一种递推最小二乘估计简化算法
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种经典的参数估计方法，广泛应用于信号处理、通信系统、自适应滤波等领域。
它通过不断迭代更新参数，逐步逼近最优解，具有快速收敛、适应性强的特点。
本文将从最小二乘法出发，介绍递推最小二乘法的原理及其应用。
最小二乘法（Least Squares）是一种常见的参数估计方法，用于寻找一组参数，使得模型预测值与观测值之间的误差平方和最小。
对于线性模型，最小二乘法可以通过求解正规方程或者利用矩阵运算的方式得到最优参数。
然而，在实际应用中，数据通常是逐步到来的，因此需要一种能够动态更新参数的方法，于是递推最小二乘法应运而生。
递推最小二乘法的基本原理是利用递推的方式不断更新参数，以逼近最优解。
在每一时刻，根据当前的观测数据和先前的参数估计，通过递推公式计算出新的参数估计值，从而实现参数的动态更新。
这样的方法不仅能够适应数据的动态变化，还能够实现快速的收敛，适用于实时系统和非平稳环境下的参数估计。
递推最小二乘法的核心思想是利用指数加权的方式对历史数据进行处理，赋予近期数据更大的权重，从而更好地适应数据的变化。
通过引入遗忘因子（Forgetting Factor），可以控制历史数据对参数估计的影响程度，使得算法更具灵活性和适应性。
同时，递推最小二乘法还可以结合正交分解等技术，进一步提高计算效率和数值稳定性。
在实际应用中，递推最小二乘法被广泛应用于自适应滤波、信道均衡、系统辨识等领域。
例如，在自适应滤波中，递推最小二乘法可以根据接收信号的实际情况，动态调整滤波器的参数，实现信号的实时去噪和增强。
在通信系统中，递推最小二乘法可以用于自适应调制解调器的设计，提高系统的抗干扰能力和适应性。
此外，递推最小二乘法还被广泛应用于雷达跟踪、无线定位等领域，发挥着重要作用。
总之，递推最小二乘法作为一种经典的参数估计方法，具有快速收敛、适应性强的特点，在信号处理、通信系统、自适应滤波等领域有着重要的应用。
递推最小二乘法推导(RLS)——全网最简单易懂的推导过程
递推最小二乘法推导（RLS）——全网最简单易懂的推导过程作者：阿Q在江湖先从一般最小二乘法开始说起已知x和y的一系列数据，求解参数theta的估计。
用矩阵的形式来表达更方便一些：其中k代表有k组观测到的数据，表示第i组数据的输入观测量，yi表示第i组数据的输出观测量。
令：，则最小二乘的解很简单，等价于即参数解为：如果数据是在线的不断的过来，不停的采用最小二乘的解法来解是相当消耗资源与内存的，所以要有一种递推的形式来保证对的在线更新。
进一步推导出递推最小二乘法（RLS）我们的目的是从一般最小二乘法的解推导出的递推形式。
一定要理解这里的下标k代表的意思，是说在有k组数据情况下的预测，所以k比k-1多了一组数据，所以可以用这多来的一组数据来对原本的估计进行修正，这是一个很直观的理解。
下面是推导过程：先看一般最小二乘法的解下面分别对和这两部分进行推导变换，令得到下面公式（1）下面来变换得到公式（2）下面再来，根据一般最小二乘法的解，我们知道下式成立，得到公式（3）（注：后续公式推导用到）好了，有了上面最主要的三步推导，下面就简单了,将上面推导的结果依次代入公式即可：至此，终于变成的形式了。
通过以上推导，我们来总结一下上面RLS方程：注：以上公式7中，左边其实是根据公式1，右边I为单位矩阵公式（5）和（7）中，有些文献资料是用右边的方程描述，实际上是等效的，只需稍微变换即可。
例如（5）式右边表达式是将公式（1）代入计算的。
为简化描述，我们下面还是只讨论左边表达式为例。
