参数最小二乘估计量的统计性质
计量经济学复习知识点重点难点
计量经济学复习知识点重点难点计量经济学知识点第一章导论1、计量经济学的研究步骤：模型设定、估计参数、模型检验、模型应用。
2、计量经济学是统计学、经济学和数学的结合。
3、计量经济学作为经济学的一门独立学科被正式确立的标志：1930年12月国际计量经济学会的成立。
4、计量经济学是经济学的一个分支学科。
第二章简单线性回归模型1、在总体回归函数中引进随机扰动项的原因：①作为未知影响因素的代表；②作为无法取得数据的已知因素的代表；③作为众多细小影响因素的综合代表；④模型的设定误差；⑤变量的观测误差；⑥经济现象的内在随机性。
2、简单线性回归模型的基本假定：①零均值假定；②同方差假定；③随机扰动项和解释变量不相关假定；④无自相关假定；⑤正态性假定。
3、OLS回归线的性质：①样本回归线通过样本均值；②估计值的均值等于实际值的均值；③剩余项ei的均值为零；④被解释变量的估计值与剩余项不相关；⑤解释变量与剩余项不相关。
4、参数估计量的评价标准：无偏性、有效性、一致性。
5、OLS估计量的统计特征：线性特性、无偏性、有效性。
6、可决系数R2的特点：①可决系数是非负的统计量；②可决系数的取值范围为[0,1]；③可决系数是样本观测值的函数，可决系数是随抽样而变动的随机变量。
第三章多元线性回归模型1、多元线性回归模型的古典假定：①零均值假定；②同方差和无自相关假定；③随机扰动项和解释变量不相关假定；④无多重共线性假定；⑤正态性假定。
2、估计多元线性回归模型参数的方法：最小二乘估计、极大似然估计、矩估计、广义矩估计。
3、参数最小二乘估计的性质：线性性质、无偏性、有效性。
4、可决系数必定非负，但是根据公式计算的修正的可决系数可能为负值，这时规定为0。
5、可决系数只是对模型拟合优度的度量，可决系数越大，只是说明列入模型中的解释变量对被解释变量的联合影响程度越大，并非说明模型中各个解释变量对被解释变量的影响程度也大。
6、当R2=0时，F=0；当R2越大时，F值也越大；当R2=1时，F→∞。
计量经济学复习考试题（客观题）
计量经济学复习考试题（客观题）一、单选题1、把反映某一总体特征地同一指标地数据，按一定地时间顺序和时间间隔排列起来，这样地数据称为（）A. 横截面数据B. 时间序列数据C. 面板数据D. 原始数据2、同一时间、不同单位按同一统计指标排列地观测数据称为（）A．原始数据B．截面数据C．时间序列数据D．面板数据3、下列哪一个模型是计量经济模型( )A.投入产出模型B.数学规划模型C.包含随机变量地经济数学模型D.模糊数学模型4、用计量经济学研究问题可分为以下四个阶段（）A．确定科学地理论依据、建立模型、模型修定、模型应用B．建立模型、模型修定、结构分析、模型应用C．建立模型、估计参数、检验模型、经济预测D．搜集数据、建立模型、估计参数、预测检验5、最小二乘法是指（）A. 使达到最小值B. 使达到最小值C. 使达到最小值D. 使达到最小值6、在一元线性回归模型中，总体回归模型可表示为（）A. B.C. D.7、在一元线性回归模型中，总体回归方程可表示为（）A. B.C. D.8、在一元线性回归模型中，样本回归方程可表示为（）A. B.C. D.9、一元线性回归分析中，残差平方和地自由度是（）A. B. C. D.10、一元线性回归分析中，回归平方和地自由度是（）A. B. C. D.11、一元线性回归分析中，总离差平方和地自由度是（）A. B. C. D.12、对样本地相关系数，以下结论错误地是（）A. 越接近0，与之间线性相关程度越高B. 越接近1，与之间线性相关程度越高C.D. ，则与相关独立13、多元线性回归分析中，为回归模型中地参数个数，可决系数与调整后地可决系数之间地关系是（）A. B.C. D.14、在模型地回归分析结果报告中，有F＝263489.23，F地p值＝0.000000，表明（）A. 解释变量对地影响是显著地B. 解释变量对地影响是显著地C. 解释变量和对地联合影响是不显著地D. 解释变量和对地联合影响是显著地15、多元回归分析中地反映了（）A. 关于地边际变化B. 因变量回归估计值总变差地大小C. 因变量观测值总变差地大小D. 因变量观测值与估计值之间地总变差16、在古典假设成立地条件下用OLS方法估计线性回归模型参数，则参数估计量具有（）地统计性质.A．有偏特性 B. 最小方差特性C．非线性特性 D. 非一致性特性17、设为回归模型中地参数个数，为样本容量，则对多元线性回归方程进行显著性检验时，所用地统计量可表示为（）A. B.C. D.19、关于多元样本可决系数，以下说法中错误地是（）A．