2013届高三数学复习教案第四章《三角函数》(新人教版必修4)24

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人教A版高中数学必修四复习教案第四章三角函数新人教(1)(9)

第四章三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2．讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角α或α∠可以简记成α4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒×2=720︒）3周（360︒×3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒390︒-330︒是第Ⅰ象限角300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒1180︒是第Ⅲ象限角-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和 390︒=30︒+360︒ )1(=k-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0×360︒ )0(=k1470︒=30︒+4×360︒ )4(=k-1770︒=30︒-5×360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和4．例一（P5 略）五、小结： 1︒ 角的概念的推广用“旋转”定义角角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角”六、作业： P7 练习1、2、3、4习题1.4 1。

人教版高一数学必修4《三角函数》教案16课时

第1章：三角函数§1.1.1 任意角总第1课时学习目标：1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.学习重点：将0º到360º的角概念推广到任意角.学习难点：终边相同的角用集合和符号语言正确表示出来.学习过程：一、情境设置体操跳水比赛中有“转体720º”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720º在这里表示什么？二、探究研究问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）问题4：能否以以同一条射线为始边作出下列角吗？210º-150º-660º问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系，你能写出与60º角的终边相同的角的集合吗？三、教学精讲例1：在0º到360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）650º（2）-150º（3）-990º15¹变式训练：（1）终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？如终边落在x轴上呢？（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？例2:若α与240º角的终边相同（1）写出与α的终边关于直线y=x对称的角β的集合.（2）判断2α是第几象限角.变式训练：若α是第三象限角，则-α，2α，2α分别是第几象限角.例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）.变式训练：（1）第一象限角的范围________________.（2）第二、四象限角的范围是_________________.四、巩固练习1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C2、下列结论正确的是（）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα3、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．4、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为．5、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：五、小结反思：本节内容延伸的流程图为：六、自我测评： 1、下列说法中，正确的是（）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．0°到90°的角是第一象限的角2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个. 上面4个命题，其中真命题的个数是（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝4、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．5、在直角坐标系中，若角α和角β的终边互相垂直，则角α和角β之间的关系是（）A 、 90+=αβB 、)(90360z k k ∈++⋅=αβC 、 90±=αβD 、)(90360z k k ∈+±⋅=αβ6、（1）若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α集合是 .（2）若角α的终边为第一、三象限的角平分线，则角α集合是 . 7、将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表示出来（包括边界）.8、角α，β的终边关于0=+y x 对称，且α=-60°，求角β.（张祯珞）§1.1.2 弧度制总第 2课时x x学习目标：1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制、弧长公式解决某些简单的实际问题. 学习重点：进行弧度制与角度制的换算. 学习难点：弧度制的概念. 学习过程：一、情境设置在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？二、探究研究问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题4：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？问题5：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？问题6：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。