上面第7个公式要计算矩阵的逆，求逆过程还是比较复杂，需要用矩阵引逆定理进一步简化。
矩阵引逆定理：最终RLS的方程解为：好了，至此完毕！以上应该算是最简单的推导过程了，相信都能看得懂了。
后续有时间将增加带遗忘因子的RLS推导步骤，毕竟工程上的实际用途很多用此方法，比如在线辨识电池系统等效电路模型的参数，用于卡尔曼滤波算法估算SOC……。
递推最小二乘法_协方差矩阵_概述说明以及解释
递推最小二乘法协方差矩阵概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在统计学和计量经济学中，递推最小二乘法（Recursive Least Squares，简称RLS）是一种常用的参数估计方法。
它通过不断更新样本数据进行参数的估计，并且可以适用于非静态数据场景。
协方差矩阵是统计分析中重要的概念，它描述了变量之间的线性关系强度和方向，并且在许多领域具有广泛应用。
1.2 文章结构本文首先介绍递推最小二乘法的定义和原理，在此基础上详细解释算法的步骤以及其应用领域。
接着，我们将引入协方差矩阵的概念并介绍其计算方法，同时探讨了它在实际问题中所起到的作用和应用场景。
最后，我们将对递推最小二乘法与协方差矩阵之间的关系进行解释，并通过实例分析来说明它们如何相互影响。
1.3 目的本文旨在全面介绍递推最小二乘法和协方差矩阵，并深入探讨它们之间的联系。
通过对这两个概念及其应用的理解，我们可以更好地理解参数估计方法和变量间关系的描述与分析。
此外，我们还将展望相关领域未来可能的研究方向，以促进学术和实践的进一步发展。
2. 递推最小二乘法2.1 定义和原理:递推最小二乘法是一种用于估计线性模型参数的方法。
它可以通过历史数据的不断更新来逐步拟合模型，以使得估计值与观测值之间的误差达到最小化。
该方法可以被形式化地描述为以下步骤：1. 初始化模型参数的初始值。
2. 从历史数据中选择一个样本，并使用当前参数估计出该样本对应的输出值。
3. 计算该样本的预测误差。
4. 根据预测误差对参数进行调整，使得预测误差尽量减小。
5. 重复步骤2至4，直到所有样本都被处理过一遍，或者满足终止条件。
递推最小二乘法是基于最小二乘原理，即将真实观测值与模型预测值之间的差异平方求和并最小化这个目标函数。
通过迭代地更新参数，递推最小二乘法可以逐渐优化模型，并获得更准确的参数估计。
2.2 算法步骤:具体而言，在每次迭代中，递推最小二乘法按照以下步骤进行操作：1. 根据历史数据选择一个样本，并根据当前的参数估计出预测值。
递推最小二乘法推导
递推最小二乘法推导递推最小二乘法是一种经典的数学方法，用于解决数据拟合问题。
它通过最小化误差平方和的方法，寻找最佳的拟合曲线或平面，从而对数据进行预测和分析。
本文将详细介绍递推最小二乘法的原理和推导过程。
一、引言在现实生活和科学研究中，我们经常需要通过已知的数据来拟合一个函数，以便对未知的数据进行预测或分析。
而最小二乘法就是一种常用的数据拟合方法，它的基本思想是通过最小化误差的平方和，找到最佳的拟合函数。
二、最小二乘法的基本原理最小二乘法的基本原理是通过最小化残差平方和来确定拟合函数的参数。
残差指的是每个数据点的观测值与拟合函数预测值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到使得残差平方和最小的参数值，从而得到最佳的拟合曲线或平面。
三、递推最小二乘法的推导过程递推最小二乘法是最小二乘法的一种改进方法，它能够更加高效地进行参数估计。
下面将结合一个简单的一元线性回归问题，来详细介绍递推最小二乘法的推导过程。
