渐消记忆递推最小二乘算法
各类最小二乘算法
β N −1 H* = N 0
β N −2
β 2( N −1) WN = 0
β 2( N −2)
0 ⋱ 1
三、递推算法 ∵
k θ(k ) = ∑ β i =1
∧
2(k −i) h (i )h T (i )
2随着采样次数的增多数据量不断增加ls估计有可能出现所谓的数据饱和现象导致递推算法不能接近参数真二关于数据饱和现象的分析所谓数据饱和现象就是随着时间的推移采集到的数据越来越多新数据所提供的信息被淹没在老数据的海洋之中
Ⅴ 各种最小二乘类参数辨识算法 §1 概 述
最小二乘类参数辨识算法（一次完成算法、递推算法） 最小二乘类参数辨识算法 （一次完成算法 、 递推算法 ） 是一种 最基本和常用的参数估计方法。但研究和应用表明， 最基本和常用的参数估计方法。 但研究和应用表明， 这一算 法仍存在明显的不足。 法仍存在明显的不足。 一、LS 算法的主要不足之处 1、当模型噪声为有色噪声时，LS 估计不再是无偏估计、一致 、当模型噪声为有色噪声时， 估计不再是无偏估计、 估计。 估计。 2、随着采样次数的增多，数据量不断增加，LS估计有可能出 、随着采样次数的增多，数据量不断增加， 估计有可能出 现所谓的“数据饱和”现象， 现所谓的“数据饱和”现象，导致递推算法不能接近参数真 值。
于是有： 于是有：
α P ( k ) P − 1 ( k − 1) = I − P ( k ) h ( k ) h T ( k )
则：
ˆ θ ( k ) = P ( k ) H * T Z * = P ( k ) α H * −1T Z * −1 + h ( k ) z ( k ) k k k k
递推阻尼最小二乘法辨识算法公式的详细推导与说明
控制理论与控制工程学位课程《系统辨识》考试报告递推阻尼最小二乘法公式详细推导专业：控制理论与控制工程班级：2011双控（研）学生姓名：江南学号：20110201016任课教师：蔡启仲老师2012年06月29 日摘要在参数辨识中，递推最小二乘法是用得最多的一种算法。
但是，最小二乘法存在一些缺点，如随着协方差矩阵的减小，易产生参数爆发现象；参数向量和协方差矩阵的处置选择不当会使得辨识过程在参数收敛之前结束；在存在随机噪声的情况下，参数易产生漂移，出现不稳定等。
为了防止参数爆发现象，Levenberg 提出在参数优化算法中增加一个阻尼项，以增加算法的稳定性。
本文在一般的最小二乘法中增加了阻尼因子，构成了阻尼最小二乘法。
又根据实时控制的要求，详细推到了递推阻尼最小二乘公式，实现在线辨识。
关键字：系统辨识，最小二乘法，递推算法正文1.题目的基本要求已知单入单出系统的差分方程以及噪声，在应用最小二乘法进行辨识的时候，在性能指标中加入阻尼因子，详细推导阻尼最小二乘法的递推公式。
2.输入辨识信号和系统噪声的产生方法和理论依据 2.1系统辩识信号输入选择准则（1）输入信号的功率或副度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辩识精度；（2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使正负向扰动机会几乎均等； （3）工程上要便于实现，成本低。
2.2白噪声及其产生方法 （1） 白噪声过程（2）白噪声是一种均值为0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。
（3）白噪声过程定义：如果随机过程()t ω的均值为0，自相关函数为()()2R t t ωσδ= （2.2.1）式中()t δ 为狄拉克（Dirac) 分布函数，即(){(),00,01t t t dt δδ∞∞=≠∞==⎰-且t （2.2.2）则称该随机过程为白燥声过程。
2.3白噪声序列 (1) 定义 如果随机序列{()}w t 均值为0，并且是两两不相关的，对应的自相关函数为()2,0,1,2w l R l l σδ==±± 式中{1,00,0l l l δ=≠=则称这种随机序列{()}w t 为白噪声序列。
递推最小二乘算法 simulink
