最小二乘参数估计的递推算法——
递推最小二乘法推导(RLS)——全网最简单易懂的推导过程
递推最小二乘法推导（RLS）——全网最简单易懂的推导过程作者：阿Q在江湖先从一般最小二乘法开始说起已知x和y的一系列数据，求解参数theta的估计。
用矩阵的形式来表达更方便一些：其中k代表有k组观测到的数据，表示第i组数据的输入观测量，yi表示第i组数据的输出观测量。
令：，则最小二乘的解很简单，等价于即参数解为：如果数据是在线的不断的过来，不停的采用最小二乘的解法来解是相当消耗资源与内存的，所以要有一种递推的形式来保证对的在线更新。
进一步推导出递推最小二乘法（RLS）我们的目的是从一般最小二乘法的解推导出的递推形式。
一定要理解这里的下标k代表的意思，是说在有k组数据情况下的预测，所以k比k-1多了一组数据，所以可以用这多来的一组数据来对原本的估计进行修正，这是一个很直观的理解。
下面是推导过程：先看一般最小二乘法的解下面分别对和这两部分进行推导变换，令得到下面公式（1）下面来变换得到公式（2）下面再来，根据一般最小二乘法的解，我们知道下式成立，得到公式（3）（注：后续公式推导用到）好了，有了上面最主要的三步推导，下面就简单了,将上面推导的结果依次代入公式即可：至此，终于变成的形式了。
通过以上推导，我们来总结一下上面RLS方程：注：以上公式7中，左边其实是根据公式1，右边I为单位矩阵公式（5）和（7）中，有些文献资料是用右边的方程描述，实际上是等效的，只需稍微变换即可。
例如（5）式右边表达式是将公式（1）代入计算的。
为简化描述，我们下面还是只讨论左边表达式为例。
上面第7个公式要计算矩阵的逆，求逆过程还是比较复杂，需要用矩阵引逆定理进一步简化。
矩阵引逆定理：最终RLS的方程解为：好了，至此完毕！以上应该算是最简单的推导过程了，相信都能看得懂了。
后续有时间将增加带遗忘因子的RLS推导步骤，毕竟工程上的实际用途很多用此方法，比如在线辨识电池系统等效电路模型的参数，用于卡尔曼滤波算法估算SOC……。
递推最小二乘法_协方差矩阵_概述说明以及解释
递推最小二乘法协方差矩阵概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在统计学和计量经济学中，递推最小二乘法（Recursive Least Squares，简称RLS）是一种常用的参数估计方法。
它通过不断更新样本数据进行参数的估计，并且可以适用于非静态数据场景。
协方差矩阵是统计分析中重要的概念，它描述了变量之间的线性关系强度和方向，并且在许多领域具有广泛应用。
1.2 文章结构本文首先介绍递推最小二乘法的定义和原理，在此基础上详细解释算法的步骤以及其应用领域。
接着，我们将引入协方差矩阵的概念并介绍其计算方法，同时探讨了它在实际问题中所起到的作用和应用场景。
最后，我们将对递推最小二乘法与协方差矩阵之间的关系进行解释，并通过实例分析来说明它们如何相互影响。
1.3 目的本文旨在全面介绍递推最小二乘法和协方差矩阵，并深入探讨它们之间的联系。
通过对这两个概念及其应用的理解，我们可以更好地理解参数估计方法和变量间关系的描述与分析。
此外，我们还将展望相关领域未来可能的研究方向，以促进学术和实践的进一步发展。
2. 递推最小二乘法2.1 定义和原理:递推最小二乘法是一种用于估计线性模型参数的方法。
它可以通过历史数据的不断更新来逐步拟合模型，以使得估计值与观测值之间的误差达到最小化。
该方法可以被形式化地描述为以下步骤：1. 初始化模型参数的初始值。
2. 从历史数据中选择一个样本，并使用当前参数估计出该样本对应的输出值。
3. 计算该样本的预测误差。
4. 根据预测误差对参数进行调整，使得预测误差尽量减小。
5. 重复步骤2至4，直到所有样本都被处理过一遍，或者满足终止条件。
递推最小二乘法是基于最小二乘原理，即将真实观测值与模型预测值之间的差异平方求和并最小化这个目标函数。
通过迭代地更新参数，递推最小二乘法可以逐渐优化模型，并获得更准确的参数估计。
2.2 算法步骤:具体而言，在每次迭代中，递推最小二乘法按照以下步骤进行操作：1. 根据历史数据选择一个样本，并根据当前的参数估计出预测值。
最小二乘法参数估计量推导
最小二乘法参数估计量推导最小二乘法，这个名字听上去挺高深的，其实就是一种简单而强大的数学工具，广泛应用于数据分析中。
今天，我们就来聊聊这玩意儿到底是怎么一回事。
1. 什么是最小二乘法最小二乘法其实就是在做“找差距”的工作。
假设你有一堆数据点，比如说你测量了一系列的温度和对应的电力消耗，你的目标是找到一条最能贴合这些数据点的直线。
这条直线就像是你为数据“量体裁衣”的结果。
1.1. 基本思想最小二乘法的核心思想就是：找到一条直线，使得每一个数据点到这条直线的距离（叫做“残差”）的平方和最小。
这个“平方和”就像是把所有的偏差加起来，让它们不再那么“任性”。
1.2. 为什么用“平方”？那为什么要把这些偏差平方呢？因为平方能有效地放大大的误差，这样我们就不容易忽视它们。
就像打麻将，偏差大的牌更容易被看见，才能让我们在游戏中更精准地调整策略。
2. 数学推导好啦，接下来我们就来捋一捋这个过程。
咱们还是从简单的说起：假设你有一组数据点（x₁, y₁）、（x₂, y₂）、……、（xₙ, yₙ），而你要找的是一条直线y = β₀ + β₁x。
这条直线就是我们的“理想之线”。
2.1. 定义目标函数我们的目标就是最小化所有这些点到直线的距离平方和。