假设我们有一组样本数据(x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ)，需要找到一条直线y = ax + b 来拟合这些数据。
我们可以定义残差eᵢ= yᵢ- (axᵢ + b)，其中 eᵢ表示第 i 个数据点的残差。
我们的目标是通过最小化残差平方和来确定直线的参数a 和b。
即最小化损失函数 S = Σ(eᵢ²)。
我们需要计算一些中间变量，包括样本数据的均值xₙ和yₙ，以及样本数据的协方差 sₓy 和方差 sₓ²。
其中，xₙ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n，yₙ = (y₁ + y₂ + … + yₙ) / n，sₓy = (Σ(xᵢ - xₙ)(yᵢ - yₙ)) / (n - 1)，sₓ² = (Σ(xᵢ - xₙ)²) / (n - 1)。
接下来，我们可以通过递推公式来更新参数 a 和 b 的估计值。
首先，我们初始化a₀和 b₀的估计值为0。
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种经典的自适应滤波算法，它在信号处理、通信系统、控制系统等领域得到了广泛的应用。
本文将介绍递推最小二乘法的原理及其在实际应用中的一些特点。
首先，让我们来了解一下最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组参数，使得给定的模型与观测数据之间的误差平方和最小。
在线性回归问题中，最小二乘法可以用来拟合一个线性模型，以最小化观测数据与模型预测值之间的差异。
最小二乘法的基本思想是通过最小化误差的平方和来寻找最优的参数。
递推最小二乘法是最小二乘法的一种变种，它的特点在于可以实时地更新参数估计，适用于需要动态调整的系统。
在实际应用中，由于系统参数可能随时间变化，传统的最小二乘法在每次参数更新时都需要重新计算整个数据集，计算复杂度较高，不适合实时性要求高的场景。
而递推最小二乘法则可以通过递推的方式，实时地更新参数估计，适用于动态环境下的参数估计问题。
递推最小二乘法的原理可以用数学公式来描述。
假设我们有一个线性模型，\[y_k = \theta^T x_k + e_k\]其中\(y_k\)是观测数据，\(x_k\)是输入向量，\(\theta\)是待估计的参数，\(e_k\)是噪声。
我们的目标是通过观测数据\(y_k\)和输入向量\(x_k\)来估计参数\(\theta\)。
递推最小二乘法的核心思想是通过递推的方式，实时地更新参数\(\theta\)的估计值。
具体来说，我们可以通过以下递推公式来更新参数\(\theta\)的估计值，\[\theta_k =\theta_{k-1} + \frac{P_{k-1}x_k}{1 + x_k^T P_{k-1} x_k}(y_k x_k^T \theta_{k-1})\]其中\(\theta_k\)是第\(k\)次的参数估计值，\(\theta_{k-1}\)是第\(k-1\)次的参数估计值，\(P_{k-1}\)是第\(k-1\)次的参数估计误差的协方差矩阵。
递推最小二乘法
取二 Ｅ （ ） 为 的 合目 函 相 的 的 合目 函 ： ＝， ｊ 作 新 拟 标 数， 应 新 拟 标 数为 Ｄｗ
ｊＯ （ ） Ｊ 艺ｚ艺：（ 】 习回 ） Ｑ 加 司一 一 ｅ ｝ ｊ ＝ 。＋ Ｇ 阶川 ＝ Ｄ叭
权最小二乘拟合。 （３ ） （３ ０ 把式（ ．和（ ．） ３ ９ ３ １ 代入式（３ ３ ． ． （ ．） ３ １ 则有： ．
度函数。 下面仅举出第一种计算相关函数法的计算过程。 用这个方法进行相关分析辨识
