2015高中数学必修4第三章经典习题含答案

第三章经典习题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin 2π12－cos 2π12的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32[答案] C[解析] 原式＝－(cos 2π12－sin 2π12)＝－cos π6＝－32.2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π[答案] B[解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π2＝π. 3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π2＋2θ)＝( ) A ．－429 B ．－79 C.429D.79[答案] C[解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝429. 4．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．3 D.13[答案] D[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D ．1＋23[答案] A[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)，∴y max ＝－ 2. 7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( )A ．－1B ．－15 C.57 D.17[答案] D[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝3－21＋6＝17.8．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A. 2 B ．2 C ．4 D.22[答案] B[解析] PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则|PQ →|＝(cos β－cos α)2＋(sin β－sin α)2＝2－2cos (α－β)，故|PQ →|的最大值为2.9．函数y ＝cos2x ＋sin2xcos2x －sin2x 的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4[答案] C[解析] y ＝1＋tan2x 1－tan2x＝tan(2x ＋π4)，∴T ＝π2.10．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] D[解析] f (x )＝sin 2x －12＝－12(1－2sin 2x )＝－12cos2x ，∴f (x )的周期为π的偶函数．11．y ＝sin(2x －π3)－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－π6，π3] B ．[π12，712π] C ．[512π，1312π] D ．[π3，5π6][答案] B[解析] y ＝sin(2x －π3)－sin2x ＝sin2x cos π3－cos2x sin π3－sin2x ＝－(sin2x cos π3＋cos2x sin π3)＝－sin(2x ＋π3)，其增区间是函数y ＝sin(2x ＋π3)的减区间，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，∴k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，当k ＝0时，x ∈[π12，7π12]．12．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5(tan αtan β)2等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C [解析]由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12sin αcos β－cos αsin β＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝512cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5， ∴log 5(tan αtan β)2＝log552＝4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. [答案] 2[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为______． [答案]17250[解析] ∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π3，∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35；∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos(2α＋π3)＝cos(α＋π6)2－sin 2(α＋π6)＝725∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π4＝17250.15．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________. [答案] 59[解析] cos2α＝2cos 2α－1＝13得cos 2α＝23，由cos2α＝1－2sin 2α＝13得sin 2α＝13(或据sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＝13)，代入计算可得．16．设向量a ＝(32，sin θ)，b ＝(cos θ，13)，其中θ∈(0，π2)，若a∥b ，则θ＝________.[答案] π4[解析] 若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈(0，π2)，∴θ＝π4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2α1－tan α的值．[解析] 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725.又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425， 所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α＝725×(－425)325＝－2875.18．(本题满分12分)设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π6)的最值．[解析] y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π6) ＝cos2(x －π6)＋2sin(x －π6)＝1－2sin 2(x －π6)＋2sin(x －π6)＝－2[sin(x －π6)－12]2＋32. ∵x ∈[0，π3]，∴x －π6∈[－π6，π6]．∴sin(x －π6)∈[－12，12]， ∴y max ＝32，y min ＝－12.19．(本题满分12分)已知tan 2θ＝2tan 2α＋1，求证：cos2θ＋sin 2α＝0.[证明] cos2θ＋sin 2α＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋sin 2α＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋sin 2α＝－2tan 2α1＋2tan 2α＋1＋sin 2α＝－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2α＝－sin 2αcos 2α＋sin 2α＋sin 2α＝－sin 2α＋sin 2α＝0.20．(本题满分12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x2，－sin x2)，c ＝(3－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值．[解析] (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝0，则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是{x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z }．(2)|a －c |2＝(cos 3x 2－3)2＋(sin 3x 2＋1)2＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin(3x 2－π3)，则|a －c |2的最大值为9.∴|a －c |的最大值为3.21．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g (x ＋π2)＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )；求函数g (x )在[－π，0]上的解析式。

[解析] f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x ＝12cos2x －12sin2x ＋12(1－cos2x )＝12－12sin2x(Ⅰ)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π (Ⅱ)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，(x ＋π2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2g (x )＝g (x ＋π2)＝12sin2(x ＋π2)＝－12sin2x当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，(x ＋π)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 g (x )＝g (x ＋π)＝12sin2(x ＋π)＝12sin2x得：函数g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x (－π2≤x ≤0)12sin2x (－π≤x <π2)22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝(1－tan x )·[1＋2sin(2x ＋π4)]，求：(1)函数f (x )的定义域和值域； (2)写出函数f (x )的单调递增区间．[解析] f (x )＝(1－sin x cos x )(1＋2sin2x cos π4＋2cos2x sin π4)＝(1－sin x cos x )(2sin x cos x ＋2cos 2x )＝2(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )＝2(cos 2x －sin 2x )＝2cos2x .(1)函数f (x )的定义域{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }． ∵2x ≠2k π＋π，k ∈Z ，∴2cos2x ≠－2. ∴函数的值域为(－2,2](2)令2k π－π<2x ≤2k π(k ∈Z )得k π－π2<x ≤k π(k ∈Z )． ∴函数f (x )的单调递增区间是(k π－π2，k π](k ∈Z )．。