用数学的语言来描述，就是要最小化目标函数：[ S(beta_0, beta_1) = sum_{i=1}^n (y_i beta_0 beta_1 x_i)^2 ]。
这里面，(y_i beta_0 beta_1 x_i)就是每一个点到直线的距离，平方了之后就能让误差更加明显。
2.2. 求导数为了找到最小值，我们需要对目标函数进行求导数，然后让导数等于零。
这个过程就像是找到山顶的最低点一样。
我们分别对β₀和β₁求偏导数，然后设定这些偏导数为零，得到两个方程：[ frac{partial S}{partial beta_0} = 0 ]。
[ frac{partial S}{partial beta_1} = 0 ]。
递推最小二乘法推导
递推最小二乘法推导递推最小二乘法是一种经典的数学方法，用于解决数据拟合问题。
它通过最小化误差平方和的方法，寻找最佳的拟合曲线或平面，从而对数据进行预测和分析。
本文将详细介绍递推最小二乘法的原理和推导过程。
一、引言在现实生活和科学研究中，我们经常需要通过已知的数据来拟合一个函数，以便对未知的数据进行预测或分析。
而最小二乘法就是一种常用的数据拟合方法，它的基本思想是通过最小化误差的平方和，找到最佳的拟合函数。
二、最小二乘法的基本原理最小二乘法的基本原理是通过最小化残差平方和来确定拟合函数的参数。
残差指的是每个数据点的观测值与拟合函数预测值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到使得残差平方和最小的参数值，从而得到最佳的拟合曲线或平面。
三、递推最小二乘法的推导过程递推最小二乘法是最小二乘法的一种改进方法，它能够更加高效地进行参数估计。
下面将结合一个简单的一元线性回归问题，来详细介绍递推最小二乘法的推导过程。
假设我们有一组样本数据(x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ)，需要找到一条直线y = ax + b 来拟合这些数据。
我们可以定义残差eᵢ= yᵢ- (axᵢ + b)，其中 eᵢ表示第 i 个数据点的残差。
我们的目标是通过最小化残差平方和来确定直线的参数a 和b。
即最小化损失函数 S = Σ(eᵢ²)。
我们需要计算一些中间变量，包括样本数据的均值xₙ和yₙ，以及样本数据的协方差 sₓy 和方差 sₓ²。
其中，xₙ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n，yₙ = (y₁ + y₂ + … + yₙ) / n，sₓy = (Σ(xᵢ - xₙ)(yᵢ - yₙ)) / (n - 1)，sₓ² = (Σ(xᵢ - xₙ)²) / (n - 1)。
接下来，我们可以通过递推公式来更新参数 a 和 b 的估计值。
首先，我们初始化a₀和 b₀的估计值为0。
几种最小二乘法递推算法的小结
几种最小二乘法递推算法的小结最小二乘法是一种常见的参数估计方法，广泛应用于各个领域的数学和统计模型的拟合问题。
在实际应用中，我们常常需要递推地计算最小二乘法的结果，以便能够在实时数据到来的情况下，快速地更新参数估计值。
以下是几种常见的最小二乘法递推算法的小结。
1. 递推最小二乘法（Recursive least squares, RLS）递推最小二乘法是一种在线参数估计方法，可以在每次新数据到来时，快速地更新参数估计值。
RLS算法利用递推的方式，将历史数据和新数据的信息结合起来，从而得到最新的参数估计值。
该算法基于递归迭代过程，迭代公式中的权重矩阵可以由历史数据的协方差矩阵递推得到。
递推最小二乘法具有良好的收敛性和较低的计算复杂度。
2.递推最小二乘法的变种算法（RLS的变种算法）递推最小二乘法的变种算法是对传统的RLS算法进行改进和优化的方法。
其中，经典的改进算法有递归正交最小二乘法（Recursive orthogonal least squares, ROLS）和递推快速QR分解法（Recursive fast QR factorization, RFQR）。
ROLS算法通过引入正交化处理，解决了经典RLS算法中信号相关性较高时，参数估计不稳定的问题。
RFQR算法则通过对历史数据进行快速QR分解的方法，进一步提高了算法的计算速度，并降低了计算复杂度。
3. 渐进最小二乘法（Asymptotic least squares, ALS）渐进最小二乘法是一种常见的在线参数估计算法，用于解决参数估计问题的收敛速度较慢的情况。
ALS算法通过估计参数的渐进协方差矩阵，然后利用资料增益矩阵计算最新的参数估计值。
由于ALS算法不需要存储和计算全部历史数据的相关矩阵，因此可以在实时数据到来的情况下，快速地进行参数估计。
4. 数据辅助递推最小二乘法（Data-augmented recursive least squares, DARLS）数据辅助递推最小二乘法是一种常见的递推最小二乘法的改进算法，适用于当历史数据缺失或者不完整时。
广义最小二乘法和递推最小二乘法
广义最小二乘法和递推最小二乘法
广义最小二乘法和递推最小二乘法是最小二乘法算法的改进版本。
最小二乘法
是一种常见的统计学技术，它有效地估计未知参数集，也可以用于回归分析。
本文旨在详细介绍广义最小二乘法和递推最小二乘法。
首先让我们了解最小二乘法。
最小二乘法（Least Squares）是一种最常用的
方法，其中未知参数的估计量是穷举法的最优估计，这是一种很有效的技术。