高一数学必修4三角函数综合复习

《三角函数》复习教案第1课三角函数的概念1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．【讲练平台】例1 已知角的终边上一点P （－ 3 ，m ），且sin θ=24m ，求cos θ与tan θ的值．分析已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由P 的坐标可知，需求出m 的值，从而应寻求m 的方程．解由题意知r= 3＋m 2 ，则sin θ= m r = m3＋m 2．又∵sin θ=2 4m ， ∴ m 3＋m 2= 24 m ． ∴m=0，m=±5 ．当m=0时，cos θ= －1 ， tan θ=0 ；当m= 5 时，cos θ= －6 4， tan θ= － 153；当m= － 5 时，cos θ= －6 4，tan θ=153．点评已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决．例2 已知集合E=｛θ｜cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π}，F=｛θ｜tan θ＜sin θ}，求集合E ∩F ．分析对于三角不等式，可运用三角函数线解之．解 E=｛θ｜π4 ＜θ＜5π4}， F =｛θ｜ π2＜θ＜π，或3π2＜θ＜2π}，∴E ∩F=｛θ｜π2＜θ＜π}．【训练反馈】1．已知α是钝角，那么α2 是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一与第二象限角D ．不小于直角的正角7．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为． 9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．第2课同角三角函数的关系及诱导公式1．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( ) A ． 14 B ． 34 C ． 114 D ． 94【讲练平台】例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α)．分析式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．解原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α) = (-sin α)tan α(-cot α)(-cos α)(-tan α)= sin α·cos αsin αcos α=1 ．点评将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．分析已知式为sin θ、cos θ的二次式，欲求式为sin θ、cos θ的一次式，为了运用条件，须将cos θ－sin θ进行平方．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34．∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ．∴cos θ－sin θ= －32．变式1 条件同例，求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －32，求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．点评 sin θcos θ，cos θ+sin θ，cos θ－sin θ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．例3 已知tan θ=3．求cos 2θ+sin θcos θ的值．分析因为cos 2θ+sin θcos θ是关于sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成tan θ的式子．解原式=cos 2θ+sin θcos θ= cos 2θ+sin θcos θ cos 2θ+sin 2θ = 1+tan θ 1+tan 2θ = 25 ．点评 1．关于cos θ、sin θ的齐次式可转化成tan θ的式子．2．注意1的作用:1=sin 2θ+cos 2θ等．【训练反馈】3．已知sinx+cosx=15，x ∈［0，π］，则tanx 的值是（）A ．－34B ．－ 43C ．±43D ．－34或－436．证明1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α1－tan α．7．已知2sin θ+cos θsin θ－3cos θ=－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．第3课两角和与两角差的三角函数（一）1．cos105°的值为（） A ．6 ＋ 2 4 B ． 6 － 2 4 C ． 2 － 6 4 D ．－ 6 － 242．对于任何α、β∈（0，π2），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是（） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin β C ．sin(α+β)=sin α+sin β D ．要以α、β的具体值而定【讲练平台】例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12，求cos(α－β)的值．分析由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cosβ的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 12， ②①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= 1336． ∴cos(α－β)=7259．点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．例2 求 2cos10°-sin20°cos20° 的值．分析式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解 ∵10°=30°－20°，∴原式=2cos(30°-20°)-sin20°cos20°=2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30°cos20°= 3 ．点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法．【训练反馈】3． △ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为（）A ．π6 B ． 5π6 C ． π6或5π6 D ． π3或2π35．cos π7cos 2π7cos 3π7= ．8．已知sin(α+β)= 12，且sin(π+α－β)= 13，求tan αtan β．第4课两角和与两角差的三角函数（二）【知识在线】求下列各式的值3．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．