最小二乘法参数估计
参数估计最小二乘法
参数估计最小二乘法
参数估计最小二乘法是一种常用的数据分析方法，它基于最小化观测值和理论值之间的差距来估计未知参数。
该方法广泛应用于回归分析、时间序列分析和信号处理等领域。
在回归分析中，最小二乘法被用来估计自变量与因变量之间的线性关系。
我们假设有n个观测值(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并
且自变量x与因变量y之间存在一个线性关系y = a + bx，其中a
和b是未知参数。
最小二乘法的目标是找到最优的a和b值，使得所有观测值与拟合直线之间的误差平方和最小。
时间序列分析中，最小二乘法可以用来拟合趋势线和周期性变化。
通过将时间序列数据拟合成一个函数形式，我们可以预测未来的值和进行周期性分析。
在信号处理中，最小二乘法常被用于滤波和去噪。
通过估计信号中的噪声和信号成分，我们可以使用最小二乘法来去除噪声并提取有效信息。
总之，最小二乘法是一种重要的参数估计方法，它可以用来分析各种类型的数据并预测未来的值。
在实际应用中，我们需要注意数据的质量和拟合模型的合理性，以获得可靠的结果。
- 1 -。
最小二乘法估计
机器学习领域应用
线性回归模型
在机器学习中，最小二乘法是线性回归模型的核心算法之一。通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，可以 训练出预测精度较高的线性回归模型。
特征选择
最小二乘法也可以用于特征选择，通过计算特征的系数大小，可以判断哪些特征对模型的预测结果影响较大，从 而进行特征筛选和优化。
06 最小二乘法的未来发展与 研究方向
用于研究社会现象和人类行为 ，如市场调查、人口统计等。
最小二乘法的历史与发展
历史
最小二乘法最早由法国数学家勒让德 于1805年提出，并广泛应用于天文、 物理和工程领域。
发展
随着计算机技术的进步，最小二乘法 在数据处理和统计分析方面得到了广 泛应用和改进，出现了多种扩展和变 种，如加权最小二乘法、广义最小二 乘法等。
加权最小二乘法（WLS）
总结词
详细描述
加权最小二乘法是一种改进的线性回 归分析方法，通过给不同观测值赋予 不同的权重来调整误差的平方和。
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是对普通最小二乘法 的改进，通过给不同观测值赋予不同 的权重来调整误差的平方和。这种方 法适用于存在异方差性的数据，即误 差项的方差不恒定的情况。通过合理 地设置权重，WLS能够更好地拟合数 据并提高估计的准确性。
广泛的应用领域
最小二乘法适用于多种统计模型 和回归分析，是线性回归分析中 最常用的方法之一。
缺点
假设限制
01
最小二乘法要求数据满足线性关系和误差项独立同分布等假设，
这些假设在实际应用中可能难以满足。
对异常值敏感
02
虽然最小二乘法相对稳健，但仍然容易受到异常值的影响，可
能导致估计结果偏离真实值。
最小二乘法参数估计量推导
最小二乘法参数估计量推导最小二乘法，这个名字听上去挺高深的，其实就是一种简单而强大的数学工具，广泛应用于数据分析中。
今天，我们就来聊聊这玩意儿到底是怎么一回事。
1. 什么是最小二乘法最小二乘法其实就是在做“找差距”的工作。
假设你有一堆数据点，比如说你测量了一系列的温度和对应的电力消耗，你的目标是找到一条最能贴合这些数据点的直线。
这条直线就像是你为数据“量体裁衣”的结果。
1.1. 基本思想最小二乘法的核心思想就是：找到一条直线，使得每一个数据点到这条直线的距离（叫做“残差”）的平方和最小。
这个“平方和”就像是把所有的偏差加起来，让它们不再那么“任性”。
1.2. 为什么用“平方”？那为什么要把这些偏差平方呢？因为平方能有效地放大大的误差，这样我们就不容易忽视它们。
就像打麻将，偏差大的牌更容易被看见，才能让我们在游戏中更精准地调整策略。
2. 数学推导好啦，接下来我们就来捋一捋这个过程。
咱们还是从简单的说起：假设你有一组数据点（x₁, y₁）、（x₂, y₂）、……、（xₙ, yₙ），而你要找的是一条直线y = β₀ + β₁x。
这条直线就是我们的“理想之线”。
2.1. 定义目标函数我们的目标就是最小化所有这些点到直线的距离平方和。
用数学的语言来描述，就是要最小化目标函数：[ S(beta_0, beta_1) = sum_{i=1}^n (y_i beta_0 beta_1 x_i)^2 ]。
这里面，(y_i beta_0 beta_1 x_i)就是每一个点到直线的距离，平方了之后就能让误差更加明显。