递推最小二乘算法simulink 递推最小二乘算法是一种常用的数学算法，用于估计数据的最佳拟合曲线。
Simulink是一款强大的系统建模和仿真工具，它可以方便地进行算法的模拟和验证。
本文档将介绍如何在Simulink中使用递推最小二乘算法来实现数据的最佳拟合。
首先，我们需要明确递推最小二乘算法的基本原理。
递推最小二乘算法是一种迭代算法，根据已知的数据点，通过不断更新拟合曲线的参数，使得拟合曲线与实际数据的残差平方和最小化。
其核心思想是通过迭代计算，不断调整参数，逐步优化拟合效果。
在Simulink中，我们可以使用递归结构来实现递推最小二乘算法。
首先，我们需要建立一个递推模型框架，包括数据输入、参数更新、残差计算和拟合曲线输出等组件。
其次，我们需要确定递推算法的初始参数值，通常可以使用数据的平均值作为初始参数。
然后，我们可以通过迭代计算的方式，不断更新参数值，直到拟合曲线达到最佳效果。
在模型的具体实现中，我们可以使用Simulink中的线性系统模块、运算模块和数据存储模块等进行建模。
通过连接和配置不同的模块，我们可以构建一个完整的递推最小二乘算法模型。
在模型的验证过程中，我们可以使用Simulink提供的仿真功能，输入实际数据，并观察拟合曲线与实际数据的吻合程度。
需要注意的是，在使用递推最小二乘算法之前，我们需要确定一些参数，如迭代次数、收敛准则和阈值等。
这些参数的选择将直接影响到递推算法的收敛速度和拟合效果。
因此，我们需要根据具体的应用场景和数据特点进行合理选择和调整。
总结来说，递推最小二乘算法是一种有效的数据拟合算法，可以在Simulink中得到方便的实现和验证。
通过合理配置模型和参数，我们可以得到与实际数据最佳拟合的拟合曲线。
在实际应用中，递推最小二乘算法具有广泛的应用领域，如信号处理、系统辨识和机器学习等。
希望本文档能够帮助您更好地理解和应用递推最小二乘算法。
渐消记忆递推增广最小二乘算法
K=P*x(1:5,i+1)/(s+x(1:5,i+1).'*P*x(1:5,i+1));
q(1:5,i+1)=q(1:5,i)+K*(A(i+1,2)-x(1:5,i+1).'*q(1:5,i));
P=(s^-1)*(P-(K*(x(1:5,i+1).'))*P);
sum=sum+A(i,2);
if(A(i,2)>maxy)
maxy=A(i,2);
elseif(A(i,2)<miny)
miny=A(i,2);
end
if(A(i,1)>maxx)
maxx=A(i,1);
w(i+1)=A(i+1,2)-x(1:5,i+1).'*q(1:5,i+1);
x(5,i+2)=w(i+1);
end
subplot(2,2,1)
plot(q(1,:),'r')
hold on
plot(q(2,:),'g')
hold on
plot(100*q(3,:),'b')
A(i,:)=[];
end
[row, col]=size(A);
i=i+1;
end
maxx=A(1,1);
minx=A(1,1);
maxy=A(1,2);
miny=A(1,2);
for i=1:row %寻找输入输出的极值
%渐消记忆递推增广最小二乘估计算法
自适应控制基本原理-自校正控制
自校正控制系统目的：根 据一定的自适应规律，调 整可调控制器参数，使其 适应被控系统不确定性, 且使其运行良好。
常
规 控
v
－
制 w(t) ＋ 系
e
控制器
u
y(t)
被控对象
统
自
适
控制器参数
参数/状态
应
设计计算
估计器
机
性能指标
构
自校正控制系统结构图
2 自校正控制
2.1 概述
模型参考自适应控制和自校正控制系统结构的区别
2 自校正控制
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.1 基本最小二乘方法
被控系统模型为一离散线性差分方程
A(z1) y(k) B(z1)u(k) (k)
(2.44)
不可测随机干扰序列
k 时刻测量到的系统输出和输入
A(z1) 1 a1z1 an zn B(z1) b0 b1z1 bn zn
(2.45a) (2.45b)
(k) 为独立的随机噪声，要求其满足
E( (k)) 0