5．11－tan θ－ 11＋tan θ= ．【讲练平台】例1 求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；(2) （ 3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2．(1)解原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+ 3 tan10°tan50°= 3 ．（2）分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．解原式= （ 3 ·sin12°cos12°－3）1 sin12°2 cos24° =︒︒-︒24cos 212sin 312cos 3=︒︒-︒=︒︒︒︒-︒48sin 21)12cos 2312sin 21(3224cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3=.3448sin )6012sin(34-=︒︒-︒点评（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB ），asinx+bsinx=22b a +sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．例2 求证1+sin4θ-cos4θ2 tan θ = 1+sin4θ+cos4θ1-tan 2θ．分析三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．由欲证的等式可知，可先证等式1+sin4θ-cos4θ 1+sin4θ+cos4θ =2tan θ1-tan 2θ ，此式的右边等于tan2θ，而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．证略点评注意倍角公式cos2α=2cos 2α－1，cos2α=1－2sin 2α的变形公式：①升幂公式1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin 2α，②降幂公式sin 2α=1-cos2α2 ，cos 2α= 1＋cos2α2的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分析法等．在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB ］；asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用．8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．第5课三角函数的图象与性质（一）3．下列函数中，周期为π2的偶函数是（）A ．y=sin4xB ． y=cos 22x －sin 22xC ． y=tan2xD ． y=cos2x 4．判断下列函数的奇偶性（1）y=xsinx+x 2cos2x 是函数；（3）y=sin(7π2+3x)是函数．【讲练平台】例1 （1）函数y=xx sin 21)tan 1lg(--的定义域为(2)若α、β为锐角，sin α＜cos β，则α、β满足（C ）A ．α＞βB ．α＜βC ．α+β＜π2D ． α+β＞π2分析（1）函数的定义域为⎩⎨⎧>>0.2sinx -10,tanx -1 (*) 的解集，由于y=tanx 的最小正周期为π，y=sinx 的最小正周期为2π，所以原函数的周期为2π，应结合三角函数y=tanx和y=sinx 的图象先求出(－π2， 3π2)上满足（*）的x 的范围，再据周期性易得所求定义域为{x ｜2k π－π2＜x ＜2k π+π6 ，或2k π+ 5π6＜ x ＜2k π+5π4 ，k ∈Z} ．分析（2）sin α、cos β不同名，故将不同名函数转化成同名函数， cos β转化成sin(π2－β)，运用y=sinx 在［0，π2］的单调性，便知答案为C ．点评（1）讨论周期函数的问题，可先讨论一个周期内的情况，然后将其推广；（2）解三角不等式，要注意三角函数图象的运用；（3）注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小．例2 判断下列函数的奇偶性：(1)y=x x x cos 1cos sin +-； (2)y=.cos sin 1cos sin 1xx xx +--+ 分析讨论函数的奇偶性，需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称，然后考f(－x)是否等于f(x)或－f(x) ．解（1）定义域关于原点对称，分子上为奇函数的差，又因为1+cosx=2cos 2 x2，所以分母为偶函数，所以原函数是奇函数．（2）定义域不关于原点对称（如x=－π2，但x ≠π2），故不是奇函数，也不是偶函数．点评将函数式化简变形，有利于判断函数的奇偶性．例3 求下列函数的最小正周期：（1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π3) ；分析对形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)和y=Atan(ωx+φ)的函数，易求出其周期，所以需将原函数式进行化简．解（1）y=sin(2x －π6)sin(2x+ π2－π6)= 12sin(4x －π3)，所以最小正周期为2π4 = π2．点评求复杂函数的周期，往往需先化简，其化简的目标是转化成y=Asin(ωx+φ)＋k 或y=Acos(ωx+φ) ＋k 或y=Atan(ωx+φ) ＋k 的形式（其中A 、ω、φ、k 为常数，ω≠0）．【训练反馈】5．函数y=sin x 2+cos x2在（－2π，2π）内的递增区间是．6．y=sin 6x+cos 6x 的周期为．第6课三角函数的图象与性质（二）1．将y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是（） A ．y=cosx+1 B ．y=cosx －1 C ．y=－cosx+1 D ．y=－cosx －1 2．函数f(x)=sin3x 图象的对称中心的坐标一定是（）A ． (12k π，0)， k ∈ZB ．（13k π，0）， k ∈ZC ．（14k π，0）， k ∈Z D ．（k π，0），k ∈Z3．函数y=cos(2x+π2)的图象的一个对称轴方程为（） A ．x=－－π2 B ．x=－ π4 C ．x= π8D ．x=π例1 函数y=Asin （ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式．分析求函数的解析式，即求A 、ω、φ的值．A 与最大、最小值有关，易知A=2，ω与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3π，即T2=3π．得 T=6π，所以ω=13．所以y=2sin(x3+φ），又图象过点（0，1），所以可得关于φ的等式，从而可将φ求出，易得解析式为y=2sin(x3 ＋π6）．