最小二乘法的求解过程中，以平方的残差来最小化两个估计量的差异，以求得最优参数。
然而，最小二乘法有时也会出现缺陷，其中一个原因是可能会把噪声干扰包含
在结果中，另一个原因是它依赖被观测值的方差，而方差受因素影响。
因此，有了广义最小二乘法。
广义最小二乘法是在最小二乘法的基础上改进的算法。
在广义最小二乘法中，
我们通过加入惩罚参数来最小化残差，以对噪声进行抑制。
惩罚参数的加入，使得预测变更的安全降低，同时噪声的影响也可以得以抑制。
因此，广义最小二乘法在回归分析中也有广泛的应用。
此外，基于最小二乘法的另一种增强方法是“递推最小二乘法”。
递推最小二
乘法是将最小二乘法算法进行改良，从而改善对噪声的抑制能力。
和广义最小二乘法一样，递推最小二乘法也需要惩罚参数的加入。
递推最小二乘法也通过持续更新未知参数，来达到最小化残差的目的，从而能有效地抑制噪声。
以上就是本文要陈述的关于广义最小二乘法和递推最小二乘法的改进方法以及
它们的比较。
从技术上讲，广义最小二乘法和递推最小二乘法都比最小二乘法更能抑制噪声和拟合回归曲线，因此，它们在回归分析中都有广泛的应用。
递推最小二乘法原理
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, RLS）是一种经典的自适应滤波算法，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
它通过不断地更新参数估计，实现对信号的实时跟踪和预测。
本文将介绍递推最小二乘法的原理及其应用。
首先，我们来了解一下最小二乘法（Least Squares, LS）的基本原理。
最小二乘法是一种常见的参数估计方法，它通过最小化观测数据的残差平方和来确定参数的估计值。
对于线性模型，最小二乘法的估计值可以通过求解正规方程或者利用矩阵运算来得到。
然而，在实际应用中，数据通常是逐步到达的，因此需要一种能够实时更新参数估计的方法，这就是递推最小二乘法。
递推最小二乘法的核心思想是利用递推的方式不断更新参数估计，以适应数据的动态变化。
在每次新的数据到达时，根据当前的参数估计和新的数据，通过一定的计算方法得到更新后的参数估计。
这样，参数估计可以随着时间的推移而不断优化，从而更好地适应信号的变化。
在递推最小二乘法中，通常会引入一个遗忘因子（ForgettingFactor），用于衰减历史数据的影响，使算法更加关注最近的数据。
遗忘因子的选择对于算法的性能有着重要的影响，合理的遗忘因子可以平衡对历史数据和最新数据的重视程度，从而提高参数估计的准确性和稳定性。
除了参数估计，递推最小二乘法还可以用于信号预测和滤波。
通过不断更新参数估计，可以实现对信号的实时跟踪和预测，从而在控制系统和通信系统中发挥重要作用。
在实际应用中，递推最小二乘法通常与自适应滤波器相结合，构成自适应滤波系统，用于抑制噪声、提取信号等。
总之，递推最小二乘法是一种重要的自适应参数估计方法，具有实时性强、适应性好的特点，适用于动态环境下的信号处理和控制。
通过不断更新参数估计，可以实现对信号的准确跟踪和预测，为实际应用提供了有力的支持。
在未来的研究和工程实践中，递推最小二乘法仍将发挥重要作用，为各种领域的应用提供有效的解决方案。
递推最小二乘法公式推导
递推最小二乘法公式推导1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在数据分析和统计学中非常重要的话题：递推最小二乘法。
听起来有点高大上，但别担心，我会用简单易懂的语言来带你们走进这个领域，仿佛在和老朋友聊天。
准备好了吗？让我们一起揭开这个神秘面纱，看看它是怎么运作的。
2. 什么是最小二乘法？2.1 基本概念首先，最小二乘法其实就是一种用来拟合数据的方法。
想象一下，你在一个阳光明媚的日子里和朋友打乒乓球，记录下每一局的得分。
你想知道你和朋友的水平差不多还是天差地别，这时候就需要用到最小二乘法来找出最佳拟合线。
简单说，就是通过一条线，把所有的点“尽量”挤在一起，这样就能直观地看出你们的实力差距啦。
2.2 工作原理这个方法的核心思想就是把所有点到拟合线的距离（也就是误差）平方后求和，然后最小化这个总和。
听起来是不是有点复杂？没关系，换个方式想。
就像你在吃一盘水果沙拉，里面有苹果、香蕉、葡萄，总得找个方法把它们混合得更均匀，不然每次吃到的口感就不一样，简直是“心有不甘”啊！3. 递推最小二乘法的魅力3.1 动态更新说到递推最小二乘法，它就像是一个智能的助手，能够动态更新你的拟合线。
就拿你那打乒乓球的例子来说，随着你打的局数越来越多，你的水平也会有所变化，这时候，递推最小二乘法就能根据新的数据不断调整那条拟合线。
是不是听起来特别聪明？就像你的朋友在旁边不断给你建议：“嘿，这一局你发球不太准，下次可以试试这样……”这样下去，你的水平肯定会越来越高！3.2 应用场景那么，这种方法到底能用在什么地方呢？其实，想想我们的日常生活，处处都有它的身影。
从股票市场的分析到气象预测，从医疗健康的监测到运动员的训练数据，递推最小二乘法的应用可谓是无处不在。
这就像是一个万能的小工具，能帮你解决各种各样的问题，真是“百搭”啊！4. 推导过程4.1 数学基础好了，咱们回到正题，推导递推最小二乘法的公式。
首先，你得有一个基础的数学知识，尤其是线性代数。
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K (0) P (0) (1)[1 T (1) P (0) (1)]1