系统模型的计算分为三个步骤：
１ 根 输 和 出 随 数 计 相 函 Ｒ ）互 关 数 ＝ ） ） 据 入 输 的 机 据 算自 关 数 ， 和 相 函 Ｒ令； ， 卜 ｒ
２ 求 ，） Ｒ（的 立 变 Ｓｊ 凡行） ） ＊： ｓ）傅 叶 换 ｘ 、 （和 ３ ， ｒ （） 。； ） ０ 和
把 宪Ｇ 做型，把一实值模值差 “ Ｏ 模值并每点测与型之 ｊ 州 （ ）
： Ｅ ． ＝ Ｊ ｊ（） ＝（ ， － ＋ ， ｊ ）Ｐ （ Ｑ． －
（ ．．１ ３３１ ）
称为拟合误 差，再取全部采样频率。上的 拟合误差ｓ 平方和厂作为 ， 的 拟合目 标函数。
，ｒｎ 、。、下不二不｝ ＇－厂 Ｊ ‘ Ｂｏｌ ｝． ｖ＼ 、 Ｇ ， ｌ ． Ｗ厂 ＿ ＿ ： Ｖｗ ｝ ｋ 一ＹＥ ｔ－Ｌ］１ Ｇ ） ＇ 二 ＇ Ｕ ｉ － －， ＇ ｉ
二 （ ＋ （ ｖ ｝ ｊｒ ） ｕ ｍｍ ）
（ ．．０ ３３ １ ）
现要定数， 以ｄ２ 由ｊ（所示频特 在 参ｂｉ， ｉ．， ’ ｊ 表的率性 确 ｐ． 及， 使 （ ． ｂｍ ． 得 劣 ） ． ． ｂ ｄｎ ． ０ ｄ
函 与 验 得 频 特 加 ＋ ） 接 如 把Ｐ 和Ｑ ， 做 测 而 数 实 求 的 率 性ｐ ） ．最 近。 果 阮） （） 实 值， Ｍ ．叫
递推的最小二乘法
1
说明： 公式①的物理意义
( N 1) WLS ( N ) 在以前观测的基础上对本次观测值的预测
T 0 y ( N 1) ( N 1) WLS ( N ) 预测误差，说明 WLS ( N )与实际参数（N）的偏差 T
进行递推，起动问题：
. 一般选 WLS (0)=0，相应的P(0） I = = 0
递推的最小二乘法
最小二乘估计：
LS ( ) Y
T 1 T
加权的最小二乘估计：
WLS ( W ) WY
T 1 T
Y:所有观测数据的全体，所以以上都是成批处理观测数据的一次完成算法，是离 线辨识方法。优点：辨识精度高;缺点：计算量大（特别是高阶矩阵求逆），对 计算机内存要求高，不能在线辨识！
从
WLS ( N )
到
WLS ( N 1)
的递推公式过程（略P191）
递推公式：
T ★ ① WLS ( N 1) WLS ( N ) L( N 1) y ( N 1) ( N 1) WLS ( N ) ② L( N 1) P( N 1) ( N 1) ( N 1)
1、递推的最小二乘法基本思想：
• 本次（新）的估计值
(k )
=上次（老）的估计值
(k 1)
+修正项
•
可以观察随着时间的推移，新的输入、输出信息不断增加的情况下，参数估计的变化情况，特别适用于 在线实时辨识。
设原先得到的参数估计用 WLS ( N ) 表示，则
WLS ( N ) ( T ( N )W ( N ) ( N )) 1 T ( N )W ( N )Y ( N )
递推最小二乘法
递推最小二乘法递推最小二乘法是一种避免精度损失的迭代计算方法，在最小二乘法的基础上加以改进，主要用于拟合复杂的数据，解决拟合时出现精度下降问题。
一、什么是递推最小二乘法递推最小二乘法是一种迭代计算方法，利用多项式曲线拟合曲线数据，对于某个曲线，只需要实施最小二乘法的迭代计算，而不需要考虑精度的损失。
递推最小二乘法的主要工作是根据给定的拟合曲线，把它拟合到数据集中，从而使数据集距离拟合曲线最小。
二、递推最小二乘法的原理递推最小二乘法的核心原理是，利用多项式拟合曲线，按照“最小二乘法”的原理，以当前拟合曲线为参照，不断进行前进和后退，以达到拟合曲线将数据集中的数据最佳拟合的目的。
这个最佳拟合目标就是实现拟合曲线与数据集之间的最小误差，其中，最小误差就是拟合曲线与实际数据集之间的最小差值。