(2.46a)
2 E{ (i) ( j)}
i j
0 i j
(2.46b)
lim
1
N
(k)2
N N
k 1
(2.46c)
随机噪声的均值为零,彼此相互独立，方差为有限正值,噪声的采样均方值有界。
nN
J [ y(k) (k)T θˆ]2 k n1
(2.51)
2.2 动态过程参数估计的最小二乘法
2.2.1 基本最小二乘方法
y(N) Φ(N)θ(N) ξ(N)
渐消记忆与限定记忆最小二乘法——第五讲
Harbin Institute of Technology–HIT系统辨识与自适应控制黄显林、班晓军黄显林班晓军控制理论与制导技术研究中心哈尔滨工业大学banxiaojun@2013-03-22控制理论与制导技术研究中心第1页Harbin Institute of Technology–HIT第五讲渐消记忆与限定记忆最小二乘法内容提要:1. 数据饱和现象实例据现实2. 数据饱和现象原因33. 渐消记忆法算法流程4. 渐消记忆法算法推导5. 渐消记忆法算法算例2013-03-22控制理论与制导技术研究中心第2页Harbin Institute of Technology–HIT6. 限定记忆法算法流程7. 限定记忆法算法推导8. 限定记忆法算例算2013-03-22控制理论与制导技术研究中心第3页Harbin Institute of Technology–HIT数据饱和现象：直观上，随着采集到的数据越来越多，递推最小二乘法应该给出更精确地参数估计值；但实际上，随着迭代次应该给出更精确地参数估计值但实际上随着迭代次数增加，“估计值”与“真实值”的偏差会愈来愈远。
2013-03-22控制理论与制导技术研究中心第24页Harbin Institute of Technology–HIT二、数据饱和现象的原因见板书2013-03-22控制理论与制导技术研究中心第25页Harbin Institute of Technology–HIT三、解决的方案1. 增加“新数据”在计算中的权重，减小“老数据”在计算中的权重——渐消记忆法；2. 去掉一部分老数据——限定记忆法。
2013-03-22控制理论与制导技术研究中心第26页Harbin Institute of Technology–HIT四、渐消记忆算法流程82013-03-22控制理论与制导技术研究中心第27页Harbin Institute of Technology–HIT为了确保P(N)的对称性8(01]其中2013-03-22控制理论与制导技术研究中心第28页2(0,1]λρ=∈其中，Harbin Institute of Technology–HIT仿真结论：1. 渐消记忆法在一定程度上克服了“数据饱和问题。
系统辨识之最小二乘
写成矩阵的形式为：
Y = Fq + e
3.6
é - y(n)
- y(n -1) … - y(1) u(n) … u(1) ù
F
=
ê ê ê
-
y(n "
-1)
- y(n) "
… - y(2)
u(n +1)
…
u(2)
ú ú
…"
" # "ú
êë- y(n + N ) - y(n + N -1) ! - y(N ) u(n + N ) ! u(N )úû
q = F -1y
如果噪声x ¹ 0，则 q = F-1y - F-1x
从上式可以看出噪声 x 对参数估计有影响，为了尽量减小噪声 x 对q 估值的影响，应取 N>(2n+1), 即方程数大于未知数数目。在这种情况下，不能用解方程的办法来求q ，而要采用数理统计的办法， 以便减小噪声对q 估值的影响。在给定输出向量 y 和测量矩阵 F 的条件下求系统参数q 的估值，这 就是系统辨识问题。可用最小二乘法来就q 的估值。
在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要求解其函数解析式。
一种方法是采用插值逼近法，即所构造的近似函数 f (x) 在已知节点 xi 上必须满足 f(xi) = yi 要求逼 近函数 f (xi) 与被逼近函数 f (x) 在各已知点 xi 处的误差为零，即要求 f (x) 的曲线必须通过所有的
取泛函 J (q )为
N