可决系数是指被经解释变量中地变异性能被估计地多元回归方程解释地比例B．C．可决系数反映了样本回归线对样本观测值拟合优劣程度D．可决系数地大小不受到回归模型中所包含地解释变量个数地影响20、已知五元线性回归模型估计地残差平方和为，样本容量为46，则随机误差项地方差估计量为（）A. 33.33B. 40C. 38.09D. 2021、设为货币需求量，为收入水平，为利率，流动性偏好函数为，又设，分别是，地估计值，则根据经济理论，一般来说（）A. 应为正值，应为负值B. 应为正值，应为正值C. 应为负值，应为负值D. 应为负值，应为正值22、下列哪个模型是不可线性化地非线性回归模型（）A. C-D生产函数模型，其中是产出量，是资金投入量，是劳动力投入量B. 非线性消费函数模型，其中是总消费，是可支配收入C. 商品需求曲线，其中是商品需求量，是价格D. 总成本函数，其中是总成本，是产量23、不可线性化地非线性回归模型地线性化估计方法不包括（）A. 变量替换法B. 直接搜索法C. 直接优化法D. 迭代线性化法24、更容易产生异方差地数据为（）A. 时间序列数据B. 修匀数据C. 横截面数据D. 年度数据25、如果回归模型违背了同方差假定，最小二乘估计量是（）A. 无偏地，非有效地B. 有偏地，非有效地C. 无偏地，有效地D. 有偏地，有效地26、回归模型中具有异方差性时，仍用OLS估计模型，则以下说法正确地是（）A. 参数估计值是无偏非有效地B. 参数估计量仍具有最小方差性C. 常用F 检验失效D. 参数估计量是有偏地27、在检验异方差地方法中，不正确地是（）A. Goldfeld-Quandt方法B. ARCH检验法C. White检验法D. DW检验法28、在异方差性情况下，常用地估计方法是（）A. 一阶差分法B. 广义差分法C. 工具变量法D. 加权最小二乘法29、下列说法不正确地是（）A.异方差是一种随机误差现象B.异方差产生地原因有设定误差C.检验异方差地方法有F检验法D.修正异方差地方法有加权最小二乘法30、设为随机误差项，则一阶线性自回归是指（）A. B.C. D.31、在下列引起序列自相关地原因中，不正确地是（）A. 经济变量具有惯性作用B. 经济行为地滞后性C. 设定偏误D. 解释变量之间地共线性32、如果回归模型违背了无自相关假定，最小二乘估计量是( )A. 无偏地，有效地B. 有偏地，非有效地C. 无偏地，非有效地D. 有偏地，有效地33、已知样本回归模型残差地一阶自相关系数接近于1，则DW 统计量近似等于( )A. 0B. 1C. 2D. 434、在Durbin-Watson检验中，当DW统计量为2时，表明（）A. 存在完全地正自相关B. 存在完全地负自相关C. 不存在自相关D. 不能判定35、广义差分法是（）地一个特例A. 加权最小二乘法B. 广义最小二乘法C. 普通最小二乘法D. 两阶段最小二乘法36、14、如果回归模型中解释变量之间存在完全多重共线性，则最小二乘估计量（）A. 不确定，方差无限大B. 确定，方差无限大C. 不确定，方差最小D. 确定，方差最小37、简单相关系数矩阵方法主要用于检验（）A. 异方差性B. 自相关性C. 随机解释变量D. 多重共线性38、逐步回归法既检验又修正了（）A.异方差性B.自相关性C.随机解释变量D.多重共线性39、多元线性回归模型中，发现各参数估计量地t值都不显著，但模型地F值确很显著，这说明模型存在（）A．多重共线性B．异方差C．自相关D．设定偏误40、下列说法不正确地是（）A. 多重共线性产生地原因有模型中大量采用滞后变量B. 多重共线性是样本现象C. 检验多重共线性地方法有DW检验法D. 修正多重共线性地方法有增加样本容量二、多选题1、计量经济学模型地检验一般包括内容有（）A. 经济意义检验B. 统计检验C. 计量经济学检验D. 模型预测检验E. 对比检验2、最小二乘估计量地统计性质有（）A. 无偏性B. 线性性C. 最小方差性D. 不一致性E. 有偏性3、随机变量（随机误差项）中一般包括哪些因素（）A. 回归模型中省略地变量B. 人们地随机行为C. 建立地数学模型地形式不够完善D. 经济变量之间地合并误差E. 测量误差4、利用普通最小二乘法求得地样本回归直线地特点是（）A. 必然通过点B. 可能通过点C. 残差地均值为常数D. 地平均值与地平均值相等E. 