2.2. 求导数为了找到最小值，我们需要对目标函数进行求导数，然后让导数等于零。
这个过程就像是找到山顶的最低点一样。
我们分别对β₀和β₁求偏导数，然后设定这些偏导数为零，得到两个方程：[ frac{partial S}{partial beta_0} = 0 ]。
[ frac{partial S}{partial beta_1} = 0 ]。
参数的最小二乘法估计
第四章最小二乘法与组合测量§1概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。
另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了200多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。
§2最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。
对某量x 测量一组数据n x x x ,,,21 ，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏差依次为：n σσσ ,,21记最可信赖值为x ，相应的残差x x v i i -=。
测值落入),(dx x x i i +的概率。
根据概率乘法定理，测量n x x x ,,,21 同时出现的概率为显然，最可信赖值应使出现的概率P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即权因子：22oi iw σσ=即权因子i w ∝21i σ，则再用微分法，得最可信赖值x11ni ii nii w xx w===∑∑即加权算术平均值这里为了与概率符号区别，以i ω表示权因子。
特别是等权测量条件下，有：以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法原理。
它是以最小二乘方而得名。
为从一组测量数据中求得最佳结果，还可使用其它原理。
例如（1）最小绝对残差和法：Min v i =∑ （2）最小最大残差法：Min v i =max （3）最小广义权差法：Min v v i i =-m in m ax以上方法随着电子计算机的应用才逐渐引起注意，但最小二乘法便于解析，至今仍用得最广泛。
用最小二乘法估计模型参数
用最小二乘法估计模型参数最小二乘法是一种参数估计方法，常用于拟合线性回归模型。
该方法通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
本文将详细介绍最小二乘法的原理、应用领域以及具体操作步骤，以期为读者提供有关该方法的生动、全面且有实际指导意义的文章。
一、最小二乘法原理最小二乘法最初由法国数学家勒让德于18世纪提出，其核心思想是选择能够最小化观测值与模型预测值之间残差的参数。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，这些差异可用来评估模型的拟合程度。
最小二乘法的目标是找到使残差平方和最小化的参数，从而得到最佳拟合效果。
二、最小二乘法的应用领域最小二乘法广泛应用于各个领域，尤其是数理统计学、经济学、工程学和社会科学等领域。
在这些领域，研究人员经常需要通过观测数据来拟合数学模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
例如，在经济学中，研究人员可以利用最小二乘法来估计市场需求曲线和供应曲线的参数，从而预测市场价格和销售量的变化。
三、最小二乘法的具体操作步骤1. 收集观测数据：首先，需要收集一组相关的观测数据，这些数据是建立数学模型的基础。
2. 选择模型：根据实际问题的需要，选择适当的数学模型来描述观测数据之间的关系。
常见的模型包括线性模型、多项式模型和指数模型等。
3. 确定目标函数：目标函数是最小二乘法的核心，其定义为观测值与模型预测值之间残差的平方和。
通过最小化目标函数，可以找到最佳拟合效果的参数。
4. 求解参数：利用数学方法，对目标函数进行求解，求得最小化目标函数的模型参数。
常用的求解方法包括求导、矩阵运算和数值优化算法等。
5. 模型评估：为了评估拟合效果，需要对模型进行验证。
常用的方法有计算残差平方和、拟合优度和假设检验等。
6. 参数解释和预测：最后，根据所得到的模型参数，解释模型的物理含义，并利用模型进行预测和推断。
通过上述步骤，我们可以利用最小二乘法对观测数据进行拟合，并估计模型的参数。
最小二乘法不仅在理论研究中有重要应用，而且在实际问题的解决中也扮演着重要的角色。
二.2.用最小二乘法求参数估计量.
