最新线性代数行列式计算习题课学习资料
线性代数行列式计算习题课
3 2
a bc d
a
3
b a c d
1 x2
b b
3
c a b d
1
2
a bc
d d
3 2
1
2
c c
3 2
r4 r3
a
x1
2
xn
x1 a b c d x1
n 1
a
b 2 2 x2 xn a b c d a n 1 b x 2 a
2 3 3 2
c d ( xi x j ) ni j 1c d a b a b c d
* c in *
6、 某 行 （ 列 ） 的 k倍 加 到 另 一 行 （ 列 ） 上 ， 行 列 式 值 不 变
ri k r j ( c i k c j )
第 5页
行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行 ( 列 ) 各元素与其对应的代数余子 式乘积之和：
D n a i1 Ai1 a i 2 Ai 2 a 1 i A1 i a 2 i A 2 i a in A in a ni Ani
5 3 1 4 3
0 4 9
20
第16页
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1 7. D 1 1 x 1 1 1 x 1 1
b
1 x 1 1 1 1
x 1 1 1 1
bx 1
c1 c 2 c1 c 3
x x x x 1 0
1 1 x 1 1 0 x
1 x 1 1 1
x 1 1 1 1
c1 c 4
1 a b 1
c1 x
x
1 b a 1 1 x 1
线性代数-章节知识点及习题
第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。
练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。
练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。
练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。
练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。
=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。
==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。
线性代数课后习题与答案
《线性代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式： （1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
线性代数 行列式 习题课
四、小结克拉默法则（未知数个数=方程个数）
1 x
0 x(1) n 1 0
1 x x 0
x
(1)n [( x 1)n x n ]
递推法 ： 通过降阶法建立起行列式与其同形的较低阶 的行列式的关系式--------递推关系式，然后由递推关系式 求解其值。
例
范德蒙（Vandermonde）行列式
(1)
系数行列式记为D（略）
a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n Dj an1 an, j 1 bn an, j 1 ann
D j 是D中第j列元素换成
常数项所得.
A1】 a11 x1 a12 x a1n x n D b1 A 01 j 【定理1.4 (1) 的系数行列式 j 若线性方程组 2
1 x1
2 Dn x1 n 1 x1
1 x2
2 x2
2 xn ( xi x j ) n i j 1
1 xn
n 1 n 1 x2 xn
证明思路 ：用递推法结合数学归纳法；祥见教材第18页。 说明 ： 范德蒙（Vandermonde）行列式的结论是个重要 结论，以后可以直接运用之； 高阶行列式的计算有着比较强的技巧，需要大家 在练习中不断总结、积累经验。
线性代数
行列式 习题课
温故而知新：行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。 性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论：如果行列式的两行（列）完全相等，此行列式为零。 性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同 一数k，等于用数k乘此行列式。 推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外边。 推论2：若行列式中某一行(列)的元素全为零，则此行 列式等于零。 性质4：若行列式中有两行(列)成比例,则此行列式等于零。 性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和, 则 此行列式等于两个行列式之和。 性质6：把行列式的某一行 （列）的各元素乘以同一数， 然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变.
