-+111111111111111111、求一个二次多项式f(x)，使f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28。
线性代数第一章行列式训练题解
线性代数第一章行列式训练题一、单项选择题1．二阶行列式1221−−k k ≠0的充分必要条件是（ ）A ．k ≠–1B ．k ≠3C ．k ≠–1且k ≠3D ．k ≠–1或≠3答案：C2．设行列式2211b ab a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．–3B ．–1C ．1D ．3 注22112211222111c a c a b a b a c b a c b a +=++答案：D3.如果方程组=+=−=−+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.–2 B.–1C.1D.2 注：使04014013=−−kk答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．–15 B ．–6 C ．6D ．15答案：C 5．3阶行列式ji a =011101110−−−中元素21a 的代数余了式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 0111)1(12−−+ 答案：C6.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a −−−=（ ） A.–24 B.–12 C.–6D.12答案：B 7．行列式11110111111110−−−−−−第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：B 8.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m–nB.n–mC.m+nD.–（m+n ）答案：B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数部分练习题
线性代数部分练习题线性代数部分练习题⼀、⾏列式、矩阵的运算 (第⼀、⼆章)1.设a ,b 为实数，且000101ab ba-=--，则（）A.a =0,b =0;B.a =1,b =0;C.a =0,b =1;D.a =1,b =1 2．排列53142的逆序数(53142)τ=（） A ．7 ; B ．6; C ．5 ; D ．43. 计算⾏列式=----32320200051020203（） A.-180; B.-120; C.120; D.1804. 设⾏列式D 1=22221111a c b a a c b a ac b a +++，D 2=222111c b a c b a c b a ，则D 1= ）A ．0;B ．D 2;C ．2D 2;D ．3D 25. 已知⾏列式a52231521-=0，则数a =( )A.-3;B.-2;C.2;D.36. 设⾏列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=（） A ．-12; B ．-6; C ．6; D ．12 7. 设⾏列式==1111034222,1111304z y x zy x 则⾏列式( )A.32; B.1; C.2; D.38 8. 设⾏列式01110212=-k k ，则k 的取值为（）A.2;B.-2或3;C.0 ;D.-3或29. 设矩阵A =（1，2），B =?4321，C ???? ??=654321则下列矩阵运算中有意义的是（） A ．ACB; B ．ABC; C ．BAC; D ．CBA 10．设A 为三阶⽅阵，且|A |=2，则|-2A |=（） A ．-16; B ．-4; C ．4; D ．1611．设矩阵123456709??=A ，则*A 中位于第2⾏第3列的元素是（）A ．-14;B ．-6;C ．6;D ．1412．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有（）A ．1-=A A ; B ．=-A E ; C ．=A E ; D ．1=A13．下列等式中正确的是（） A ．()222B BA AB A B A +++=+B ．()T T TB A AB =C ．()()22B A B A B A -=+- D ．()A A A A 233-=-14. 设A =?4321，则|2A *|=（） A.-8; B.-4; C.4; D.815. 设A ，B ，C 均为n 阶⽅阵，AB =BA ，AC =CA ，则ABC =（） A ．ACB; B ．CAB; C ．CBA ; D ．BCA16. 设A 为3阶⽅阵，B 为4阶⽅阵，且⾏列式|A |=1，|B |=-2，则⾏列式||B |A |的值为（） A ．-8; B ．-2; C ．2; D ．817. 设矩阵A =-11，B =（1，1）则AB =（）A ．0;B ．（1，-1）;C ．???? ??-11 ;D ．--111118. 设n 阶矩阵A 、B 、C 满⾜ABC =E ，则C -1=( ) A. AB; B. BA; C. A -1B -1; D. B -1A -119.已知2阶⾏列式第1⾏元素为2和1，对应的余⼦式为-2和3，则该⾏列式的值为__________.20.阶⾏列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余⼦式A 21=____________.21. 在四阶⾏列式中，项a 31a 22a 43a 14的符号是____________.22. 在五阶⾏列式中，项a 21 a 32 a 45 a 14 a 53的符号为_____________.23. 已知四阶⾏列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的代数余⼦式依次分别为5，-3，-7，-4，则D=_______24. 设⾏列式304222532D =-，其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为____________.25. 