第3章 线性模型参数的最小二乘估计法
一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计（OLS）
§2.2一元线性回归模型的参数估计一、一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计（OLS）三、参数估计的最大或然法(ML)四、最小二乘估计量的性质五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和非线性模型•线性模型中，变量之间的关系呈线性关系•非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系一元线性回归模型：只有一个解释变量i i i X Y μββ++=10i=1,2,…,nY 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。
估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares,OLS）。
为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。
注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
一、线性回归模型的基本假设假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量；假设2、随机误差项μ具有零均值、同方差和不序列相关性：E(μi)=0i=1,2,…,nVar(μi)=σμ2i=1,2,…,nCov(μi,μj)=0i≠j i,j=1,2,…,n假设3、随机误差项μ与解释变量X之间不相关：Cov(X i,μi)=0i=1,2,…,n假设4、μ服从零均值、同方差、零协方差的正态分布μi~N(0,σμ2)i=1,2,…,n注意：1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;2、如果假设4满足，则假设2也满足。
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model,CLRM）。
二、参数的普通最小二乘估计（OLS）给定一组样本观测值（X i ,Y i ）（i=1,2,…n ）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinary least squares,OLS ）给出的判断标准是：二者之差的平方和∑∑+-=-=ni i i n i X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ最小。
用最小二乘法估计模型参数
用最小二乘法估计模型参数最小二乘法是一种参数估计方法，常用于拟合线性回归模型。
该方法通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
本文将详细介绍最小二乘法的原理、应用领域以及具体操作步骤，以期为读者提供有关该方法的生动、全面且有实际指导意义的文章。
一、最小二乘法原理最小二乘法最初由法国数学家勒让德于18世纪提出，其核心思想是选择能够最小化观测值与模型预测值之间残差的参数。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，这些差异可用来评估模型的拟合程度。
最小二乘法的目标是找到使残差平方和最小化的参数，从而得到最佳拟合效果。
二、最小二乘法的应用领域最小二乘法广泛应用于各个领域，尤其是数理统计学、经济学、工程学和社会科学等领域。
在这些领域，研究人员经常需要通过观测数据来拟合数学模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
例如，在经济学中，研究人员可以利用最小二乘法来估计市场需求曲线和供应曲线的参数，从而预测市场价格和销售量的变化。
三、最小二乘法的具体操作步骤1. 收集观测数据：首先，需要收集一组相关的观测数据，这些数据是建立数学模型的基础。
2. 选择模型：根据实际问题的需要，选择适当的数学模型来描述观测数据之间的关系。
常见的模型包括线性模型、多项式模型和指数模型等。
3. 确定目标函数：目标函数是最小二乘法的核心，其定义为观测值与模型预测值之间残差的平方和。
通过最小化目标函数，可以找到最佳拟合效果的参数。
4. 求解参数：利用数学方法，对目标函数进行求解，求得最小化目标函数的模型参数。
常用的求解方法包括求导、矩阵运算和数值优化算法等。
5. 模型评估：为了评估拟合效果，需要对模型进行验证。
常用的方法有计算残差平方和、拟合优度和假设检验等。
6. 参数解释和预测：最后，根据所得到的模型参数，解释模型的物理含义，并利用模型进行预测和推断。
通过上述步骤，我们可以利用最小二乘法对观测数据进行拟合，并估计模型的参数。
最小二乘法不仅在理论研究中有重要应用，而且在实际问题的解决中也扮演着重要的角色。
8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
类似的形状特征.注意到100 m短跑的第一个世界纪录产生于1896年 ,
因此可以认为散点是集中在曲线y f ( t ) c1 c2 ln( t 1895)的周围,
其中c1 , c2为未知的参数 , 且c2 0.
人教A版2019选择性必修第三册
1
学习目标
1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用
相关统计软件.
2.了解非线性回归模型.
3.会通过分析残差和利用 R 2 判断回归模型的拟合效果.
环节一：创设情境，引入课题
例 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，
树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树
在图8.2-9中，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明
两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画
树高与胸径之间的关系.