2. (1)用最小二乘法,求参数估计量.由于21^)(∑-=ni iy yQ ,=21^1^0)]([∑+-ni ix yββ(i i x y ^1^0^ββ+= )我们可以知道,Q 是^1^0,ββ的二次函数并且是非负数.所以Q 的极小值总是存在的.(为什么?) 根据极值存在的必要条件知,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂001^0^ββQ Q(为什么不是充分条件?)由此,不难推得:⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+∑∑0)(0)(^1^0^1^0i i i i i x y x y x ββββ(4) 进而得到:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=∑∑∑∑∑2^1^0^1^0i i i i i i x x x y x n y ββββ(5)于是解得(怎么解?)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22^1222^0)()(i i i i i i i i i i i i i x x n x y x y n x x n x y x y x ββ(6)另外,可以将公式(6)简化变形得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∑∑∙∙∙__^1__^02^1xy x y x i i i βββ(7)其中,____;yy y x x x i i i -=-=∙∙ny y nx x ii∑∑==____;(2)求随机误差项方差的估计量.记^i i i y y e -=为第i 个样本观测值的残差.即被解释变量的观测值与估计值之差.则随机误差项方差的估计量为:222-=∑n ie μσ(8)证明从略.至此, 普通最小二乘法一元线性回归模型的参数估计问题得到解决.。
第四章线性系统参数估计的最小二乘法
测得铜导线在温度Ti (o C) 时的电阻 Ri (Ω ) 如表 6-1，求电阻 R 与温度 T 的近似函数关系。
i
1
2
3
4
5
6
7
Ti (o C) Ri (Ω )
19.1 76.30
25.0 77.80
30.1 79.25
36.0 80.80
40.0 82.35
45.1 83.90
50.0 85.10
使用(1，1.8)，(2，2.2)两个点得到的方
1.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
程为 y=1.4 + 0.4x；使用(1，1.8)，(6，3.3)两个点得到的方程为 y=1.5 + 0.3x，而使用（3,3）和（6,3.3）
两个点得到的方程是 y=2.7+0.1x。
(4.1)
其中，θ=(θ1, θ2, …, θn)是一个参数集。在系统辨识中它们是未知的。我们希望通过不同时刻
对Y及X的观测值来估计出它们的数值。
例如，在研究两个变量（x，y）之间的
4
关系时，通常的做法是取一个变量作为自
变量，另一个作为因变量。改变自变量可
3.5
得到相应的因变量。将所得到的一系列数
据对描绘在直角坐标系中，得到一系列的
X T XΘˆ = X TY
(4.7)
得
Θˆ＝( X T X )−1 X TY
(4.8)
这样求得的Θˆ 就称为Θ的最小二乘估计(LSE)，在统计学上，方程(4.7)称为正则方程，称ε
为残差。
在前面讨论的例子中，把 6 个数据对分别代入直线方程y=a0 + a1x中可得到 1 个由 6 个直线
最小二乘估计的推导
最小二乘估计的推导最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，尤其在统计学和经济学领域得到广泛应用。
它的推导涉及到一些数学推理和统计原理，我将在本文中逐步解释和展示最小二乘估计的推导过程，并探讨其应用和优势。
1. 引言最小二乘估计是一种通过最小化观测值与预测值之间的差异来估计参数的方法。
它的基本思想是找到一组参数值，使得观测值与对应的预测值之间的平方差最小化。
这种方法在数据分析和回归分析中非常有用，因为它能够提供可靠的参数估计和预测模型。
2. 最小二乘估计的基本原理最小二乘估计的推导涉及到线性回归模型，即因变量Y与自变量X之间的线性关系。
假设我们有n个观测值，表示为（Xi，Yi），i=1，2，...，n。
我们的目标是找到一条直线Y=aX+b，使得所有观测值到这条直线的距离之和最小化。
距离的平方和可以表示为：S = Σ(Yi - (aXi + b))²我们的目标是最小化这个平方和。
为了找到最优的参数估计，我们需要找到使得S最小的a和b的值。
3. 最小化平方和我们可以通过对S求导，令导数等于零，来求解a和b的值。
具体地，我们分别对a和b求导，并令导数等于零：∂S/∂a = -2ΣXi(Yi - (aXi + b)) = 0∂S/∂b = -2Σ(Yi - (aXi + b)) = 0通过求解以上两个方程，我们可以得到最小二乘估计的闭合解：a = (ΣXiYi - n X̄Ȳ) / (ΣXi² - n X̄²)b = Ȳ - a X̄其中，X̄和Ȳ分别表示X和Y的均值，Σ表示求和符号。
4. 应用和优势最小二乘估计在实际应用中具有广泛的用途。
在经济学中，我们可以通过最小二乘估计来估计需求曲线和供给曲线的参数，从而预测市场的走势和变化。
在统计学中，最小二乘估计可以用于拟合数据并构建预测模型。
它是最经典的回归分析方法之一，可用于解释和预测变量之间的关系。
最小二乘估计具有一些优势。