行列式习题课
第四讲 行列式习题课一．主要内容 1．本章知识结构１ 全排列把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）． n 个不同的元素的所有排列的种数用n P 表示，且!n P n =。
２ 逆序数在一个排列()n s t i i i i i 21中，若数s t i i >，则称这两个数组成一个逆序． 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． 3 对 换定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数4 n 阶行列式的定义()np p p p p p tnnn n n nn n a a a a a a a a a a a a D 2121222211121121211∑-==.,,2,1;;,,2,12121的所有排列取和表示对为这个排列的逆序数的一个排列为自然数其中n t n p p p p p p n n∑.,21212121)1(的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式p p p t D D n nn p p p p p p ta aa nn∑-=5 n 阶行列式的性质.D D ,1)T =即式相等行列式与它的转置行列 .),()2行列式变号列互换行列式的两行.,)()3则此行列式等于零完全相同列如果行列式有两行. ,)()4乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行k k . )( )5面以提到行列式符号的外的所有元素的公因子可列行列式中某一行 ., )( )6则此行列式为零元素成比例列行列式中如果有两行., )( )7列式之和则此行列式等于两个行的元素都是两数之和行若行列式的某一列 ., )( , )( )8行列式的值不变对应的元素上去行然后加到另一列的各元素乘以同一数行把行列式的某一列6 行列式按行（列）展开 １） 余子式与代数余子式.,1 )1(的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作阶行列式叫做元素列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在a A M A M a a ijijijji ijij ijij n j i n -+=-２）关于代数余子式的重要性质⎩⎨⎧≠==⎩⎨⎧≠===⎩⎨⎧≠===∑∑==.,0;,1.,0;,.,0;,11j i j i j i j i D D j i j i D D ij ijjk nk ik ij ki nk ki A a A a 当当其中 当当或当当δδδ８ 克拉默法则如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn n n n n n n 那么它有唯一解的系数行列式,0 ≠D.,,2,1,n j DD jj x ==., ,,2,11的行列式所得到，列换成常数项中第）是把系数行列式（其中２b b b n j j D n j D =二．典型例题1．计算排列的逆序数例1()()()()()., 132******** 并讨论奇偶性的逆序数求排列k k k k k k +--- 。
行列式及其计算
= ( A − E )2 = ( A − E )( A − E ) = 1 (3E − A)
2
2
2
4
4、解矩阵方程
1）
⎜⎝⎛
2 1
54⎟⎠⎞ X
=
⎜⎝⎛
3 0
−15⎟⎠⎞
解：
X
=
⎜⎝⎛
2 1
5 4
⎟⎠⎞
−1
⎜⎝⎛
3 0
−15⎟⎠⎞
=
1 3
⎜⎝⎛
4 −1
−25⎟⎠⎞⎜⎝⎛
3 0
−5 1
⎟⎠⎞
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
0 a L0 0 0 O0
0
a
n−1
LLL L a
1 0 0 L 0 n−1
a
0
= a n + (−1)1+n ×1× (−1)n−1+1 O
a n − a n−2 = a n−2 (a 2 − 1)
0
a
n−2
a
1
a
1
解四：
Dn
按第二 行展开
a(−1)
2+
2
O
按第二 行展开
a
⋅
a(−1)
2+
2
O
1
a
= a11x12 + a12 x1x2 + a13 x1x3 + a21x2 x1 + a22 x22 + a2 x2 x3 + a31x3 x1 + a32 x3 x2 + a33 x32
3、设方阵 A 满足 A2 − A − 2E = 0 ，证明 A 圾 A+2E 都可逆，并求 A−1 及 ( A + 2E)−1
行列式习题课
2 1 3 3 3
3 3 1 4 4
n 1 n 1 n 1 1 n
n n n n 1
6（2）
2 2 2
原行列式
解：
c1 c2 cn
1 2 3 n 1 n 1 1 3 n 1 n
1
r2 r1 r3 r1 rn r1
概念
a11 a21
a12 a1n a22 a2 n
p1 p2 pn
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
an1 an 2 ann
1．行列式与它的转置行列式相等； 2．互换行列式的两行（列），行列式变号；
性质
3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行 列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。