树高/m
26.0
24.0
22.0
20.0
18.0
胸径/cm
16.0
15.0
20.0
25.0
30.0
图8.2-9
35.0
40.0
45.0
用d 表示胸径, h表示树高, 根据最小二乘法 , 计算可得经验回归方程为
可以借助一元线性回归模型和新的成对数据，对参数c1和c2作出
估计，进而可以得到Y关于t的非线性经验回归方程．
在直角坐标系中画出表8.2-6中成对数据的散点图，如图8.2-14所示，散
点的分布呈现出很强的线性相关特征．
Y c2 x c1 u
因此, 用一元线性回归模型
线性参数的最小二乘法处理
W1、 +1″, +10″, +1″, +12″,
W2、 +6″, +4″,
W3、
W4„
Wn
+2″ , -3″ , +4″ +12″, +4″ +3″, +4″
+12″, +12″, +12″
W12
2
12
W22
2 2
W32
32
最小值
3
即 ∑（PW2）=（P1W21）+（P2W22）+（P3W32）
的测量结果 yi 最接近真值，最为可靠，即： yi=∠i+Wi 由于改正数 Wi 的二次方之和为最小，因此称为最小二乘法。 二 最小二乘法理 现在我们来证明一下，最小二乘法和概率论中最大似然方法（算术平均值方法） 是一致的。 （一）等精度测量时 （1）最大似然方法 设 x1,x2„xn 为某量 x 的等精度测量列，且服从正态分布，现以最大似然法和最小 二乘法分别求其最或是值（未知量的最佳估计量） 在概率论的大数定律与中心极限定理那一章我们讲过，随着测量次数的增加，测 量值的算术平均值也稳定于一个常数，即
2 i 1
n
曾给出： vi2
i 1
n
n n 1 n 2 ，由此可知 x vi2 / i2 为最小，这就是最小二乘法的基本 i n i 1 i 1
含义。引入权的符号 P ，最小二乘法可以写成下列形式：
Pv
i 1
n
2 i i
最小
在等精度测量中， 1 2 ... ， P1 P2 ... Pn 即： 最小二乘法可以写成下列形式：
第三节最小二乘估计量的性质
第三节 最小二乘估计量的性质三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性 一、 线性特性的含义线性特性是指参数估计值1ˆβ和2ˆβ分别是观测值t Y 或者是扰动项t μ的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用t Y 或者是t μ来表示。
1、2ˆβ的线性特征证明 （1）由2ˆβ的计算公式可得： 222222()ˆt tttt ttttttt tt tt x y x Y x Y xxx xx x x x β--===⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑Y Y Y Y需要指出的是，这里用到了因为t x 不全为零，可设2tt tx b x =∑，从而，t b 不全为零，故2ˆt t b β=∑Y 。
这说明2ˆβ是t Y 的线性组合。
（2）因为12t t t Y X ββμ=++，所以有()212122ˆt t t t t t t t t t t tb b X b b X b b βββμββμβμ==++=++=+∑∑∑∑∑∑Y这说明2ˆβ是t μ的线性组合。
需要指出的是，这里用到了220t t t t t x x b x x ===∑∑∑∑∑以及 ()2222222201t t tt t t tt ttttttttx x X x b X X x x x x X x X x x x x x⎛⎫+⎪== ⎪⎝⎭++==+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2、1ˆβ的线性特征证明 （1）因为12ˆˆY X ββ=-，所以有 ()121ˆˆ1t t t t tY X Y X b nXb n ββ=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑Y Y这里，令1a Xb n=-，则有1ˆt a β=∑Y 这说明1ˆβ是t Y 的线性组合。
（2）因为回归模型为12t t t Y X ββμ=++，所以()11212ˆt t t t t t t t t ta a X a a X a βββμββμ==++=++∑∑∑∑∑Y因为111t t t a Xb X b nn⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭∑∑∑∑。
计量经济学第三章 双变量线性回归模型
xtYt
Y
xt
xt2
xt2
xt2
xt2
由于
xt (X t X ) X t X nX nX 0
从而
ˆ xtYt xt ( X t ut )
xt2
xt2
23
ˆ xtYt xt ( X t ut )
xt2
xt2
1 ( xt2
xt
14
残差平方和
我们的目标是使拟合出来的直线在某种意义上是最佳的， 直观地看，也就是要求估计直线尽可能地靠近各观测点，这意
味着应使残差总体上尽可能地小。要做到这一点，就必须用某
种方法将每个点相应的残差加在一起，使其达到最小。理想的 测度是残差平方和，即
et 2 (Yt Yˆt )2
15
最小二乘法
第三章 双变量线性回归模型 （简单线性回归模型）
（Simple Linear Regression Model）
2021/7/22
1
第一节 双变量线性回归模型的估计 第二节 最小二乘估计量的性质 第三节 拟合优度的测度 第四节 双变量回归中的区间估计和假
设检验 第五节 预测 第六节 有关最小二乘法的进一步讨论
9
（3）E(ut2)= 2, t=1,2,…,n 即各期扰动项的方差是一常数，也就是假定各扰
动项具有同方差性。
实际上该假设等同于：
Var( ut) = 2, t=1,2,…,n 这是因为：
Var(ut)=E{[ut-E(ut)]2}= E(ut2) ——根据假设（1）
10
（4） Xt为非随机量 即Xt的取值是确定的, 而不是随机的。 事实上，我们后面证明无偏性和时仅需要解释变量X与扰
是线性估计量。
【高中数学】一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第二课时)课件 人教A版2019选择性必修第三册
i
1
i
8
8
i 1
i 1
残差平方和：残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．
可知Q2小于Q1. 因此在残差平方和最小的标准下，
非线性回归模型
Y c2 ln( t 1895) c1 u，
2
E
(
u
)
0
，
D
(
u
)
的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果.