残差与解释变量之间有一定地相关性5、设为回归模型中地参数个数，为样本容量，为可决系数，则对多元线性回归方程进行显著性检验时，所用地统计量可表示为（）A. B.C. D.6、多元线性回归分析中，可决系数与调整后地可决系数之间地关系叙述正确是（）A. 与均非负B. 有可能大于C. 判断多元回归模型拟合优度时，使用D. 模型中包含地解释变量个数越多，与就相关越大E. 只要模型中包括截距项在内地参数地个数大于1，则7、设为回归模型中地参数个数，为样本容量，为可决系数，则对多元线性回归方程进行显著性检验时，所用地统计量可表示为（）A. B.C. D.E.8、如果模型中存在异方差现象，则会引起如下后果（）A. 参数估计值有偏B. 参数估计值地方差不能正确确定C. 变量地显著性检验失效D. 预测精度降低E. 参数估计值仍是无偏地9、Goldfeld-Quandt检验法地应用条件是（）A. 将观测值按解释变量地大小顺序排列B. 样本容量尽可能大C. 随机误差项服从正态分布D. 将排列在中间地约1/4地观测值删除掉E. 除了异方差外，其它假定条件均满足10、检验序列自相关地方法是（）A. Goldfeld-Quandt检验法B. White检验法C. 图形法D. ARCH检验法E. DW检验法11、能够修正序列自相关地方法有（）A. 加权最小二乘法B. 广义最小二乘法C. 广义差分法D. 工具变量法E. 间接最小二乘法12、如果模型中存在自相关现象，则会引起如下后果（）A. 参数估计值有偏B. 参数估计值地方差非有效C. 变量地显著性检验失效D. 预测精度降低E. 参数估计值仍是无偏地13、如果模型中解释变量之间存在共线性，则会引起如下后果（）A. 参数估计值确定B. 参数估计值不确定C. 参数估计值地方差趋于无限大D. 参数地经济意义不正确E. DW统计量落在了不能判定地区域14、下列说法不正确地是（）A. 多重共线性是总体现象B. 多重共线性是完全可以避免地C. 多重共线性是一种样本现象D. 截面数据不会产生多重共线性E. 只有完全多重共线性一种类型15、能够检验多重共线性地方法有（）A. 简单相关系数矩阵法B. DW检验法C. t检验与F检验综合判断法D. ARCH检验法E. 辅助回归法(又待定系数法)三、判断题1、普通最小二乘法进行参数估计地基本原理是使残差平方和最小.2、当我们说估计地回归系数在统计上是显著地，意思是说它显著地异于0.3、总离差平方和（TSS）可分解为残差平方和（ESS）与回归平方和（RSS）之和，其中残差平方和（ESS）表示总离差平方和中可由样本回归直线解释地部分.4、多元线性回归模型地F检验和t检验是一致地.5、当存在严重地多重共线性时，OLS估计往往会低估参数估计量地方差.6、如果随机误差项地方差随解释变量变化而变化，则线性回归模型存在随机误差项地自相关.7、DW检验只能检验一阶自相关.8、参数地估计量具备有效性是指.9、计量经济模型分为单方程模型和联立方程模型.10、决定系数地取值范围是.11、对已经估计出参数地模型不需要进行检验.12、简单线性回归模型与多元线性回归模型地基本假定是相同地.13、即使经典线性回归模型中地干扰项不服从正态分布，OLS估计量仍然是无偏地.14、当异方差出现时，常用地和检验失效.15、检验中值在0到4之间，数值越小说明模型随机误差项地自相关度越小，数值越大说明模型随机误差项地自相关度越大.16、在模型中引入解释变量地多个滞后项容易产生多重共线性.17、在经济计量分析中，模型参数一旦被估计出来，就可将此估计模型直接运用于实际地计量经济分析.18、在计量经济模型中，随机扰动项与残差项是有区别地.19、假定个人服装支出同收入水平和性别有关，由于性别是具有两种属性（男、女）地定性因素，因此，用虚拟变量回归方法分析性别对服装支出地影响时，需要引入两个虚拟变量.20、由间接最小二乘法与两阶段最小二乘法得到地估计量都是无偏估计.21、残差项地均值.22、OLS估计量地无偏性，是指参数估计量地数学期望等于各自地真值.23、样本可决系数高地回归方程一定比样本可决系数低地回归方程更能说明解释变量对被解释变量地解释能力.24、若回归模型存在异方差问题，可以使用加权最小二乘法进行修正.25、对应于自变量地每个观察值，利用样本回归函数可求出因变量地真实值.26、根据最小二乘估计，我们可以得到总体回归方程.27、当用于检验回归方程显著性地统计量与检验单个系数显著性地统计量结果矛盾时，可以认为出现了严重地多重共线性.28、一般情况下，用线性回归模型进行预测时，单个值预测与均值预测相等，且置信区间也相同.29、当模型中解释变量均为确定性变量时，则可以用DW统计量来检验模型地随机误差项所有形式地自相关性.30、在研究经济变量之间地非确定性关系时，回归分析是惟一可用地方法.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理。