递推最小二乘法的实现方式主要有两种，一种是基于递推的方式，另一种是基于函数的方式。
前者大致的实现方法是：先计算出多项式拟合曲线的每一个系数，然后再利用这些系数计算出多项式拟合曲线的最终拟合曲线，最后比较拟合曲线与实际数据集之间的实际差异，根据差异再调整系数，不断循环，直到最后拟合曲线与实际数据集之间的实际差异达到预期值为止。
函数的实现方式也很类似，只是在计算过程中，会使用函数的方式，将拟合曲线的系数表示为函数的形式，然后再比较拟合曲线与实际数据集之间的实际差异，根据差异再调整函数系数，最后实现拟合曲线与实际数据集之间的最小差异。
三、应用递推最小二乘法在实际应用中可以用来拟合复杂的数据曲线，以求得更好的拟合效果，解决拟合时出现精度下降问题。
它具有计算量小、运算简单、拟合结果较好的优点，因此在实际应用中得到了广泛的使用，比如在众多植物物种的遗传分析中，用递推最小二乘法来拟合植物的遗传规律，以获得更准确的估计结果；在探测地球大气层时，也可以用最小二乘法来拟合大气层中的湿度数据，以获取更加准确的湿度数据；在搜索引擎中，对查询结果也可以用最小二乘法拟合出来，以获得更准确的查询结果等等。
递推最小二乘法
2
1
Φ
T N
ΦN
1
1 1 1 T T T T N 1 1 N 1 2 Φ N Φ N N 1 N 1 2 Φ N Φ N 1
Φ ΦN 2
T N
Φ Φ N N 1 2
T N 1 2
最小二乘估计法的缺陷
系统 B(z-1)/A(z-1)
+
x(k ) a1 x(k 1) b0 u (k )
an x(k n)
bn u (k n), k 1, 2,3
y(k ) x(k ) (k )
y (k ) a1 y (k 1) b0 u (k )
YN YN 1 y ( n N 1)
10
YN YN 1 y ( n N 1)
此时，由n+N+1个观测数据获得 的最小二乘估计为
1 T N 1 (T ) N 1YN 1 N 1 N 1
N T N 1
1
T T N 1 Φ N Φ N
1 T ) NYN ，则上式变为 又因为 N (T N N
N 1 N Φ Φ N N 1
T N 1 2
Φ
T N
Φ N N 1
1 2 T N 1
T N 1 1
T 1 T
J为极小值的充分条件是
2 J T 2 0 2
4
即矩阵 T 为正定矩阵。
递推最小二乘 参数辨识算法 u(k) y(k)
动态系统模型
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法是一种用于估计参数的统计方法，它可以帮助我们通过观测数据来拟合模型，从而预测未来的结果。
在实际应用中，我们经常会遇到数据量大、模型复杂的情况，这时候传统的最小二乘法可能会面临计算量大、求解困难的问题。
而递推最小二乘法则可以通过递推的方式，逐步更新参数估计，从而减小计算量，提高效率。
递推最小二乘法的原理主要基于最小二乘法和递推算法。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和来求解参数。
而递推算法则是一种通过递推更新参数的方法，可以在每次新的数据到来时，不必重新计算所有参数，而是通过已有的参数估计值和新的数据进行递推更新，从而减小计算量。
在实际应用中，递推最小二乘法可以应用于时间序列分析、信号处理、机器学习等领域。
它可以帮助我们更好地处理大规模数据，提高模型的拟合精度和预测能力。
同时，递推最小二乘法也具有较好的稳定性和收敛性，能够有效应对数据变化和噪声干扰。
递推最小二乘法的核心思想是通过递推更新参数，不断优化模型的拟合效果。