已知⾏列式333222111c b a c b a c b a =1,则333333222222111111c b a b a a c b a b a a c b a b a a +--+--+--=______________. 26. ⾏列式11124641636=________.27. 已知3阶⾏列式|A|中第3列元素依次为-1，2，0，它们的余⼦式依次为5，3，-7，则|A|=__________.28. 3阶⾏列式767367949249323123=________.29.设矩阵011001000?? ?= ?A ，则A 2=______．30.111,,2(2),16A B A B A A --==-是两个四阶⽅阵，且则|B |=__________. 31.设A ，B 都是3阶矩阵，且|A |=2，B = -2E ，则|A -1B |=_________. 32.设A 、B 均为三阶⽅阵，|A |=4，|B |=5，则|2AB |=__________. 33.排列12453的逆序数为____________.34.已知A 2-2A -8E =0，则(A +E )-1=____________. 35. 设矩阵A =?-2112，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满⾜BA=B +E ，则|B |=___________. 36. 设A =411023, B =,010201则AB =___________. 37. 已知矩阵A =（1，2，-1），B =（2，-1，1），且C =A T B ，则C 2=__________.38. 设矩阵A =100012021，B =????? ??310120001，则A+2B =_____________.40．计算四阶⾏列式1234123412341234------41. 已知3阶⾏列式1120212x x-中元素12a 的代数余⼦式A 12=2，求元素21a 的代数余⼦式A 21的值.43. 求D =012010122101021046. 计算3112513420111533------47. 计算1 1 -1 2-1 -1 -4 12 4 -6 11 2 4 250. 计算422223222222222153. n 阶⾏列式n a b b b b a bb D bb ab b b ba=.56.计算123110311211230123(1)n n n n n nD nn ------=--------. 57. n 阶⾏列式11111 1111111n n n D nn=. 58. 设A ＝210011001??-??，B ＝102101?? ? ? ???，⼜AX ＝B ，求矩阵X.60. 已知矩阵A =111210101??- ? ?，B =100210021?? ? ? ???，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.63.2A A A E O --2=设⽅阵满⾜⽅程：，+2A A E 证明：与都可逆，并求它们的逆矩阵。
线性代数行列式部分练习题及答案
《线性代数与解析几何》练习题行列式部分一．填空题：1．已知41132213----=D 用ij A 表示D 的元素ij a 的代数余子式，则21222323______A A A --+=，31323323____A A A --+=，行列式__________333231232221131211=A A A A A A A A A 2．12434003209106412a a a a a 的的代数余子式的值等于________。
3.设512312123122x x x D xxx=，则D 的展开式中3x 的系数为______4.4阶行列式111213142122232414423132333441424344a a a a a a a a D a a a a a a a a a a =展开式中含有因子的项为______和______5.行列式234234234234a a a ab b b b Dc c c c dd d d =＝______6．设xx x x x f 321132213321)(=则(4)_____f = 7．设0112520842111111154115212111111541132111111323232=++-x x xx x xx x x上述方程的解______________________=x8．行列式112233440000000a b a b D b a b a ==__________ 9．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ 只有零解，则λ应满足_________条件。
10．若方程123123123020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k ＝_________或k ＝________。
11．行列式xy yyx y yyx＝______ 12.行列式1110110110110111＝______13．行列式000000000ab c de f＝______14．方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有唯一解时，对λ的要求是______二．计算题： 1．已知5阶行列式270513422111542131122254321=求434241A A A ++和4544A A +，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式。
线性代数—行列式题库
1 x x2 27、方程 1 2 4 = 0 的根的个数是 2 个。（ ）
13 9
28、 n(n > 1) 阶行列式主对角线上的元素全为零，则行列式的值必为零。（ ）
−3 0 4 29、行列式 5 0 3 中元素 3 的代数余子式是-6。（ ）
de
ab
ab
de
（A）
； （B）-
； （C）
； （D）-
gh
gh
gh
gh
12 5
7、若行列式 1 3 −2 =0 ，则 x = （ ）。
25 x
（A）2
（B） − 2
（C）3
8、线性方程组
3xx11
+ 2x2 + 7x2
=3 =4
，则方程组的解
(
x1
,
x2
)
=
（
（A）（13，5） （B）（-13，5） （C）（13，-5）
18、以下哪种情况，行列式的值为零（ ）。
（A）行列式某列元素全部相等
（B）行列式某列元素的余子式全为 0