计量经济学题(答案)
《计量经济学》要点一、单项选择题知识点：第一章若干定义、概念时间序列数据定义横截面数据定义同一统计指标按时间顺序记录的数据称为( B )。
A、横截面数据B、时间序列数据C、修匀数据D、原始数据同一时间，不同单位相同指标组成的观测数据称为（ B ）A．原始数据B．横截面数据C．时间序列数据D．修匀数据变量定义（被解释变量、解释变量、内生变量、外生变量、前定变量）单方程中可以作为被解释变量的是（控制变量、前定变量、内生变量、外生变量）；在回归分析中，下列有关解释变量和被解释变量的说法正确的有（ C ）A、被解释变量和解释变量均为随机变量B、被解释变量和解释变量均为非随机变量C、被解释变量为随机变量，解释变量为非随机变量D、被解释变量为非随机变量，解释变量为随机变量什么是解释变量、被解释变量？从变量的因果关系上，模型中变量可分为解释变量（Explanatory variable）和被解释变量(Explained variable)。
在模型中，解释变量是变动的原因，被解释变量是变动的结果。
被解释变量是模型要分析研究的对象，也常称为“应变量”(Dependent variable)、“回归子”（Regressand）等。
解释变量也常称为“自变量”(Independent variable)、“回归元”（Regressor）等，是说明应变量变动主要原因的变量。
因此，被解释变量只能由内生变量担任，不能由非内生变量担任。
单方程计量经济模型中可以作为被解释变量的是（ C ）A、控制变量B、前定变量C、内生变量D、外生变量单方程计量经济模型的被解释变量是（ A ）A、内生变量B、政策变量C、控制变量D、外生变量在回归分析中，下列有关解释变量和被解释变量的说法正确的有（C）A 、被解释变量和解释变量均为随机变量B 、被解释变量和解释变量均为非随机变量C 、被解释变量为随机变量，解释变量为非随机变量D 、被解释变量为非随机变量，解释变量为随机变量 双对数模型中参数的含义；双对数模型01ln ln ln Y X ββμ=++中，参数1β的含义是（ D ）A . X 的相对变化，引起Y 的期望值绝对量变化B ．Y 关于X 的边际变化C ．X 的绝对量发生一定变动时，引起因变量Y 的相对变化率D 、Y 关于X 的弹性双对数模型 μββ++=X Y ln ln ln 10中，参数1β的含义是 （ C ）A. Y关于X的增长率 B .Y关于X的发展速度C. Y关于X的弹性D. Y关于X 的边际变化计量经济学研究方法一般步骤四步12点计量经济学的研究方法一般分为以下四个步骤（ B ）A．确定科学的理论依据、模型设定、模型修定、模型应用B．模型设定、估计参数、模型检验、模型应用C．搜集数据、模型设定、估计参数、预测检验D．模型设定、检验、结构分析、模型应用对计量经济模型应当进行哪些方面的检验？经济意义检验：检验模型估计结果，尤其是参数估计，是否符合经济理论。
第三节最小二乘估计量的性质
第三节 最小二乘估计量的性质三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性 一、 线性特性的含义线性特性是指参数估计值1ˆβ和2ˆβ分别是观测值t Y 或者是扰动项t μ的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用t Y 或者是t μ来表示。
1、2ˆβ的线性特征证明 （1）由2ˆβ的计算公式可得： 222222()ˆt tttt ttttttt tt tt x y x Y x Y xxx xx x x x β--===⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑Y Y Y Y需要指出的是，这里用到了因为t x 不全为零，可设2tt tx b x =∑，从而，t b 不全为零，故2ˆt t b β=∑Y 。
这说明2ˆβ是t Y 的线性组合。
（2）因为12t t t Y X ββμ=++，所以有()212122ˆt t t t t t t t t t t tb b X b b X b b βββμββμβμ==++=++=+∑∑∑∑∑∑Y这说明2ˆβ是t μ的线性组合。