下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏.
用ti表示编号为i的年份数据，用yi表示编号为i的纪录数据，则经验回归方程①和②的残
，；
8
差计算公式分别为 eˆi yi 0.02033743t i 49.76913031，i 1, 2，
eˆi yi 0.4264398( t i 1895) 11.8012653，i 1, 2，
注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2．在线性回归模型中有0≤R2≤1，
因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．
|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
ˆ 2 = -0.4264398ln( t - 1895) + 11.8012653 ②
x y
在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图像(蓝色)以及经验
最小二乘法求解线性回归问题
最小二乘法求解线性回归问题最小二乘法是回归分析中常用的一种模型估计方法。
它通过最小化样本数据与模型预测值之间的误差平方和来拟合出一个线性模型，解决了线性回归中的参数估计问题。
在本文中，我将详细介绍最小二乘法在线性回归问题中的应用。
一、线性回归模型在介绍最小二乘法之前，先了解一下线性回归模型的基本形式。
假设我们有一个包含$n$个观测值的数据集$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，其中$x_i$表示自变量，$y_i$表示因变量。
线性回归模型的一般形式如下：$$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_px_p+\epsilon$$其中，$\beta_0$表示截距，$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_p$表示自变量$x_1,x_2,\dots,x_p$的系数，$\epsilon$表示误差项。
我们希望通过数据集中的观测值拟合出一个线性模型，即确定$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$这些未知参数的值，使得模型对未知数据的预测误差最小化。
二、最小二乘法的思想最小二乘法是一种模型拟合的优化方法，其基本思想是通过最小化优化问题的目标函数来确定模型参数的值。
在线性回归问题中，我们通常采用最小化残差平方和的方式来拟合出一个符合数据集的线性模型。
残差代表观测值与模型估计值之间的差异。
假设我们有一个数据集$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，并且已经选定了线性模型$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_p x_p$。
我们希望选择一组系数$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$，使得模型对数据集中的观测值的预测误差最小，即最小化残差平方和（RSS）：$$RSS=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2$$其中，$y_i$表示第$i$个观测值的实际值，$\hat{y}_i$表示该观测值在当前模型下的预测值。
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的概率为
∏ P =
n i =1
Pi
=
1
σ1σ 2 "σ n
n
2π
∑ − δi2 e i=1
(2σi2 )dδ1dδ 2 "dδ n
1. 最小二乘原理
| 测量值 l1,l2 ,",ln 已经出现，有理由认为这n个测 量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最
ti /0 C
10
20
30
40
50
60
li / mm 2000.36 2000.72 2000.8 2001.07 2001.48 2000.60
| 1）列出误差方程
vi = li − ( y0 + ay0ti )
| 令 y0 = c, ay0 = d为两个待估参量，则误差方程为
vi = li − (c + tid )
x2 ,",
xt
)
⎪⎪ ⎬
⎪
vn = ln − fn (x1, x2 ,", xt )⎪⎭
残差方程式
1. 最小二乘原理
| 若 l1,l2 ,",ln 不存在系统误差，相互独立并服从正 态分布，标准差分别为σ1,σ 2 ,",σ n，则l1, l2 ,", ln出
现在相应真值附近 dδ1, dδ2,", dδn 区域内的概率
大，应有
δ12
+
δ
2 2
+"
+
δ
2 n
= 最小
σ12 σ 22
σ n2
| 由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件
应表示为
v12 + v22 +" + vn2 = 最小
σ
2 1
σ
2 2
σ n2
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 线性参数的测量方程和相应的估计量为：
Y1 = a11 X1 + a12 X 2 + " + a1t X t ⎫
i =1
i =1
i =1
i =1
⎪ ⎪⎭
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 整理得：
p1a11v1 + p2a21v2 + " + pnan1vn = 0 ⎫
p1a12v1
+
p2a22v2 #
+"+
pn an 2 vn
=
0⎪⎪ ⎬ ⎪