点评 y=Asin(ωx+φ)中的A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，ω由周期的大小确定，φ的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由φ的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例）．例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．解：（1）T=13π3－ π3 =4π． ∴ω=2πT = 12．又A=3，由图象可知所给曲线是由y=3sin x2沿x 轴向右平移 π3而得到的．∴解析式为 y=3sin 12 (x －π3)．(2)设（x ，y)为y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2π的对称点应为（4π－x ，y)，故与y=3sin(12 x －π6）关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin ［12（4π－x)－ π6］=－3sin(12 x ＋π6）．点评 y=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象由y=sin ωx 的图象向左平移（φ＞0）或向右平移（φ＜0）|φ|ω个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．【训练反馈】4．y=tan(12x －π3)在一个周期内的图象是（）8．已知函数y= 3 sinx+cosx ，x ∈R ．(1)当y 取得最大值时，求自变量x 的取值集合；（2）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？第7课三角函数的最值2．当x ∈R 时，函数y=2sin(2x+π12)的最大值为，最小值为，当x ∈〔－5π24， -BA CDπ24〕时函数y 的最大值为，最小值为 . 【讲练平台】例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时x 的值．分析由于f （x ）的表达式较复杂，需进行化简．解 y=sin 2x+cos 2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+π4)+2当2x+π4=2k π+π2，即x=k π+π8(k ∈Z)时，y max =2 +2 ．点评要熟练掌握y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx=a 2+b 2 sin （x+φ）．例2 若θ∈［－π12, π12］，求函数y=cos(π4+θ）+sin2θ的最小值．分析在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化．解 y=cos(π4+θ)－cos ［2(θ+π4)］=cos(π4+θ)－［2cos 2(θ+π4)－1］=－2cos 2(θ+π4)+cos(π4+θ)+1 =－2［cos 2(θ+π4)－12cos(θ+π4)］+1=－2［cos(θ+π4)－14］2+98．∵θ∈［－π12, π12］， ∴θ＋π4∈［π6，π3］．∴12≤cos(θ+π4)≤ 32， ∴y 最小值 = 3 －12 ．点评（1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx))，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx ，cosx 的有界性，通过换元转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法，应先求出t=ωx+φ的值域，然后再由y=Asint 和y=Acost 的单调性求出最值．【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(ωx+φ)+k 型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值．用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx 与sinxcosx 的关系，令sinx+cosx=t ，则sinxcosx=t 2－12．【训练反馈】6．若f(x)=2sin ωx(0＜ω＜1），在区间［0，π3］上的最大值为 2 ，则ω= ．9．已知函数f(x)=2cos 2x+ 3 sin2x+a ，若x ∈［0，π2］，且｜f(x)｜＜2，求a 的取值范围．三角函数答案第1课三角函数的概念【知识在线】 1．{α|α=k π+ π4 ，k ∈Z} 2． A 3.－ 513 ，－ 125． 4．＋ 5． C【训练反馈】1． A 2． B 3． B 4． D 5．16π3 6．一、二7．{2k π+π2＜x ＜2k π+π或2k π+3π2＜x ＜2k π+2π ，k ∈Z} 8．负 9． 2cm 2．第2课同角三角函数的关系及诱导公式【知识在线】1． A 2． D 3．57 4．sin2－cos2 5． A【训练反馈】1． D 2． B 3． B 4．103 5． 1 6．略 7．75 8．－π3第3课两角和与两角差的三角函数（一）【知识在线】1． C 2． B 3． B 4．12 5．35【训练反馈】1． C 2． C 3． A 4．2 6 －16 5． 18 6．略7． cos2α=－725，cos2β=－1 8． 15第4课两角和与两角差的三角函数（二）【知识在线】1．－ 12 2． 2 2 3． 2 4． 22 5．tan2θ【训练反馈】1． A 2． A 3． tan θ 4． sin β 5． 3 6． sin 2（A ＋B ）． 7. 1 8 .略．第5课三角函数的图象与性质（一）【知识在线】1． 2k π＋5π6＜x ＜2k π＋ 7π6，k ∈Z 2． B 3． B4．（1）偶（2）偶（3）偶 5． k π＋ π2，k ∈Z 【训练反馈】1． C 2． C 3． B 4． D 5． [－3π2 , π) 6． π2 7．（1）sin4 ＜sin3＜ sin2 （2）cos 2θ＜sin 2θ＜tan 2θ8．（1）M=1，m=－1，T= 2π | k 5| = 10π | k |（k ≠0）．（2）k=32．第6课三角函数的图象与性质（二）【知识在线】1． D 2． B 3． B 4． B 5． D 【训练反馈】1． B 2． D 3． D 4． A 5． 4 π 6．左，π67． y=12 sin(3x+π6) 8．（1）{x ｜x=π3+2k π，k ∈Z ｝；（2）将y=sinx 的图象向左平移π6，得到函数y=sin(x+π6）的图象，再将所得图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin(x+π6）的图象．9．（1）最大温差20℃；（2）y=10sin(π8x+3π4）＋20，x ∈[6，14]．第7课三角函数的最值【知识在线】1． C 2． 2 ，－2 ， 12 ，－ 3 2 3． 2，－2 4． [0, 94]【训练反馈】1． B 2． D 3． A 4． A 5．－1≤m ≤ 736．347．12+ 2 8．a=2, b=－2 9．－2＜a ＜－1友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。