《线性代数》
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r3+（-1）r2
D 1 1
r2+（-1）r3
1 1 1 2 1 0 1
c1+（-1）c3
1
1 1 0
1 0
《线性代数》
1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0
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1 1 1 0 0 (1 ) 0
《线性代数》 返回 下页 结束
1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 n
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
例4 计算行列式
1 D1 1
行列式——习题课讲解
性 推论：某行(列)有公因子可提到行列式的外面 质 4. 若有两行(列)成比例，则行列式等于0
5. 若某一行(列)所有元素均为两元素之和，则行
列式可拆成两个行列式。
6. 某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。
展
行展开
n
D i j
aki Akj
k 1
0
i j
开
列展开
n
解： 因行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成。 即： a11a23a3i a4j，其中i、j只能是2,4的取值。 所以有两项：那么列标排列的逆序数为： t(1324)=1， t(1342)=2 所以,含有因子a11a23的两项为: -a11a23a32 a44， a11a23a34 a42
1 1 0 2
1 1 0 2
r1r2 0 1 1 2 r4 1r3 0 1 1 2
0
0
2 4
0
0
2 4
0 0 2 2
00 02
4
12 3 4
n
11 2 3
n 1
1x12
n2
例6：计算n阶行列式 D 1 x x 1
n3
1x x x
2
1x x x
1
例3：已知四阶行列式D的第2行元素分别为: -1, 0,2 ,4 第4行元素的余子式依次为：2, 4, a, 4 求a=？
解：由已知得：A41=-2，A42=4, A43=-a, A44=4 由行列式某行元素与另一行元素的代数余子式乘 积之和为零，可知：
2 1 41 2 0 1 42 4 2 1 43 a 4 1 44 4 0
解：令i=4，j=8，得排列为： 2 1 4 3 7 6 8 9 5 因为t( 214376895)=0+1+0+1+0+1+0+0+4=7 所以214376895为奇排列，与题意矛盾。
行列式习题课PPT课件
8
第8页/共36页
a1 a2 a3 p
例2 设四阶行列式 D b1
b2
b3
p ,
c1 c2 c3 p
d1 d2 d3 p
则其第1列元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=___0__.
解 因为当p＝0时，有A11=0, A21=0, A31=0, A41=0. 因而 A11+A21+A31+A41= 0． p ≠ 0时， 由与 pA11+pA21+pA31+pA41= 0, 即 p（A11+A21+A31+A41）= 0， 得 A11+A21+A31+A41= 0．
a1n xn 0, a2n xn 0,
ann xn 0
的系数行列式D ≠ 0, 则方程组没有非零解.
若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为 零.
4
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三、重要公式
1、对角行列式
λ1
D=
λ2
λ1λ2 λn ;
λn
λ1
D=
λ2
n ( n 1)
(1) 2 λ1λ2 λn.
cos n.
0
0
0
1
0
0
0
1 2cos
证：对阶数n用数学归纳法
因为 D1= cosα，
D cos
2
1
1 2cos2 1 cos 2, 2cos
所以n=1,2，结论成立. 20 第20页/共36页
假设对阶数小于n的行列式结论成立,下面对于阶数
等于n的行列式也成立. 将 Dn 按最后一行展开
第一章行列式习题课
0
1.3.用定义计算行列式Dn
0
0 a1
0 a2 0
an 0 0
解
Dn
(1)
n
ai
i 1
排列 n(n 1)(n 2)21 的逆序数 n(n 1) .
2
n(n1) n
所以Dn (1) 2
ai
i1
5x 1 2 3 24.设f (x) 2 1 x 3 ,求f (x)中x3与x4的系数
[a (n 1)b]
0 0 0 ab
[a (n 1)b](a b)n1.
x a aa
b x aa
例4、4: 求Dn b b x a .
b b bx
解 若a b，由例3知Dn [ x (n 1)a]( x a)n1；若a b，则有
(x a) a 0 a 0 a 0 a
2x x 1 2
1 f (x)
x 1 1 中 x4 与 x3 的系数.
3 2x 1
1 11 x
解I （用行列式的定义求解）由行列式的定义及 f (x)的性质知，只有 主对角线上的元素相乘才出现 x4，且这一项带正号，为2x2，故f (x) 中 x4 的系数为2. 同理，含 x3 的项也只有一项，为x 1 x x x3, 而且列标所构成的排列为2 1 3 4，逆序数为1.故 f(x)中 x3 的系数为-1.