(1) (0) K (0)[ y(1) T (1) (0)]
P(1) P(0) K (0)T (1)P(0)
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控制理论与制导技术研究中心
第8页
Harbin Institute of Technology– HIT
G(z)
0.45z 0.23 z2 1.83z 0.82
y(k) 1.83y(k 1) 0.82 y(k 2) 0.45u(k 1) 0.23u(k 2)
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控制理论与制导技术研究中心
第23页
Amplitude
2 1.5
1 0.5
0 -0.5
-1 -1.5
Estimation 0
-0.5
1
-1
-1.5 0
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100
200
300
400
500
Step
图4. 参数的在线收敛过程
控制理论与制导技术研究中心
第16页
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
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2
Harbin Institute of Technology– HIT Estimation
K (N ) P(N )(N 1)[1 T (N 1)P(N )(N 1)]1
P(N 1) P(N ) P(N )(N 1)[1 T (N 1)P(N )(N 1)]1T (N 1)P(N )
(N 1) (N ) K (N )[ y(n N 1) T (N 1) (N )]
控制理论与制导技术研究中心
第12页
Amplitude
2 1.5
1 0.5
0 -0.5
-1 -1.5
-20
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Harbin Institute of Technology– HIT Input-Signal
5
10
15
Time (Seconds)
图1. 输入信号
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Harbin Institute of Technology– HIT
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控制理论与制导技术研究中心
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Harbin Institute of Technology– HIT
三、递推算法计算流程
(0), P(0)
y(1), u (1)
-2 0
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Harbin Institute of Technology– HIT Input-Sig (Seconds)
图11. 输入信号
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20
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Amplitude
2 x 1078 0 -2 -4 -6 -80
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0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
00
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100 200 300 400 500 Step
图16. 辨识结果 控制理论与制导技术研究中心
600
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1
0 -0.5
K (N ) P(N )(N 1)[1 T (N 1)P(N )(N 1)]1
P(N 1) P(N ) K (N )T (N 1)P(N )
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第5页
Harbin Institute of Technology– HIT
为了确保P(N)的对称性
四、初值的选取方法
1. 用最小二乘的封闭形式计算 P0 ( N 0 ) ， ˆ0 ( N 0 ) ；
2. 人为给初值 P0 2 I ， 足够大；ˆ0 0 。
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Harbin Institute of Technology– HIT
-1 -1.2 -1.4 -1.60
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Harbin Institute of Technology– HIT Estimation
200 400 600 800 Step
图3. 参数的在线收敛过程