新人教版高中数学必修四教案：1.3同角三角函数关系

1.3 同角三角函数关系【知识要点】1. 同角三角函数的基本关系a.基本关系式：22sin cos 1αα+=，对一切R α∈成立；sin tan cos ααα=，仅在2k παπ≠+（k Z ∈）时成立，但是我们均称之为三角恒等式。

b. 利用同角三角函数关系求值根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值时，要注意由于这个角所在的象限情况的不同：如果已知正弦、余弦、正切中的一个具体值，且角所在的象限也已指定，那么只有一组结果；如果已知正弦、余弦、正切中的一个具体值，但未指定角所在的象限，那么要按角所在的可能象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组结果。

2. 利用同角三角函数关系化简和证明三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，化简的结果一般要求：函数种类尽量少，次数尽量低，项数尽量少，式子中尽可能不含根号，能求值的要求出。

（在同角三角函数关系式的诸公式中，与正、余弦有关的公式居多，因此一般情况下，可将正、余切、余割统一化为正、余弦）3. 六角公式倒数公式：sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα∙=∙=∙=商数公式：sin cos tan ,cot cos sin αααααα== 平方公式：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=4. 求解与方程有关的三角函数问题已知三角函数是某个方程的两个跟，通过求出两个函数值来求解答案。

【知识应用】1. 熟练应用两个基本关系，注意函数值得正负。

【J 】例1 已知8cos 17α=-，求sin ,tan αα的值【L 】例2 若4sin 5α=-，且α是第三象限角，求cos tan αα、的值【C】例3若15tan sin8αα=-，求的值2. 证明恒等式常用一下几种方法：a. 从一边开始证明它等于另一边，一般是从繁到简b. 证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立c. 证明左、右两边等于同一个式子d. 差比法：即证左边—右边=0【J】例1求证：cos sin2(cos-sin) -=1+sin1+cos1+sin+cos αααααααα【L】例2化简下列各式：（1（2【C】例3化简：tan+tan sin1+sec tan+sin1+cscx x x xx x x∙∙3. 熟悉掌握六角公式，并能灵活运用公式，掌握倒数关系、商数关系、平方关系（对顶点之积为1；每一个顶点等于其相邻两顶点的积；每一个阴影三角形的上边两顶点的平方之和等于下边顶点的平方）【J 】例1 已知2222tan 2tan 1,:sin =2sin -1αββα=+求证【L 】例2 已知tan +cot =2αα，求下列各式的值（1）22tan +cot αα （2）sin +cos αα【C 】例3 若tan +cot =3αα，则sin c o s αα_________，22tan +cot αα___________。

人教A版高中数学必修四复习教案第四章三角函数新人教(1)(1)(1)

第三十教时教材：正弦函数、余弦函数的图象及其性质习题课；《教学与测试》第57、58课目的：复习正弦函数、余弦函数的图象及其性质，使学生对上述概念的理解、认识更深刻。

过程：一、复习：1．y=sinx y=cosx 的图象当x ∈R 时，当x ∈[0，2π]时2．y=sinx y=cosx 的性质定义域、值域（有界性）最值、周期性、奇偶性、单调性二、处理《教学与测试》P119 第57课 1．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]解：f (x )=|sin2x| f (-x )=|sin(-2x)|=|sin2x|=f ∴f (x )为偶函数 T=2π在[0,4π]上f (x )单调递增；在[4π,2π]上单调递减注意：若无“区间[0,2π]”的条件，则增区间为[42,2πππ+k k ] k ∈Z 减区间为[2)1(,42πππ++k k ] k ∈Z 2．设x ∈[0,2π], f (x )=sin(cosx), g (x )=cos(sinx) 求f (x )和g (x )的最大值和最小值，并将它们按大小顺序排列起来。

解：∵在[0,2π]上y=cosx 单调递减, 且cosx ∈[0,1] 在此区间内y=sinx 单调递增且sinx ∈[0,1] ∴f (x )=sin(cosx)∈[0,sin1] 最小值为0, 最大值为sin1g (x )=cos(sinx)∈[cos1,1] 最小值为cos1, 最大值为1 ∵cos1=sin(2π-1)<sin1 ∴它们的顺序为：0<cos1<sin1<1三、处理《教学与测试》P121第58课1．已知△ABC 的两边a, b ，它们的夹角为C 1︒试写出△ABC 面积的表达式；2︒当∠C 变化时，求△AABC 面积的最大值。