p1a1tv1 + p2a2tv2 + " + pnantvn = 0 ⎪⎭
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 不等精度 pi
等精度
v1 p1 = l1 p1 − a11 p1 x1 + a12 p1 x2 + " + a1t p1 xt
⎫ ⎪
v2
p2 = l2
p2 − a21 #
p2 x1 + a22
p2 x2 + " + a2t
p2
xt
⎪ ⎬
⎪
vn
pn = ln
Y2
=
a21 X1
+
a22 X 2 #
+
"
+
a2t
X
t
⎪⎪ ⎬
⇒
⎪
Yn = an1X1 + an2 X 2 + " + ant X t ⎪⎭
y1 = a11x1 + a12 x2 + " + a1t xt ⎫
y2
=
a21x1
+
a22 x2 #
+"+
a2t xt
⎪⎪ ⎬ ⎪
yn = an1x1 + an2 x2 + " + ant xt ⎪⎭
| 残差方程为
v1 = l1 − (a11x1 + a12 x2 + " + a1t xt ) ⎫
v2
=
l2
− (a21x1 + #
a22 x2
+
"
+
a2t
xt
)
⎪⎪ ⎬
⎪
vn = ln − (an1x1 + an2 x2 + " + ant xt )⎪⎭
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理
|令
| 即：
AT PV = 0
不等精度的正规方程
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 将 V = L − AXˆ 代入上式，得
AT PL − AT PAXˆ = 0
AT PAXˆ = AT PL
C = AT PA
CXˆ = AT PL
Xˆ = C −1AT PL （待测量Ｘ的无偏估计）
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
1. 最小二乘原理
| 最小二乘法原理是一种在多学科领域中获得广泛 应用的数据处理方法。
| 本章将重点阐述最小二乘法原理在线性参数和非 线性参数估计中的应用，使同学们掌握最小二乘 法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等 精度测量中线性、非线性参数的最小二乘估计方 法，并科学地给出估计精度。
1. 最小二乘原理
| 不等精度测量的线性参数最小二乘原理
Pn×n
=
⎡ p1 0 " 0 ⎤ ⎢⎢0 p2 " 0⎥⎥
⎢
#⎥
⎢⎣0
0
"
⎥ pn ⎦
=
⎡σ
⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎣⎢0
σ 2 2 1
σ2 σ
# 0"
0
2 2
σ
" 0⎤ ⎥
" 0⎥ ⎥ ⎥
2 σ n2 ⎥⎦
权矩阵
| 不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：
V T PV = 最小 （L − AXˆ）T P（L − AXˆ）= 最小
| 试求 x1, x2 的最可信赖值。
a12v1
+ a22v2 + " + an2vn #
=
0⎪⎪ ⎬ ⎪
a1tv1 + a2tv2 + " + antvn = 0 ⎪⎭
正规方程的矩阵形式
ATV = 0
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理
| 将V = L − AXˆ 代入到 ATV = 0 中，得 AT L − AT AXˆ = 0
v2
=
l2
−
a21 x1
+ #
a22 x2
+"+
a2t xt
⎪⎪ ⎬ ⎪
vn = ln − an1x1 + an2 x2 + " + ant xt ⎪⎭
v12 + v22 + " + vn2 = 最小
∑ ⎧⎪∂( n vi2 )
⎪ i=1
=0
⎪ ⎪ ⎨
∂x1 #
⎪n
∑ ⎪∂(
⎪ ⎪⎩
vi2 )
i =1
第三章 参数的最小二乘估计法
华东理工大学 罗娜 naluo@
参考书目： • 费业泰. 误差理论与数据处理. 机械工业出版社, 2002.
主要内容
| 最小二乘法原理 | 等精度测量线性参数的最小二乘处理 | 不等精度测量线性参数的最小二乘处理 | 非线性参数的最小二乘处理 | 最小二乘估计量的精度估计 | 组合测量的最小二乘法处理
| 按照最小二乘的矩阵形式计算
⎡2000.36⎤
⎢⎢2000.72⎥⎥
⎢2000.80⎥ L = ⎢⎢2001.07⎥⎥
⎢2001.48⎥
⎢
⎥
⎣⎢2001.60⎦⎥
Xˆ
=
⎡c ⎢⎣d
⎤ ⎥ ⎦
⎡1 10 ⎤
⎢⎢1
20
⎥ ⎥
⎢1 30 ⎥
A = ⎢⎢1
40
⎥ ⎥
⎢1 50 ⎥ ⎢⎥ ⎣⎢1 60 ⎥⎦
pn − an1
pn x1 + an2
" pn x2 +"+ ant
pn
xt
⎪ ⎭
vi ' li ' ai1'
ai2 '
ait '
| 则有：
V 'T V ' = 最小
（L'− A' Xˆ）（T L'− A' Xˆ）= 最小
3. 不等精度测量线性参数的最小二乘处理
|不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规
+"+
n i =1
⎪
ai
2
ait
xt
⎪ ⎬
#
⎪ ⎪
n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ aitli = ait ai1x1 + ait ai2 x2 + " + ait ait xt
| 特点： i=1
i =1
i =1
i =1
⎪ ⎪⎭
¾ 主对角线分布着平方项系数，正数
¾ 相对于主对角线对称分布的各系数两两相等
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理
∂xn
=
0
2. 等精度测量线性参数的最小二乘处理