控制理论与制导技术研究中心
1000
1200
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Harbin Institute of Technology– HIT
控制理论与制导技术研究中心
1000
1200
第19页
1
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2
0
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Harbin Institute of Technology– HIT Estimation
50 100 150 200 250 300 Step
图8. 参数的在线收敛过程 控制理论与制导技术研究中心
五、递推算法的仿真试验
例一、稳定被控对象
G(z)
1.0z 0.5 z2 1.5z 0.7
y(k) 1.5y(k 1) 0.7 y(k 2) 1.0u(k 1) 0.5u(k 2)
初值选择：
P(0) 1010 I ；
(0) 0
噪声方差：0.01
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y(2), u (2)
K(1) P(1)(2)[1 T (2)P(1)(2)]1
(2) (1) K (1)[ y(2) T (2) (1)] P ( 2 ) P (1) K (1) T ( 2 ) P (1)
y(3), u (3)
K (2) P(2)(3)[1 T (3)P(2)T (3)]1
Harbin Institute of Technology– HIT Estimation
200
400
600
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系统辨识与自适应控制
黄显林、班晓军 控制理论与制导技术研究中心
哈尔滨工业大学 banxiaojun@
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第五讲 最小二乘参数估计的递推算法
内容提要：
一、问题的提出 二、递推算法结果 三、递推算法的推导过程 四、递推算法计算流程 五、初值的选取方法 六、递推算法的仿真试验
例一、稳定的被控对象 例二、不稳定的被控对象
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一、问题的提出
• 最小二乘标准算法的不足： – 不方便用于“在线”辨识，不方便用于“慢时变”
的被控对象；
– 计算量很大，占用大量硬件资源（内存）； – 许多计算都是重复的。
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第3页
Harbin Institute of Technology– HIT
• 递推算法的基本思想：
图6. 参数的在线收敛过程
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第18页
1
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.40
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Harbin Institute of Technology– HIT Estimation
200 400 600 800 Step
图7. 参数的在线收敛过程
100 200 300 400 500 600 Step
图13. 辨识结果
控制理论与制导技术研究中心
第26页
Harbin Institute of Technology– HIT
Estimation 1
0.5
2
0
-0.5
-10
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100 200 300 400 500 Step
图14. 辨识结果 控制理论与制导技术研究中心
(N 1) (N ) K (N )[ y(n N 1) T (N 1) (N )]
K (N ) P(N )(N 1)[1 T (N 1)P(N )(N 1)]1
P(N 1) P(N ) K (N )K T (N )[1 T (N 1)P(N )(N 1)]
(n) (n 1) K (n 1)[ y(n) T (n) (n 1)]
P(n) P(n 1) K (n 1)T (n)P(n 1)
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Harbin Institute of Technology– HIT
200 400 600 800 Step
图5. 参数的在线收敛过程
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1000
1200 第17页
Harbin Institute of Technology– HIT
2
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
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Estimation
50 100 150 200 250 300 350 Step