线性代数行列式计算习题课最终版.ppt
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线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
线性代数PPT行列式
行列式的计算公式是n阶行列式的展开式， 即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
行列式典型例题ppt课件 (2)
7
例3
计算n阶行列式
x1 a2 a3 an
a1 x2 a3 an
D n
a1
a2
x3
an
a1 a2 a3 xn
加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素 外分别是某个数的倍数.
8
x1 a2 a3 an
a1 x2 a3 an
D n
a1
a2
x3
an
a1 a2 a3 xn (n)
1 0 0 0 0
1 1 1 1
1
2
2 2 2
n1
Vn n! 1
3
32
3
n1 .
1
n
n n 2
n1
6
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
V n n! (ai a j) 1 j i n n!(2 1)(3 1)(n 1) • (3 2)(4 2)(n 2)[n (n 1)] n!(n 1)!(n 2)! 2!1!.
xa a a a a a a
0 x a a a x a
Dn 0 a x a a a a
0 a a x a a x
即
D n (x a )D n 1 a (x a )n 1
（1）
14
利用类似的方法，可得
xa a
0x
Dn
0 a
a a a a
a a x a
x a a x
行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行 列式而求得其值，所以
10
1
1
1 Dn
1
1
a1
a2
a3
an
a1 x1 a2 x2 a3 x3
an xn
1
例3
计算n阶行列式
x1 a2 a3 an
a1 x2 a3 an
D n
a1
a2
x3
an
a1 a2 a3 xn
加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素 外分别是某个数的倍数.
8
x1 a2 a3 an
a1 x2 a3 an
D n
a1
a2
x3
an
a1 a2 a3 xn (n)
1 0 0 0 0
1 1 1 1
1
2
2 2 2
n1
Vn n! 1
3
32
3
n1 .
1
n
n n 2
n1
6
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
V n n! (ai a j) 1 j i n n!(2 1)(3 1)(n 1) • (3 2)(4 2)(n 2)[n (n 1)] n!(n 1)!(n 2)! 2!1!.
xa a a a a a a
0 x a a a x a
Dn 0 a x a a a a
0 a a x a a x
即
D n (x a )D n 1 a (x a )n 1
（1）
14
利用类似的方法，可得
xa a
0x
Dn
0 a
a a a a
a a x a
x a a x
行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行 列式而求得其值，所以
10
1
1
1 Dn
1
1
a1
a2
a3
an
a1 x1 a2 x2 a3 x3
an xn
1
高等数学线性代数行列式教学ppt(1)
例1 计算下列排列的逆序数.
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
1） ２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质 二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行 列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
线性代数课件第一章行列式-习题课PPT
线性代数课件第一章 习题课
目录
• 习题回顾 • 习题解析 • 习题解答 • 习题拓展
01
习题回顾
习题一：二阶行列式的计算
总结词
理解二阶行列式的计算规则
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本概念，通过习题一，学生应掌握二阶行列式的 计算方法，理解行列式的定义和性质，为后续学习打下基础。
习题二：三阶行列式的计算
06
详细描述
通过习题的拓展，学生可以学会应用行列式解 决物理问题，如利用行列式计算物理量如力矩、 动量等。
THANKS
感谢观看
04
习题拓展
拓展一：高阶行列式的计算
总结词
掌握高阶行列式的计算方法
详细描述
高阶行列式是线性代数中的重要概念，通过习题的拓展， 学生可以掌握高阶行列式的计算方法，包括对角线法则、 Laplace定理等。
总结词
理解高阶行列式的性质
详细描述
通过习题的拓展，学生可以深入理解高阶行列式的性质， 如转置行列式、行列式的乘法、行列式的加减法等。
解析三：代数余子式的计算方法
深化理解
代数余子式是线性代数中一个重要的概念，它涉及到行列式的展开和计算。通过习题课，学生可以深 入理解代数余子式的定义和计算方法，掌握其在实际问题中的应用，提高解决线性代数问题的能力。
03
习题解答
解答一：二阶行列式的计算答案
总结词
掌握二阶行列式的计算方法
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本 概念，通过计算二阶行列式，可 以掌握行列式的计算方法，为后 续学习高阶行列式打下基础。
总结词
掌握三阶行列式的计算技巧
详细描述
三阶行列式是线性代数中一个重要的概念，通过习题二，学生应学会如何计算三 阶行列式，理解其性质和计算技巧，加深对线性代数基本概念的理解。
目录
• 习题回顾 • 习题解析 • 习题解答 • 习题拓展
01
习题回顾
习题一：二阶行列式的计算
总结词
理解二阶行列式的计算规则
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本概念，通过习题一，学生应掌握二阶行列式的 计算方法，理解行列式的定义和性质，为后续学习打下基础。
习题二：三阶行列式的计算
06
详细描述
通过习题的拓展，学生可以学会应用行列式解 决物理问题，如利用行列式计算物理量如力矩、 动量等。
THANKS
感谢观看
04
习题拓展
拓展一：高阶行列式的计算
总结词
掌握高阶行列式的计算方法
详细描述
高阶行列式是线性代数中的重要概念，通过习题的拓展， 学生可以掌握高阶行列式的计算方法，包括对角线法则、 Laplace定理等。