2.行列式的定义
设有n2个数aij (i, j 1,2,, n)，称
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
为n阶行列式，表示数值
(1) ( p1p2pn )a1p1 a2 p2 anpn
其中p1 p2 pn为自然数1,2，，n的一个排列
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几类特殊行列式的值
a11 a12
1.
a22
a1n a11 a2n a21 a22
a11
a22
ann an1 an2
ann
ann
a11a22 ann
第6页
典型习题
➢ 代数余子式的相关计算 ➢ 计算行列式
第7页
与代数余子式有关的计算
•5 1.已 知 某 4 阶 行 列 式 的 第 2 行 元 素 依 次 是 2 , 1 ,m ,6 ， 第 3 行
线性代数行列式计算习题 课
知识点
➢ 行列式的定义 ➢ 行列式的性质 ➢ 行列式按行（列）展开 ➢ 几类特殊行列式的值
第2页
行列式的定义
二阶行列式：a11
a21
a12 a22
a11a22 a12a21
三阶行列式：a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
求A43.
第12页
1 12 3
2.解方程1 2 x2 2 3 0
2 31 5
2 3 1 9 x2
第13页
•3.计算下列行列式的值
0a 0 0
D4
0
c
0 0
b
0
0 0
00 xd
第14页
4．用克兰姆法则解线性方程组
4x 3y z 1 3x 4y 7z 2 x 7y 6z 1
按该行（列）展开，降低行列式的阶数。
2 3 8 1
2 1 3 1
3
1 1
0 1 2 31； 3 4 2
1 4
2 1
5 3 1
0 20
4
0 1 0 1
2 3 4 9
3
第10页
a. 行（列）元素之和相等的行列式
1 7•3. D 1
1
1 1 x 1 x 1 1 x 1 c1 c2
1 x 1 1 x c1c3 1 x 1 1
x 1 1 1 x c1c4 x 1 1 1
x 1 1 1 1 x 1 1 1
1 1 1 x1 1 0 0 x
c2c1
1 c1x x
1
x1
1 c3c1 1 x
0
x
0x4
1 x1 1 1 c4c1 1 x 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0
第11页
•三、练习
•1设行列式
01 0 2 0 1 0 1 0 2 D 0 2 0 1 0 202 0 1 2 0 1 0 3
解 得 m 7.
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计算行列式
① 利用行列式定义计算
x1 1 2
•26. 函数f(x)1 x 1 1中x3的系数是 1
32 x 1 1 1 2x 1
(1)t(1234)xxx1 (1)t(1243)xx12x
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计算行列式
② 化三角形法
利用性质化行列式为三角形行列式。
③ 造零降阶法
利用性质将某行（列）中大部分元素化为零，然后
a31 a32 a33
n阶行列式： a11 a12
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a1n
p1p2 pn
Dndet(aij)a21 a22
a2n (1)ta1p1a2p2 anpn
an1 an2
ann
n !项
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行列式的性质
1、DDT 2 、 两 行 （ 列 ） 互 换 ， 行 列 式 变 号 ri rj (ci cj)
*
*
3、kai1
kain k ai1
ain
*
*
ri k (ci k) ri k (ci k)
4 、 若 有 两 行 ( 列 ) 元 素 相 同 或 对 应 成 比 例 ， 行 列 式 等 于 零
5、 bi1ci1
* bincin bi1
*
* bin ci1
*
* cin
*
6 、 某 行 （ 列 ） 的 k 倍 加 到 另 一 行 （ 列 ） 上 ， 行 列 式 值 不 变 ri krj (ci kcj)
元 素 的 余 子 式 的 值 依 次 是 3 ,9 , 3 , 1 ， 则 m 7
第 3 行 元 素 代 数 余 子 式 的 值 依 次 是 ： 3 , 9 , ( 3), (1)
由 代 数 余 子 式 的 性 质 得 2 3 ( 1 ) ( 9 )可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！ 谢谢!
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行列式按行（列）展开
行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式 乘积之和：
D nai1Ai1ai2Ai2 ainAin a1iA1ia2iA2i aniAni
行列式某一行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子式 乘积之和等于零：
ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn0 a1iA 1ja2iA 2j aniA nj 0， ij