在实际应用中，我们可以通过以下步骤来实现递推最小二乘法：1. 初始化参数，首先，我们需要初始化模型的参数估计值，可以根据经验值或者随机值来初始化。
2. 递推更新参数，当新的数据到来时，我们可以利用已有的参数估计值和新的数据，通过递推算法来更新参数。
这样就可以不断优化模型的拟合效果。
3. 模型预测，通过不断更新参数，我们可以得到更加准确的模型，从而可以用于预测未来的结果。
递推最小二乘法的优点在于它能够有效地处理大规模数据和复杂模型，同时具有较好的稳定性和收敛性。
它在实际应用中具有广泛的应用前景，可以帮助我们更好地分析数据、预测结果。
总之，递推最小二乘法是一种重要的参数估计方法，它通过递推更新参数的方式，可以有效地处理大规模数据和复杂模型，提高模型的拟合精度和预测能力。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点，选择合适的递推最小二乘法模型，从而更好地分析数据、预测结果。
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一种递推最小二乘估计简化算法
刘桂英 李传庆 邵联合
（ 东北电力学院 （ 大学）自 动化工程学院 吉林省 吉林市 １２１ ３０２ ）
摘 要
本文介绍了 递推最小二乘估计及它的简化算法，该方法原理简单，使用方便，并有较好的准确性，良 好的估 计性能， 通过仿真说明它是一种正确、有效的并且具有计算量小， 辨识速度快，建模效率高等 特点的参数估计方 法． 适用于数据里较大， 建模速度要求较高的研究对象的在线建模。
０二０ ０Ｔ ０（ ０… ＂ １２ ０ ００ ）
Ｖ ＝ （ ‘“ （ 告， 丁， Ｏ 客“ “ ， ， ， ０ 一 ’
引进符号：
Ｄ） ０１ ｒ （ｔ （ （…０ Ｔ ＷＩ （＝ Ｔ ）
Ｐｔ （＇）（）＝ （ ＇） （ ＝｝ （｝ｔ一 （ ＿｝ 一 ） ｔ ）’ Ｚｏ）（ ’ ｏ＿ ）
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‘了 ．、 、
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Ｐｔ （一 （Ｏ（）（ １ （＝Ｉ ＫｔＴ ｔ ） ） ） ｔＰ 一 ） 注 到 有 矩 Ｔ （是 奇 时 阵Ｐｔ 定 。 意 只 当 阵。 （（ｔ 非 异 矩 （被 义 ｔ ） ） Ｄ ）
４简化算法
犷
一一
１ － ２
＇ 一ｔ ＋ ｔｏｔ ｔ ｎ 一 ） ｔ ） ｅ ｎ （（ 一 （ １ｒ ｔｅ １ ａ （ 尹 ） Ｂｔ Ｏｔ ）＇ ｎ ） （） ｒ ） ） 一 ）Ａ） （ ） ｙ 一 （ （
Ａ 八
这里ａ是 拉格朗日 系数。 取关于８ｔ和ａ的导 得： （ ） 数， Ｏｔ一 （ １ 时 （ ＝ （ Ｏｔ ） ） 一 一 ｔ ０ ）
式中ｅ 是 从 态 布的白 声Ｎ ０ ） 按 式构 （ ， 权 取 位阵Ｉ用 化 服 正 分 （ Ｏ 噪 （ １。 上 造Ｏ ） 加 阵 单 ， ｔ 。 简 算
法辨识结果如表 １ 所示。 仿真结果 表明， 大约递推到第十步时， 参数辨识的结果基本达到稳定 状 态。 参数的 此时 相对变化量Ｅ ０００５」 ： ， ０００． ５０ ００ 墩终的 精度可以 达到很小。从整个辨识过程来看， 精度的要求直接影响辨识的速度。
［ Ｕ ｂｈ ｅ， ｄ Ｍ ｔ ｄａｄ ｌ ｔｎｉＡ ａｔｅ ｔ ｌ ｅｉ Ｓｒｇ －ｅａ １ ０ ４ ｎｅ ｕｎＨ， ． ｅ ｏｓ Ａ ｐｃ ｉ ｓ ｄ ｉ Ｃ ｎｏ Ｂｒ ： ｎｅＶｒｇ ９ ． ］ ａ ． ． ｈ ｎ ｐ ｉ ｏ ｎ ｐｖ ｏ ｒ． ｎ ｐ ｒ ｌ， ８ ｅ ａ ｌ ｉ 刘桂英 （９５ ，女，吉林省吉林市人， １ － ７） 硕士， 研究方向为检测技术与自 动化装置。