如图：设AC 边上的高h=asinC 2︒当C=90︒时[sinC]max =1 ∴[S △ABC ]max =ab 21A2．求函数3cos 3cos +-=x x y 的最大值和最小值。

新课标版数学理高三总复习之4-7三角函数

22 22 22 a ＋ b － c 1 a ＋b －c 1 22 22 解析 ∵ ∵ a ＋ b － c＝＝ ab ，∴ cos C ＝＝－2 解析 (( a ＋ b )) － c ab ，∴ c o s C ＝＝－ .. cos 2 ab 2 2ab
2π 2π ∴ C ＝ .. ∴ C ＝ 3 3
第四章三角函数
故s i n ( 2
第30页
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
3 7 【答案】 ① 2 ② 8
第31页
第四章
三角函数
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
题型二三角形形状的判定例2 在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的
14 5 2 ，所以 c o s A＝ . 8 8 由二倍角公式，得－2 s i n
2
5 7 s n i2 A＝2 s i n Ac o s A＝ 16 且c o s 2 A ＝1
9 A＝16. 3 7 A＋C)＝ s i n 2 Ac o s C＋c o s 2 As i n C＝ 8 .
第18页
第四章
三角函数
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
授人以渔
第19页
第四章
三角函数
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
题型一利用正、余弦定理解斜三角形
例1 ( 1 ) 在△ABC中，已知a＝ 2 ，b＝ 3，A＝45° ，求 B，C及边c. ( 2 ) 已知s i n A∶ s i n B∶ s i n C＝( 3＋1)∶( 3 －1)∶ 10，求最大角．
3．( 2 0 1 5 · 启东中学期末)在△ABC中，若A＝60° ，AC＝ 2，BC＝ 3，则AB等于________．

高三数学一轮复习课件：第四章三角函数解三角形 4-1

解法二：扇形周长 C＝2R＋L，面积 S＝12LR＝12R(C－2R)＝－R2＋12CR＝－R－C4 2＋1C620<R<C2 ，
仅当 R＝C4，即 C＝4R 时，扇形的面积 S 最大，此时 C＝4R＝2R＋L，L＝2R，由 L＝2R 得 α＝2，即 α＝2 时，扇形面积有最大值1C62.
涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S ＝12|α|R2＝12LR.在公式的选择上以简单、计算量小为原则，如本例中解法二比解法一计算量小．
[跟踪演练]
已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周
扇形有最大面积？ [思路引导] (1)利用弧长公式求． (2)寻求周长、半径 R 及圆心角 α 的关系，用其中两个量表示
扇形面积．
[解] (1)设弧长为 l，则 α＝60°＝3π，R＝10，l＝π3×10＝130π(cm)． (2)解法一：扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝2＋C α，
∴S 扇＝12α·R2＝12α·2＋C α2 ＝C22α·4＋41α＋α2＝C22·4＋α1＋α4≤C162.当且仅当 α2＝4，即 α＝2 时，扇形面积有最大值C162.
第
四
三角函数解三角形
章
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
高考概览 1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
吃透教材夯双基
填一填记一记厚积薄发
[知识梳理] 1．角的概念 (1)角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

人教A版高中数学必修四第四章教案已知三角函数值求角反正弦,反余弦函数

第三十六教时教材：已知三角函数值求角（反正弦，反余弦函数）目的：要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。

过程：一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。

由y =1︒在R 2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y是一一对应的，且区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数，记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，（奇函数）。

在[]π,0上，x y cos =的反函数称作反余弦函数，记作()11arccos ≤≤-=x x y二、已知三角函数求角首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。

已知三角函数值求角是多值的。

例一、1、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,222sin ππx x 且，求x解：Θ在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴4π=x （即422arcsin π==x ） 2、已知[]π2,0,22sin ∈=x x 且解：022sin >=x Θ，x ∴是第一或第二象限角。

4344,224sin 4sin πππππππ=-==∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 或Θ 即（4322arcsin 422arcsin πππ=-===x x 或）。