需要指出的是，这里用到了220t t t t t x x b x x ===∑∑∑∑∑以及 ()2222222201t t tt t t tt ttttttttx x X x b X X x x x x X x X x x x x x⎛⎫+⎪== ⎪⎝⎭++==+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2、1ˆβ的线性特征证明 （1）因为12ˆˆY X ββ=-，所以有 ()121ˆˆ1t t t t tY X Y X b nXb n ββ=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑Y Y这里，令1a Xb n=-，则有1ˆt a β=∑Y 这说明1ˆβ是t Y 的线性组合。
（2）因为回归模型为12t t t Y X ββμ=++，所以()11212ˆt t t t t t t t t ta a X a a X a βββμββμ==++=++∑∑∑∑∑Y因为111t t t a Xb X b nn⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭∑∑∑∑。
多元线性回归模型
统计学第4章 多元线性回归模型第1节 多元线性回归模型概述（一）多元线性回归模型形式一般来说，我们研究的变量往往受多个因素的影响，如作物的收成会受气温，施肥量，降雨量等等的影响，对某中商品的消费需求会受该商品价格，收入，其他商品价格等的影响。
因此，我们要讨论一个变量对两个以上变量的统计依赖关系。
1）多元线性回归模型的一般表现形式：122i i k ik i Y X X βββε=++++，1,2,,i n =其中，k 为解释变量的数目，(1,2,,)j j k β= 习惯上，把常数项看成为取值恒为1的变量的系数，上述表达式也被称为总体回归函数的随机表达形式。
其非随机形式为：12122(,,,)i i ik i k ik E Y X X X X X βββ=+++表示各变量X 值固定时Y 的平均响应j β 也称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，j X 每变化一个单位时，Y 的均值()E Y 的变化。
或者说j β给出了j X 单位变化对Y 均值的“直接”或“净”（不含其它变量）影响。
总体线性回归模型n 个随机方程的矩阵表达式为：11212112122222122Y X ...k k k k n n k nk nX Y X X Y X X βββεβββεβββε=++++⎧⎪=++++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩将此方程组写成矩阵形式：112131122223222231...1.................................1...k k n n n nk k n Y X X X Y XX X Y X X X βεβεβε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦简写为：11n n k n Y XB ε⨯⨯⨯=+2）样本回归函数及其矩阵表达用一定的方法对1β,2β,…,k β估计后，122ˆˆˆˆ...i i k ik Y X X βββ=+++ 残差：ˆi i iY Y e -= 样本回归方程的随机形式可表示为：122ˆˆˆ...i i k ik i Y X X e βββ=++++ 则其矩阵表达为：ˆˆYXB = 或ˆY XB e =+ 其中12ˆˆ.ˆ..ˆn Y Y YY ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 12ˆˆ.ˆ..ˆk B βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12...n e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（二） 多元线性回归模型的基本假定 1. X 与Y 之间的关系是线性的121...i i k ik i Y X X βββε=++++, N i ,...,2,1= 即12(,,,)i i ik E Y X X X 是参数的线性函数。
3、计量经济学【一元线性回归模型——参数估计】
ˆ Y i