ｒ（ 必ｔ ）
为 避 ０） ０ 一 潜 的 题 生 修 项 的 母 尹（ （到 ｒ）ｔ ａ 了 免 （＝ 时 个 在 问 发 ， 正 中 分 从 ｔ ｔ ０（ （＋ 变 ｔ ） ） ｔ ） ＂ Ｏ
化， 这里ａ是一正常数。然后得到下面的算法。
投影算法
人 Ａ
Ｂｔ＝ （ １ （ ９ｔ ） ） 一 ＋
这里ａ＞０ 且０＜ｒ＜２。
假 对ｔ ｔ 设 ＞ｏ Ｄ ） 秩． 数ｅ 下 递 给出 使 程 （） 化。 ＿ 矩阵（ｔ （ 满 参 由 式 推 ， 方 ２ 最小
ｅ） ９ 一）Ｋｔ （一Ｔ ｔ１ （＝ （ １ （（ｔ Ｏ（Ｏ 一） ｔ ｔ ＋ ） ） ｔ（ ） ｙ ） Ｋｔ Ｐｔ１（（ ＋Ｔ ｔ１（ 一 （＝ （ ）ｔＡ ０（Ｐ 一）ｔ ， ） 一 沪）Ｉ ｔ （ 护） ） ）
于ｔ 时刻测量的最小二乘估计。 一１ 定理 １递推最小二乘估计 （ Ｌ ） Ｒ Ｓ
假设 矩阵（ ｔ满秩， Ｄ ） （ 最小二乘估计８ｔ满足递推方程： （ ）
了 ． 、 、
矛 ‘
、 ． 少
｜
二 （ １＋ （ （ｔ ｏ（Ｏ 一） Ｏ 一） Ｋｔ ｙ） ｒ （ １ ｔ ） 一 ｔ ｔ ） （ ）
知变量的可知函数。引进下面向量：
０（＝鸽ｉ （…汽１ １）（（汽ｔ （ ， ） ） ） ｉ ）
这 模型由 量ｉ 变 表征，ｉ 时 变 （ 叫 归 量 归 且 程 Ｉ 的 叫 个 表示 间。 量护０ 回 变 或回 量， 方 （中 模型 ）
一个回归模型。 选取参数夕 使最小二乘损失函数最小化。
数据的有效方法。 而且介绍了简化算法， 投影算法， 在保证辨识准确度的情况下， 减小计算量， 以 提高辨识速度。
２最小二乘和回归模型
最小二乘法数学模型能写成以下形式：
．）＇１１９０２… Ｙｔ， ０ｗ ｏ Ｔ 、 ｖ ＝１ ＋２ ＋ ＋ｎ ＝ ｏ （ ｆ） ＇ ０ １ ＇０ （ （ ＇） （ ０ （ １ ） 观 变 ， １２． 要 确 的 型 数 ００二０ 可 依 其 可 这 是 察 量 ００．衅是 被 定 模 参 ，１２ ，是 以 靠 它 里ｙ ＂ １ ． １ １， ．
［ ２ 媛彬， 梅， 琦． 统辨识 】侯 汪 王立 系 及其ＭＴＡ 仿 Ｍ． ＡＬＢ 真［ 北京： ］ 科学出 版社， ０ ：－ ． ２０ ５ ７ ４３２
［ Ｎｒｄ Ｋ ．ｎＲ Ｍ ｎｐｉ ｐｌ ｔｎｏ ｄ ｔｅ ｔｌ ｅ ＹｒＡａ ｍｃ ｓ９ ． ３ ａｎ ａ ， ． ｏｏ ｌＡｐ ａ ｓ ａｉ ＣｎｏＮｗ ｋ ｃ ｅｉ ｒ ， ］ ｅ ｒ ． ａ Ｖ ｏ， ｉ ｉ ｆ ｖ ｏｒ． ｏ ： Ｓ ｄ ． ｃ ｏ Ａ ｐ ｄ Ｐ ｓ１ ０ ｅ ８
Ａ）ｏ ｔ （＝ ｔ ｒ） ｔ ０ 一 （Ｂ）
解这些方程得：
９ｔ＝ （ １ （ ９ｔ ） ） 一
引进因子ｒ 改Ｏ（９ 一） ｙ） ｒ） ｔ１ （一 ｔ （ ）
ｅｔ＝ （ １ （ Ｏｔ ） ） 一 ＋
（ｔ ０（９ 一） ｙ） ７）（ １ （一 ＇ ｔ ） １ ｏ（ （ ｒ）ｔ ｔ ） ｏ
（ｔ ｏ（９ 一） ｙ） ｒ ｔ１ （一 ｔ （ ） ） ａ 沪（护） ＋ Ｔ）ｔ ＯＷＯ Ｔ ｔ（ Ｗ
ｒ（ Ｏｔ ）
投 算 假 数 由 程ｖ） （ 没 差 生 当 据 方 Ｙ） （ ０ ） 影 法 设 据 方 ． ＝ ） 误 产 ． 数 由 程 （＝ ） ＋（带 （ ｏｔ ｔ ｒ ８ １ ０１ ｅ Ｔ １ Ｂ
关键词：递推最小二乘 参数估计 回归因子
１引言
在系统辨识的广阔背景下，讨论参数估计是有用的。系统辨识的关键因素是 选择模型结构， 实验设计， 参数估计和证实。在自 适应控制中， 一个过程的参数连续变化，于是，有递推更新参