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【2-1】 设某物理量Y 与X1、X2、X3的关系如下：Y=θ1X 1+θ2X 2+θ3X 3 由试验获得的数据如下表。
试用最小二乘法确定模型参数θ1、θ2和θ3 X1: 0.62 0.4 0.42 0.82 0.66 0.72 0.38 0.52 0.45 0.69 0.55 0.36 X2: 12.0 14.2 14.6 12.1 10.8 8.20 13.0 10.5 8.80 17.0 14.2 12.8 X3: 5.20 6.10 0.32 8.30 5.10 7.90 4.20 8.00 3.90 5.50 3.80 6.20 Y: 51.6 49.9 48.5 50.6 49.7 48.8 42.6 45.9 37.8 64.8 53.4 45.3解：MATLAB 程序为：Clear all;A= [0.6200 12.000 5.20000.4000 14.2000 6.10000.4200 14.6000 0.32000.8200 12.1000 8.30000.6600 10.8000 5.10000.7200 8.2000 7.90000.3800 13.0000 4.20000.5200 10.5000 8.00000.4500 8.8000 3.90000.6900 17.0000 5.50000.5500 14.2000 3.80000.3600 12.8000 6.2000];B=[51.6 49.9 48.5 50.6 49.7 48.8 42.6 45.9 37.8 64.8 53.4 45.3]';C=inv(A'*A)*A'*B=[0.62 12 5.2;0.4 14.2 6.1;0.42 14.6 0.32;0.82 12.1 8.3;0.66 10.8 5.1;0.72 8.2 7.9;0.38 13 4.2;0.52 10.5 8;0.45 8.8 3.9;0.69 17 5.5;0.55 14.2 3.8;0.36 12.8 6.2]公式中的A 是ΦN, B 是YN ，运行M 文件可得结果：在matlab 中的运行结果：C=29.59032.44660.4597【2-3】 考虑如下模型)()(3.03.115.0)(2121t w t u z z z z t y ++-+=---- 其中w(t)为零均值、方差为1的白噪声。
根据模型生成的输入/输出数据u(k)和y(k),分别采用批处理最小二乘法、具有遗忘因子的最小二乘法（λ=0.95）和递推最小二乘法估计模型参数（限定数据长度N 为某一数值，如N=150或其它数值），并将结果加以比较。
解：1、批处理最小二乘法M文件如下：clear all;close all;a=[1 -1.3 0.3]';b=[1 0.5]';d=1;%对象参数na=length(a)-1;nb=length(b)-1;%na,nb为A,B阶次N=200;%观测数据组uk=zeros(d+nb,1);%创建d+nb行1列的零列向量，给输入赋初值0yk=zeros(na,1);%输出初值x1=1;x2=1;x3=1;x4=0;%移位寄存器初值S=1;%方波初值W=randn(N,1);%产生均值为零方差为1的白噪声序列w(k)theta=[a(2:na+1);b];%theta为列向量，[-1.3 0.3 1 0.5]',为对象参数真值for k=1:Nphi(k,:)=[-yk;uk(d:d+nb)]';%phi为行向量，组成phi矩阵y(k)=phi(k,:)*theta+W(k);%采集输出数据IM=xor(S,x4);%进行异或运算，产生逆M序列if IM==0u(k)=-1;elseu(k)=1;endS=not(S);%产生方波M=xor(x3,x4);%进行异或运算，产生M序列x4=x3;x3=x2;x2=x1;x1=M;%寄存器移位for i=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);endthetae=inv(phi'*phi)*phi'*y'%计算参数估计值thetaeJ=y*y'-2*(phi'*y')'*thetae+thetae'*phi'*phi*thetae%求最小估计误差平方和clear all;close all;a=[1 -1.3 0.3]';b=[1 0.5]';d=1;%对象参数na=length(a)-1;nb=length(b)-1;%na,nb为A,B阶次N=200;%观测数据组uk=zeros(d+nb,1);%创建d+nb行1列的零列向量，给输入赋初值0yk=zeros(na,1);%输出初值x1=1;x2=1;x3=1;x4=0;%移位寄存器初值S=1;%方波初值W=randn(N,1);%产生均值为零方差为1的白噪声序列w(k)theta=[a(2:na+1);b];%theta为列向量，[-1.3 0.3 1 0.5]',为对象参数真值for k=1:Nphi(k,:)=[-yk;uk(d:d+nb)]';%phi为行向量，组成phi矩阵y(k)=phi(k,:)*theta+W(k);%采集输出数据IM=xor(S,x4);%进行异或运算，产生逆M序列if IM==0u(k)=-1;elseu(k)=1;endS=not(S);%产生方波M=xor(x3,x4);%进行异或运算，产生M序列x4=x3;x3=x2;x2=x1;x1=M;%寄存器移位for