(8) 651.8181 753.6363 855.4545 957.2727 1059.091 1160.909 1262.727 1364.546 1466.364 1568.182 11100
ˆ ei Yi Y i
(9)=(2)-(8) 48.18190 -103.6363 44.54550 -7.272700 40.90910 -10.90910 -62.72730 35.45450 83.63630 -68.18190
假设 5：随机误差项服从 0 均值，同方差的正态 分布，即
2 i ~ N (0, ), ,,,,,,,,, ,, i 1,2, n
以上这些假设称为线性回归模型的经典假
设，满足这些假设的线性回归模型，也称为 经典线性回归模型（classical linear regression model）。在回归分析的参数估计和统计检验 理论中，许多结论都是以这些假定作为基础 的。如果违背其中的某一项假定，模型的参 数估计就会存在问题，也就是说最小二乘法 （OLS）就不再适用，需对模型进行修正或 采用其他的方法来估计模型了。
二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的概率分布及随机误差项
方差的估计
给出一元线性回归模型的一般形式：
Yi 0 1 X i i ,,,, , i 1, 2, ,n
其中 Yi ：被解释变量，X i ：解释变量，0 和 1 ：待估参 数； i ：随机误差项；
ei2
（10） 2321.495 10740.48 1984.302 52.89217 1673.554 119.0085 3934.714 1257.022 6995.031 4648.771 33727.27
2.2 最小二乘的估计性质
ˆ ) E ( k ) k E ( ) E( i i 1 i i 1 1 1
同样地，容易得出
ˆ ) E ( w ) E( ) w E ( ) E( i i i i 0 0 0 0
3、有效性（最小方差性） ， 即在所有线性无偏估计量
2
x nX n x
2 i 2 i
2
2
X n x
2 i i
2 2
（2）证明最小方差性
ˆ * 是其他估计方法得到的关于 的线性无偏估计量： 假设 1 1
ˆ* c Y ii 1
其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数
则容易证明
ˆ * ) var( ˆ) var( 1 1
ˆ + ˆ Xi + ei • (2) 估计的统计模型 ： Yi= 0 1
• (3) 真实的回归直线：E(Yi) = 0 + 1 Xi
ˆ = ˆ + ˆ Xi • (4) 估计的回归直线： Y i 0 1
二、参数估计量的概率分布及随机误差 项方差的估计
ˆ 的概率分布 ˆ 和 1、参数估计量 0 1
2 1 x 1 1 2 2 2 Xk i X 2 k i2 2 X k i X 2 i 2 x n n n n i 2
2
2 1 X n x2 i
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。
ˆ 证： 1
x y x
i 2 i
统计推断中最小二乘法的渐近性质理论
统计推断中最小二乘法的渐近性质理论最小二乘法是一种常用的统计推断方法，该方法通过寻找使得观测值与模型预测值之间的平方差最小的参数估计值，来进行数据拟合与参数估计。
在实际应用中，我们需要了解最小二乘法的渐近性质，即当样本容量足够大时，最小二乘估计将具有渐进无偏性、渐进有效性以及渐进正态性。
本文将详细介绍最小二乘法的渐近性质理论。
1. 渐进无偏性在大样本条件下，最小二乘估计的渐进无偏性是指当样本容量趋于无穷时，最小二乘估计的期望值趋近于真实参数的值。
在普通最小二乘回归模型中，通过样本数据的观测值和预测值的平方差之和最小化来得到参数的估计值。
当样本容量越大时，这种估计方法更能准确地估计真实参数值，从而更接近真实结果。
2. 渐进有效性渐进有效性是指在大样本条件下，最小二乘估计的方差趋近于0，即估计结果的稳定性和准确性越好。
最小二乘法具有很好的渐进有效性，这意味着随着样本容量的增加，最小二乘估计的方差将会趋于0，从而使得估计结果更加可靠。
3. 渐进正态性在大样本条件下，最小二乘估计服从正态分布。
由中心极限定理可知，当样本容量足够大时，样本均值的分布将逼近正态分布。
最小二乘估计也具有类似的性质，当样本容量足够大时，估计值将呈现出正态分布的特征，这为我们进行统计推断提供了理论依据。