数的 估计方 必 法是 要的。 ８ 在１世纪末Ｋｒ ｒｄｃＧｕ 形成了 二 理Ｉ 用 ａ Ｆｅｉ ａ ｓ ｌ ｒｈ ｓ ｉ 最小 乘原 ［ 它来决 行 １ 且 定
３时 变参数
在 应问 几个自 适 题中， 考虑参 数是时 情况是 变的 有益的。 １ ＂ 艺 兄 － 丫刃； 土 ｙ）必（ｅ ｖ９ｔ＝２廿 － （一 Ｔ ２ （， ， ） （１ １） ）
－
（） ２
这里兄 是一参数且０ 兄＜１ ＜ 。参数兄叫遗忘因子或贴现因子。 定理２ 具有指数遗忘的递推最小二乘
参考文献
［ Ｋｒ ｏａ Ａｔｍ ｒＷｉ ｎ ａ ． ｔｅ ｔｌ ｏｄ ｔｎＰａｏ Ｅｕａｏ，ｃ ２０： － ． １ ａ Ｊ ｎ ｓｏ Ｂｏ ｔ ｍ ｒ Ａ ａ ｉ Ｃｎ （ ｃｎ Ｅｉ ）ｅ ｓ ｄｃ ｉ ｌ ． ０３ １ ４ ］ ｌ ｈ ｒ ｊ ｎ ｅ ｋ ｄｐｖ ｏ ｒ Ｓ ｏ ｅ ｄｉ ． ｒ ｎ ｔｎｎ ， ４ ７ ｏ
有额外随机误差产生，一简化算法由下式给出：
Ｂ）Ｂ一＋（（ｙ 一Ｔ 一） ｎ ＝（１Ｐ））ｔＯｔ（１ （ ，） ｔｔ（ （ ，） ｔ Ｏ（） ） 乡
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这里，
Ｐ）（｝ｌ ， （： Ｔ ） ｔ 艺 （＇ 一 ）） Ｙ （ ｔ
这 随 的 似 法 注 到 Ａ ） 一 标 时 Ｐｔ Ｗ 是 个 量 个 一 是 机 近 算 。 意 当 ｔ 个 量 ， （＝ 是 ） 一 标 一 进 步
表 １最小二乘递推算法的辨识结果
Ｉ ｎ ｔ ｇ ａ ｓ ｎｕ Ｓ ｎ ｌ ｉ
Ｐ ｒｍ ｔ Ｉ ｔｃｔ 洲山Ｒ ｃｒｖ Ｌａｔ ａｅ Ｍ ｔ ｄ ａ ｅ ｒ ｉ ａｍ ａ ｅｄ ｔ ｉ ｎ ｅ ｉ ｅｕｓ ｅ ｓＳ ｕ ｒ ｅ ｏ ｉ ｅ ｑ ｓ ｈ
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６结论 该 法 算 简 ， 比 方 ， 真 果 好有 好 参 估 特 ， 实 辨 中 较 单 ’用 较 便 仿 效 较 ，较 的 数 计 性 确 是 识 方 计 比 应
的一种较好的方法。 注意到，如果我们没有观察到方程误差不是白 噪声，我们就会被误导， 避免 错误的可能就是计算方程误差的修正量并且检查它是否是白噪声．
Ｐｔ （一 （＂（）（ １ Ａ （＝Ｉ ＫｔＴ ｔ ） ） ） ｔＰ 一 ／ ）
处理时变参数的一替代方法是假设一个时变数学模型。时变参数能由下面的模型获得：
９ｔ １＝ ｖ（ ＋ （ （ ） （９ｔ Ｖｔ ＋ Ｄ ） ） 这 ， 知 且ｖ０是离散时间白 里中 是已 矩阵 （ 噪声。
第十届全国电工数学学术年会论文集
星和小行星的轨道。 最小二乘方法是参数估计的基本方法，标准递推最小二乘辨识算法， 对于时 不变系统具有最优特性，但它不适用于具有时变参数的系统。对于具有时变参数的系统，为了 跟
踪 态 程的 化， 必 有 地 扣旧 据。 数 忘 （ｘ ｎ ｔｌ ｔｇ 是 种 扣旧 动 过 变 就 须 效 折 数 指 遗 Ｅｐ ｅｉＦｇ ｉ ） 一 折 ｏ ｎａ ｏｅｎ ｒ
一种递推最小二乘估计简化算法
３递推计算
在自 适应控制器里， 顺序实时获得观察。 期望做递推计算来节省计算时间， 最小二乘 估计的
计 能 这 一 方 安 ： ｔ１ 刻 得 结 能 来 到 时 的 计 用 （ １ 示 算 以 样 种 式 排 在 一时 获 的 果 用 得 ｔ 刻 估 。 ９ 一） 基 ｔ 表
的 简化是最小平均二乘（ Ｓ Ｌ ） Ｍ 算法， 在这算法中 参数由 下式更新：