（C）行列式某行元素全部相等
（D）行列式两行互换
19、下列哪种情况下，行列式的值一定不变（ ）。
2
（A）行列式转置
（B）行列式两列互换
（C）行列式某一列元素全部反号
（D）行列式两行互换
11 1
（C） a1a2b1b2c1c2d1d2
（D） (a1b2 − a2b1)(c1d2 − c2d1)
a1 b1 c1
c1 b1 + 2c1 a1 + 2b1 + 3c1
16、设行列式 D = a2 b2 c2 ，则 c2 b2 + 2c2 a2 + 2b2 + 3c2 = （ ）。
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线性代数练习题（行列式）A
一、填空题
1、-=--362
2
36623
2、
=00010020
03004000
3、_____________)631254
(=N 4、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为
5. 行列式2
430123
21---中元素0的代数余子式的值为_______
二、选择题 1、
=11
a a
（ ）
----+1111A a B a C a
D a
3、+=-010
111111a
a
（ ） +++-11(1)(1)A a B a C a D a a
5、若≠314
001
0x
x x
，则=x （ ）
≠≠≠≠≠≠020202且或A x x B x x C x D x
6、=111011011011
0111
（ ）
--2331A B C
D
7、=222
111
x
y z x y z （ ） ---+++++()()()()()()A y x z x z y B
xyz C y x z x z y D
x y z
三、设行列式 2
92170216
3332314----=D ，不计算ij A 而直接证明：
444342412A A A A =++
线性代数练习题（行列式）B
一、填空题
1、 设ij A 是n 阶行列式中元素ij a 的代数余子式，则
=∑1
n
ik
jk k a
A =
2、 设=3(1,2,3,4)i A i 是行列式12345678
2348
6789
中元素3i a 的代数余子式，
+++=132********A A A A
3、 各列元素之和为零的n 阶行列式之值等于
4、 设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则
=00
A B
；
=00
A B
5、 设=(,1,2)ij A i j 为行列式=
21
31
D 中元素ij a 的代数余子式，则=1121
12
22A A A A 6、 方程
-+-=
----1321360
1
2
2
14
x x x x 的根为
7、 已知齐次线性方程组λ+-=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=⎩1231231
232020340
x x x x x x x x x 有非零解，则λ=
8、 若11223344,,,a a a a 都不等于零，则方程组
+++=⎧⎪++=⎪
⎨
+=⎪⎪=⎩
1111221331441
22223324423333443
3444a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b 有 解。
二、选择题 1、若
=111221220a a a a ，则方程组+=⎧⎨+=⎩111122
2112220
a x a x a x a x （ ） A 无解 B 有无穷多解 C 有唯一解 D 不一定
2、->11
01004a a a
的充分必要条件是（ ）
<>-><2222A a B a C a D a
3、λ
λ=-2
1
2
001
11
的充分必要条件是（ ） λλλλλ==-===-2203,2A B C D
4、4阶行列式
1122334
4
000
0000
a b a b b a b a 的值等于（ ） -+----1234123412341234
1212343423231414()()()()
A a a a a b b b b
B a a a a b b b b
C a a b b a a b b
D a a b b a a b b
5、若==≠11
121321
222331
32
33
0a a a D a a a M a a a ，而∆=11
1213
31
3233212223
222222a a a a a a a a a ，则∆=（ ）
--2244A M B M C M D M
6、如果304050x y z y z x y z λλ+-=⎧⎪
+=⎨⎪--=⎩
有非零解，则λ=（ ）
0113 A B C D
--
7、当k=（）时，
20
20
kx z
ky z
kx y z
+=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪-+=
⎩
只有零解
0122 A B C D
--三、计算题
1、101
011
111
110
a
b
c
d
--
---
-
2、
x a a a
b x a a
b b x a
b b b x
答案：A 一、1、343； 2、-4！
二、1、A ；3、B ；5、B ；6、C ；7、A B 一、1、0D i j
i j
=⎧⎨
≠⎩； 2、0；3、0；4、,(1)mn A B A B -，5、-1
6、3,2x =-；
7、令系数行列式等于零，为使第2，3列成比例，4λ=
8、因其行列式11120nn D a a a =≠ ，故有唯一解。
二、1、B ；2、D ；3、D ；4、D ；5、D ；6、C,D ；7、A,B,D 三、1、按行（列）展开，得4D a b d =++
2、将11a x =拆成()b x b +-，第一列其它的b 写成0b +，依第一列拆成两个行列式之和，可得递推公式1()()n n n b x a x b -∆=-+-∆，由此得[()()]/n n n a x b b x a a b ∆=---- 四、证明题
用行列式的性质证明
11122122111211
12
12111221222122
3
4
21
22
0000a a a a a a b b b b a a b b b b =
∙**** 其中(1,2,3,4)i i *=为任意数。