3、已知R x x ∈-=且,22sin 解：∴<-=,022sin x Θx 是第三或第四象限角。

()()z k k k x ∈++=++=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+41242,224sin 4sin ππππππππ ()()z k k k x ∈-+=-+=∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-422422,224sin 4sin ππππππππ （即()z k k x k x ∈+=-=4242ππππ或或 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=22arcsin 1kk x π）这里用到()x y x x arcsin ,arcsin arcsin =-=-Θ是奇函数。

高中数学1.3三角函数的诱导公式(一)诱导公式二三四教案新人教A版必修4

３三角函数的诱导公式（一）诱导公式二三四一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系；会利用诱导公式进行化简、求值。

教学目的：引导学生如何利用三角函数线探讨上述关系；教学意义：培养学生数形结合的思想。

二、教学过程１．理解,,πααπα+--与α的正弦、余弦、正切值的关系①,,πααπα+--与α终边的对称性；②观察三角函数线的关系：相等、相反；③得出关系式。

απ+ α- απ- α 关于原点对称关于x 轴对称关于y 轴对称三角函数线正弦线、余弦线互为相反正切线相同正弦线、正切线互为相反余弦线相同正切线、余弦线互为相反正弦线相同诱导公式 ααπααπααπtan )tan(;cos )cos(;sin )sin(=+-=+-=+ 公式二 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan αααααα-=--=-=- 公式三 sin()sin ;cos()cos ;tan()tan πααπααπαα-=-=--=-公式四④总结：,,πααπα+--的三有函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

２．利用诱导公式一二三四求值、化简例 ①=︒225cos ；②π311sin ＝；③)316sin(π-＝；④=︒-)2040cos( 。

①22-；②23-；③23；④21-。

例 )180cos()180sin()360sin()180cos(︒--︒--︒++︒αααα＝；１三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．在ABC ∆中，31cos =B ，则)cos(C A +等于（Ｂ）Ａ．31 Ｂ．31- Ｃ．322 Ｄ．322-２．求)417sin()417cos(ππ---的值。

2 ３．在ABC ∆中，2cos sin =+A A ，)cos(2cos 3B A --=π，求ABC ∆的三个内角。

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第二十四教时
教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练；同时，让学生推导
出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。
过程：
一、复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：

例一、已知2，0，tan =31，tan =71，求2 + 
（《教学与测试》P115 例三）

解：43tan1tan22tan2 ∴1tan2tan1tan2tan)2tan(

又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴2223，02
∴22 ∴2 +  = 47
例二、已知sin  cos = 21，2，求2tan和tan的值

解：∵sin  cos = 21 ∴212tan12tan12tan12tan2222
化简得：032tan42tan2 ∴
722121642tan


∵2 ∴22 ∴02tan 即
722tan


3
74725727410724)72(1)72(22tan12tan2tan22


二、积化和差公式的推导

sin( + ) + sin(  ) = 2sincos  sincos =21[sin( + ) + sin( 
)]
sin( + )  sin(  ) = 2cossin  cossin =21[sin( + )  sin( 
)]
cos( + ) + cos(  ) = 2coscos  coscos =21[cos( + ) + cos( 
)]
cos( + )  cos(  ) =  2sinsin  sinsin = 21[cos( + )  cos( 
)]
这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优
点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）
例三、求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32
证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2

= 21(cos4  cos2)sin2 + 21(cos4 + cos2)cos2

= 21cos4sin2 +21cos2sin2 +21cos4cos2
+21cos2cos2
= 21cos4cos2 + 21cos2 = 21cos2(cos4 + 1)
= 21cos22cos22 = cos32 = 右边
∴原式得证
三、和差化积公式的推导

若令 +  = ，   = φ，则2，2 代入得：

)sin(sin21)]22sin()22[sin(212cos2sin


∴2cos2sin2sinsin
2sin2
cos2sinsin

2cos2
cos2coscos

2sin2
sin2coscos
这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它
与积化和差公式相辅相成，配合使用。

例四、已知cos  cos  = 21，sin  sin = 31，求sin( + )的值

解：∵cos  cos  = 21，∴212sin2sin2 ①
sin  sin  =31，∴312sin2cos2 ②
∵02sin ∴232tan ∴232tan

∴13124912322tan12tan2)sin(2
四、小结：和差化积，积化和差
五、作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3
P38—39 例题推荐 1—3
P40 例题推荐 1—3