总结词
理解高阶行列式的性质
详细描述
通过习题的拓展，学生可以深入理解高阶行列式的性质， 如转置行列式、行列式的乘法、行列式的加减法等。
解析三：代数余子式的计算方法
深化理解
代数余子式是线性代数中一个重要的概念，它涉及到行列式的展开和计算。通过习题课，学生可以深 入理解代数余子式的定义和计算方法，掌握其在实际问题中的应用，提高解决线性代数问题的能力。
03
习题解答
解答一：二阶行列式的计算答案
总结词
掌握二阶行列式的计算方法
详细描述
二阶行列式是线性代数中的基本 概念，通过计算二阶行列式，可 以掌握行列式的计算方法，为后 续学习高阶行列式打下基础。
总结词
掌握三阶行列式的计算技巧
详细描述
三阶行列式是线性代数中一个重要的概念，通过习题二，学生应学会如何计算三 阶行列式，理解其性质和计算技巧，加深对线性代数基本概念的理解。
行列式习题课共56页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
行列式习题课
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力Байду номын сангаас。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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第4页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式 乘积之和：
Dn ai1Ai1 ai2 Ai2 a1i A1i a2i A2i
ain Ain ani Ani
行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于零：
ai1 Aj1 ai2 Aj2 a1i A1 j a2i A2 j
第15页
第16页
求A43.
第12页
1 12 3
2.解方程 1 2 x 2 2 3
0
2 31 5
2 3 1 9 x2
第13页
•3.计算下列行列式的值
0a 0 0
D4
0
c
0 0
b
0
0 0
00 xd
第14页
4．用克兰姆法则解线性方程组
4x 3y z 1 3x 4y 7z 2 x 7y 6z 1
1 1 x 1
1 x 1
1
x 1 1 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 x 1 1 0 0 x
c2 c1
1 c1 x x
1
x 1
1 c3 c1 1 x
0
x
0 x4
1 x 1 1 1 c4 c1 1 x 0 0
1 1 1 1
10 0 0
第11页
•三、练习
•1设行列式
01 0 2 0 1 0 1 0 2 D 0 2 0 1 0 202 0 1 2 0 1 0 3
按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 3 8 1
2 1 3 1
3
1
0 1
2 31；
1
2
5 3
1 3 4 2
4 1 1
0 20
4
0 1 0 1
2 3 4 9
3
第10页
பைடு நூலகம்
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1
7•3. D 1
1
1 1 x 1
1 x 1
1
x 1 x c1 c2 1 x c1c3 1 x c1c4
•51. 已知某4阶行列式的第2行元素依次是2, 1, m,6，第3行
元素的余子式的值依次是3,9, 3, 1，则m 7
第3行元素代数余子式的值依次是： 3, 9, (3), (1)
由代数余子式的性质得 23 (1)(9) m(3) 61 0
解得 m 7.
第8页
计算行列式
① 利用行列式定义计算
*
*
3、 kai1
kain k ai1
ain
*
*
ri k (ci k) ri k (ci k)
4、若有两行(列)元素相同或对应成比例，行列式等于零
*
*
*
5、 bi1 ci1
bin cin bi1
bin ci1
cin
*
*
*
6、某行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式值不变 ri krj (ci kc j )
ain Ajn 0 ani Anj 0，i j
第5页
几类特殊行列式的值
a11 a12
1.
a22
a1n a11 a2n a21 a22
a11
a22
ann an1 an2
ann
ann
a11a22 ann
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典型习题
➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
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与代数余子式有关的计算
x1 1 2
•26. 函数f (x) 1 x 1 1 中x3的系数是 1
32 x 1 1 1 2x 1
(1)t(1234) x x x 1 (1)t(1243) x x 1 2x
第9页
计算行列式
② 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
③ 造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后
a31 a32 a33
n阶行列式： a11 a12
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a1n
p1 p2 pn
Dn det(aij ) a21 a22
a2n
(1)t a1p1 a2 p2
anpn
an1 an2
ann
n!项
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行列式的性质
1、D DT 2、两行（列）互换，行列式变号 ri rj (ci c j )
第一章 行列式
小结与习题
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知识点
➢ 行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 几类特殊行列式的值
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行列式的定义
二阶行列式：a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式：a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32