å å J (q ) = (Y - Fq )2 = e2 (n + i) = eT • e = (Y - Fq )T (Y - Fq ) i =1
各种最小二乘算法总结
各种最小二乘算法总结1. 一般最小二乘法例 1 考虑如下仿真对象z k 2 1.5 z k 1 0.7 z k u k1 0.5u k v k 其中，v k 为服从N 01 分布的白噪声。
输入信号u k采用M 序列，幅度为1。
M 序列由9 级移位寄存器产生，xi xi 4⊕xi 9 。
选择如下的辨识模型z k 2 a1 z k 1 a2 z k b1u k 1 b2u k vk 观测数据长度取L 400 。
加权阵取∧I 。
1.1. 一次计算最小二乘算法a1 -1.4916 θ LS a 2 H T H 1 H T Z 0.7005 1.1 L L L L 1.0364 b10.4268 b2 Z 3 hT 3 Z 2 Z 1 u 2 u 1 T其中，Z L Z 4 ，H h 4 Z 3 Z 2 u3 u 2 ... L ... ... ... ... ... Z 402 hT 402 Z 401 Z 400 u 401 u 400Matlab程序见附录1。
1.2. 递推最小二乘算法递推最小二乘算法公式：θ k θ kK k P k 1hk h k P k 1hk 1.2 ∧k Pk I K k h k Pk 11 K k z k h k θ k 1 1 13 盛晓婷最小二乘算法总结报告a1 3 初始条件θ 0 a 2 3 P0 100I 。
3 4×4 b1 3 b2经过编程计算，各个参数的估计值为a1 -1.4976 a2程序见附录2。
待估参数0.6802θ LS 1.0284 1.3 b1 0.3341 b2Matlab过渡过程 3 2.5 2 1.5 b1 1 a2 0.5 0 b2 -0.5 -1 a1 -1.5 -2 0 50 100 150200 250 300 350 400 450 图 1 一般最小二乘参数过渡过程 4 盛晓婷最小二乘算法总结报告估计方差变化过程100908070605040302010 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 图2 一般最小二乘方差变化过程 5 盛晓婷最小二乘算法总结报告 2.遗忘因子最小二乘算法采用的辨识模型与例1相同。
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其中：
且
, t 0 (t ) 0, t 0
(t )dt 1
则称该随机过程为白噪声过程。 10
白噪声序列
定义：如果随机序列{ω(k)}的均值为0，并且是俩俩不相 关的，对应的自相关函数为：
Rω(l)=σ2δl l=0 ，±1 ，±2 ，· · ·
其中：(2) 正态分布随机数产生1) 统计近似抽样法
N 12 其中i 为（0， 1 ）均匀分布随机数；
2 ~ N ( , )为正态分布随机数。
+
i 1
N
i
N 2
2) 变换抽样法
设1， 2是2个相互独立的（0，1）均匀分布的 随机变量，则
1 （-2ln 1 ) 2 cos 2 2 1 1 2 2 （-2ln 1 ) sin 2 2
（3）L. Ljung定义（1978）：辨识就是按照一个准则在一 组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。辨识有三 个要素---数据、模型类和准则。
6
系统辨识的内容和步骤
辨识的目的 和验前知识
设 计 辨 识 实 验
被 辨 识 系 统 的 数 据
确定模型类型和结构
模型参数估计
不满意
I/0 模型的校验
满意
最终模型
参数辨识 系统辨识 结构辨识
已知系统结构（阶次）， 但参数未知。 系统结构（阶次）未知。
一般来说，系统辨识算法只适用于线性系统。 非线性系统的辨识算法目前很不成熟，对于某些特
殊的非线性系统可能有一些特殊的辨识方法，但是
没有统一的算法。
8
第二章 系统辨识常用输入信号
xi Axi 1 (mod M ) , i 1, 2,3
i
xi , i 1, 2,3, M
2) 混合同余法