i=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);endthetae=inv(phi'*phi)*phi'*y'%计算参数估计值thetaeJ=y*y'-2*(phi'*y')'*thetae+thetae'*phi'*phi*thetae%求最小估计误差平方和运行结果如下：thetae =-1.30220.29820.97090.5091J =186.0817与真值比较参数a1 a2 b0 b1真值-1.3 0.3 1 0.5估计-1.3022 0.2982 0.9709 0.50912、递推最小二乘法clear all;close all;a=[1 -1.3 0.3]';b=[1 0.5]';d=1;%对象参数na=length(a)-1;nb=length(b)-1;%na,nb为A,B阶次N=200;%观测数据组uk=zeros(d+nb,1);%创建d+nb行1列的零列向量，给输入赋初值0yk=zeros(na,1);%输出初值u=randn(N,1);%输入采用白噪声序列w=randn(N,1);%产生均值为零方差为1的白噪声序列w(k)theta=[a(2:na+1);b];%theta为列向量，[-1.3 0.3 1 0.5]',为对象参数真值thetae_1=zeros(na+nb+1,1);%thetae的chuzhiP=10^6*eye(na+nb+1);%P初值for k=1:Nphi=[-yk;uk(d:d+nb)];%phi为行向量，组成phi矩阵y(k)=phi'*theta+w(k);%采集输出数据K=P*phi/(1+phi'*P*phi);thetae(:,k)=thetae_1+K*(y(k)-phi'*thetae_1);P=(eye(na+nb+1)-K*phi')*P;thetae_1=thetae(:,k);for i=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);end%画参数随采样时刻的估计结果plot([1:N],thetae);xlabel('k');ylabel('参数估计a,b');legend('a1','a2','b0','b1');axis([0 N -2 2]);运行结果：图1 递推最小二乘法参数估计图中可以看出，辨识过程很不稳定，参数波动较大，因为在试验中将输入和噪声幅值一样大，噪声干扰相对输入较大，所以应该调整输入和噪声的幅值分别另：u=25*randn(N,1),50*randn(N,1),100*randn(N,1)所得结果如下图1）u=25*randn(N,1)2)u=50*randn(N,1)3)u=100*randn(N,1)综上可以看出只有当输入幅值较大时系统辨识的效果会更好，参数波动也不是很大。
3、遗忘因子最小二乘法clear all;close all;a=[1 -1.3 0.3]';b=[1 0.5]';d=1;%对象参数na=length(a)-1;nb=length(b)-1;%na,nb为A,B阶次N=200;%观测数据组uk=zeros(d+nb,1);%创建d+nb行1列的零列向量，给输入赋初值0yk=zeros(na,1);%输出初值u=1*randn(N,1);%输入采用白噪声序列xi=randn(N,1);%产生均值为零方差为1的白噪声序列w(k)thetae_1=zeros(na+nb+1,1);%thetae的chuzhiP=10^6*eye(na+nb+1);%P初值lambda=0.95%遗忘因子for k=1:Ntheta(:,k)=[a(2:na+1);b];%对象参数真值phi=[-yk;uk(d:d+nb)];%phi为行向量，组成phi矩阵y(k)=phi'*theta(:,k)+xi(k);%采集输出数据K=P*phi/(lambda+phi'*P*phi);thetae(:,k)=thetae_1+K*(y(k)-phi'*thetae_1);P=(eye(na+nb+1)-K*phi')*P/lambda;thetae_1=thetae(:,k);for i=d+nb:-1:2uk(i)=uk(i-1);enduk(1)=u(k);for i=na:-1:2yk(i)=yk(i-1);endyk(1)=y(k);end%画参数随采样时刻的估计结果subplot(1,2,1);plot([1:N],thetae(1:na,:));hold on;plot([1:N],theta(1:na,:),'k:');xlabel('k');ylabel('参数估计a');legend('a1','a2');axis([0 N -2 2]);subplot(1,2,2)plot([1:N],thetae(na+1:na+nb+1,:));hold on;plot([1:N],theta(na+1:na+nb+1,:),'k:'); xlabel('k');ylabel('参数估计b');legend('b0','b1');axis([0 N -0.5 2]);运行结果：改变输入信号的幅值，使u=12.5*randn(N,1),25*randn(N,1),50*randn(N,1),100*randn(N,1) 1)u=12.5*randn(N,1)2)u=25*randn(N,1)3)u=50*randn(N,1)4)4)u=100*randn(N,1)比较可知：只有当输入幅度较大时系统辨识结果更好【3-2】 设有被控过程：)()2.11()()6.07.11(1221k u z z k y z z ----+=+-给定期望传递函数的分母多项式为)08.06.01()(211---+-=z z z A m ，试按照极点配置方法设计控制系统，使期望输出无稳态误差，并写出控制表达式u(k)。