综上所述，统计推断中最小二乘法的渐近性质理论表明了最小二乘法在大样本条件下的优良性质。
这些性质使得最小二乘法成为了数据拟合与参数估计中的重要工具，能够在实际应用中提供准确、稳定和可靠的结果。
但需要注意的是，最小二乘法在小样本条件下可能存在偏差和方差的问题，因此在具体应用时需要综合考虑样本容量和数据特征来选择合适的统计推断方法。
总结起来，最小二乘法作为一种常用的统计推断方法，在大样本条件下具有渐近无偏性、渐进有效性和渐近正态性的优良性质。
通过了解最小二乘法的渐近性质，我们能够更好地理解和运用这一方法，从而获得更准确、可靠的统计推断结果。
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ˆ
பைடு நூலகம்
(1 n
x
ki)
yi
(1 n
x
ki)(
xi
ui)
(
1 n
x
k i) ui
(2.3.7)
(2.3.7)表明 ˆ 是ui的线性函数。
二、无偏性
由(2.3.3)知 ˆ ki ui ，取期望值便有
E(ˆ ) ki E(ui)
(2.3.8)
其中E(ui) = 0，(2.3.8)表明 ˆ 是β的无偏估计量。
此时 ˆ* 与最小二乘估计量 ˆ 相等：
ˆ* ci yi ciki ki yi ˆ (2.3.15)
将此结果代入(2.3.14)便有
V (ˆ*)
2 u
k
2 i
2 u
xi2
此结果与(2.3.10)式相同。
(2.3.16)
对于ˆ 的最小方差性的证明与 ˆ 的证明完全类
似，请读者自己完成。
这样我们证明了，只要经典回归模型的假定2—5 满足，回归参数的最小二乘估计量就是线性、无 偏、最佳估计量，简称为最佳线性无偏估计量 (BLUE: best linear unbiased estimators)。这一 结论就是著名的高斯-马尔可夫 (Gauss Markov) 定理。 无偏性与最佳性结合起来构成了估计量好坏的重要 标志。由于最小二乘估计量的最佳线性无偏估计量 的特性，才使得最小二乘法得到了广泛的应用。
足条件
ci 0
ci xi 1
(2.3.13)
下面我们将在满足（2.3.13）的前提下，寻求 ˆ*
的最小方差：
V
(ˆ*)
V
(
ci
yi)
2 u
ci2
V
(ˆ
*)
2 u
[(ci
ki)
k
i]2
2 u
(ci
k
i)2
2 u
k
2 i
(2.3.14)
(2.3.14)式当且仅当 ci = ki 时，V (ˆ*) 达到最小，
ki ki xi ki ui kiui
(2.3.3)
其中
∑ ki = 0
∑ kixi = 1
(2.3.3)表明是ui的线性函数
(2.3.4) (2.3.5)
(二) ˆ 的线性表达式
由(2.2.9)有
ˆ y ˆ x
1 n
yi
x
ki
yi
(
1 n
x
ki)
yi
（2.3.6）
（2.3.6）表明ˆ 是yi的线性函数。
由(2.3.7)
ˆ
(
1 n
x
k i) ui
上式两边取期望值便有
E (ˆ )
(1 n
x
k i )E (ui )
(2.3.9)
(2.3.9)表明 ˆ 是α的无偏估计量。
三、最小方差性 所谓最小方差性是指在所有线性无偏估计量中，最 小二乘估计量的方差最小。方差最小这一性质又称 为最佳性。为了证明这一性质，我们先导出最小二
§2.3 参数最小二乘估计量的统计性质
一、线性
所谓线性是指和是yi或ui的线性函数。 (一) ˆ 的线性表达式
由(2.2.10)有
其中
ˆ xi yi
ki
xi
xi2
xi2
xi yi xi2
ki
yi
(2.3.1)表明是yi的线性函数
(2.3.1) (2.3.2)
由于yi = α + β xi + ui，所以 ˆ ki yi ki ( xi ui)
乘估量 ˆ 和 ˆ 的方差。
由(2.3.3)
V
(ˆ )
V
(
k i ui)
2 u
k
2 i
2 u
xi2
(2.3.10)
由(2.3.7)
V
(ˆ
)
V
[
(
1 n
x
ki)
ui]
2 u
(
1 n
x
ki
)2
2 u
(1 n
x2 ) xi2
(2.3.11)
或者把(2.3.11)写成形式：
V
(ˆ
)
2 u
xi2 n xi2
(2.3.11)′
下面证明 ˆ和 ˆ 的最小方差性。
假设我们用其它方法求得参数β的估计量为 ˆ，*
并且满足线性和无偏性。因而应有关系：
ˆ* ci yi
由于
E(ˆ*)
yi= α + β xi + ui
(2.3.12)
所以 E(ˆ*) ci ci xi
由此可知，欲使 ˆ* 估计量具有无偏性，ci应满