xi ( Axi 1 C)(mod M ) , i 1, 2,3
i
xi , i 1, 2,3, M
白噪声序列产生方法
●
回顾
差分方程
y (k ) a1 y (k 1) an 1 y (k n 1) an y (k n) b0 u (k ) b1u (k 1) bn 1u (k n 1) bnu (k n)
引入单位延迟算子 z
1
，令： z 1 x(k )
是相互独立，服从N（0，）分布的随机变量。 1
M序列产生方法
X1
移位脉冲 XOR
X2
X3
X4
输出
1111 0111 0010 1001 1010 1101
0011 1100 1110
0001 0110 1111
14
1000 0100 1011 0101
111100010011010
M序列的性质
（1）由n级移位寄存器产生的M序列是确定的周期性序 列，它的周期长度为N=2n-1。 （2）n级移位寄存器中必须避免全部为“0”的状态，M 序列一个周期内状态“0”出现的次数比状态“1” 少1。 （3）M序列中，状态“0”或“1”连续出现的段称为游程。 游程中“0”或“1”的个数称为游程长度。
, 0l 1 l , 00l
则称该随机序列为白噪声序列。 根据离散傅里叶变换可知白噪声序列的平均功率谱密 度为常数σ2，即 S ( ) R (l )e jl 2
l 11
白噪声序列产生方法
(1) (0,1)均匀分布随机数的产生
1) 乘同余法
x(k 1)
A( z 1 ) y(k ) B( z 1 )u(k )
合理选择辨识的输入信号是能否获得好的辨识结 果的关键之一
w(k )
u (k )
输入量
测量噪声
SISO
线性 离散系统
y (k )
输出量
z (k )
输出量实测值
输入信号极大地影响着系统的可辨识性和辨识精度。 从理论上、工程上两方面给出了输入信号选择准则。
白噪声定义
白噪声过程是一种最简单的随机过程。它是一种均值为 0、谱密度为非0常数的平稳随机过程。 定义：如果随机过程ω(t)的均值为0，自相关函数为： Rω(t)=ζ2δ(t)
演绎法建模 （理论分析法、机理建模法）
归纳法建模 （测试法、系统辨识法）
数学模型特点
(1)同一系统可有多个模型描述； (2)同一模型可以反映不同的实际系统； (3)模型精确度与复杂度的矛盾。
3
先验 知识
演绎分析 目 标 协 调 归 纳 程 序
目的
模型构造
数据
可信度分析
最终 模型
建模过程总框图
4
研究上述系统时，可分为三类问题： （1）系统的分析问题 （2）系统的控制问题 （3）系统的辨识问题
5
系统辨识的定义
（1）L. A. Zadeh定义（1962）：辨识就是在输入和输出数 据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系 统等价的模型。 （2）P. Eykhoff定义（1974）：辨识问题可以归结为用一 个模型来表示客观系统本质特征的一种演算，并用这个模 型把对客观系统的理解表示成有用的形式。
长度为i（1≤i≤n-2）的游程占总数的1/2i，有2n-i-1个; 长度为n-1的游程为“0”的游程; 长度为n的游程为“1”的游程;
（4）所有M序列均具有移位可加性，即2个彼此移位等价 的相异M序列，按位模2相加所得到序列仍与原M序列等价。 （5）M序列的自相关函数R(τ)在原点处最大，离开原点后 迅速下降，具有近似白噪声序列的性质。
二电平M序列
由于M序列对时间是离散的，而输入需要对时间连续， 所以在实际应用中，总是把状态为“0”和 “1”的M序列变 换成幅度为+a和-a的二电平序列，其中“0”对应高电平+a， “1”对应低电平-a。这种对时间连续的序列称为二电平M序 列。 111100010011010
16
第三章 系统数学描述与经典辨识法
复 习
1
第一章
绪论
系统是由相互联系、相互作用的若干组成部分结合而成 的，具有特定功能的总体。
模型的含义： 所谓模型（model）就是把关于实际系统的本质的部分信
息减缩成有用的描述形式。
模型是分析系统和预报、控制系统行为特性的有力工具。 模型是根据使用目的对实际系统所作的一种近似描述。
2
建立数学模型的基本方法