(完整版)线性代数应用实例

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浅谈线性代数的一些应用实例

ＭＡＴＡＬＢ环境下使用命令＝ｆ）以求得矩阵Ａ的行最ｅＡ可
简形矩阵，进而可以判断矩阵Ａ的列向量组是否线性相关，并找出列向量组的最大无关组。且可用该最大线性无关组来表而
６５４运算、向量组的线性相关性、阵方程、矩特征值和特征向量都是本地学生回家的比率为５．％。二、向量组的线性相关性的应用线性代数的基本知识，一般教材关于它们的实际应用非常少。下面分别给出它们的一些应用实例。这些实例非常易于被学生
况选择最优行动方案。如果决策目标是利润、效益等最大，则采以不同用途的混凝土需要不同的原料配比。比如一个混凝土生用期望值最大的行动方案；如果决策目标是成本、损失等最小，产企业的设备只能生产存储三种基本类型的混凝土，即超强
通用型和长寿型。它们的配方如下：超强型Ａ含水泥、、水则采用期望值最小的行动方案。用ｘ表示各行动方案的集合，型、石、０１、０１、；水砂石Ｎ表示各具体行动方案所处各种状态的集合，它们的概率写成砂、灰分别为２、０２、００通用型Ｂ含水泥、、、、８１、５５２长寿型Ｃ含水泥、、、、分别水砂石灰向量Ｐ效益值写成矩阵Ａ（中，向量代表不同的随机变量灰分别为１、０２、、；，其列２１、５１、。于是每一种基本类型混凝土就可以用一个在各种状态的取值）Ｎ（，ＯＰ（。）… ，ｎＯ，为ｌ、０１、５８：＝Ｎ … Ｎ，＝Ｐ（，Ｐｆ）Ｘ＝Ｎ。Ｎ生产企业希望，客户所订购的其他混凝。则数学期望Ｅｘ）（（），（）Ｐ五维的列向量来表示，（＝Ｅｘ。… Ｅｘｎ＝Ａ，＝，）１假如某客户决策就是确定向量Ｅｘ的最大分量或最小分量所对应的行动土都由这三种基本类型按一定比例混合而成。（）（）要求的混凝土的五种成分为１，０２，，，试问Ａ，Ｃ三种６１，１９４Ｂ，方案。０ｋ三种例某投资者要在两种产品间作投资选择：生产领带或旅游类型应各占多少比例？如果客户总共需要２０ｇ混凝土，（，ｍ，ｌｘ，ｘ）Ａ（ … －

浅谈线性代数的一些应用实例

浅谈线性代数的一些应用实例一、关于矩阵运算的应用1．数学期望值准则。

把各种行动方案看成不同的随机变量，每个方案对应若干种状态，假设它们的概率是已知的，每个方案在各种状态下的效益看成随机变量的取值。

数学期望准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。

如果决策目标是利润、效益等最大，则采用期望值最大的行动方案；如果决策目标是成本、损失等最小，则采用期望值最小的行动方案。

用X表示各行动方案的集合，N表示各具体行动方案所处各种状态的集合，它们的概率写成向量P，效益值写成矩阵A（其中，列向量代表不同的随机变量在各种状态的取值）：N=(N1,・・・,Nn)，P=(P1(N1),・・・,Pn(Nn))，X=(X1,・・・,Xm)，A=(aij)m×n。

则数学期望E(X)=(E(X1),・・・,E(Xn))=PA，决策就是确定向量E(X)的最大分量或最小分量所对应的行动方案。

例某投资者要在两种产品间作投资选择：生产领带或旅游鞋。

生产领带需投资800万元，生产旅游鞋需投资1000万元。

两者的生产年限都是8年，估计在此期间两个方案的产品销售状况出现好、中、差的概率都是0.5、0.3、0.2。

生产领带在好、中、差的状况下的年纯利润分别为400万元、300万元、50万元；生产旅游鞋在好、中、差的状况下的年纯利润分别为500万元、400万元、120万元。

试按数学期望值准则对这两种方案进行决策。

解：P=(0.5,0.3,0.2)，A=■T，X1=产领带，X2=产旅游鞋。

令Y=8X－Y0，这里Y0=(800,1000)，则EY=8(EX)－Y0=8PA－Y0=(1600,2152)，因此应采取生产旅游鞋方案。

2．矩阵乘幂的应用。

例某高校所在地本地学生度周末有回家和在校两种选择。

统计数据显示，本周末回家的学生，下周末回家的几率为2/5，本周末在校的学生下周末在校的几率是1/5。

已知第一周末有30%本地学生回家。

行列式实际应用案例

行列式实际应用案例行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

然而，除了在数学理论中的抽象运用外，行列式在现实生活中也有着许多实际应用案例。

在本文中，我们将介绍一些行列式在实际中的应用案例，以便更好地理解行列式的重要性和实用性。

首先，行列式在工程领域中有着重要的应用。

在工程设计中，经常需要求解多元线性方程组，而行列式可以用来判断线性方程组的解的情况。

通过计算行列式的值，可以确定方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解，这对于工程设计师来说是非常重要的信息。

比如，在建筑设计中，需要确定柱子和横梁的受力情况，就可以通过求解线性方程组来得到所需的信息。

其次，行列式在经济学中也有着重要的应用。

在经济学中，经常需要进行投资组合的优化，而行列式可以用来计算投资组合的收益和风险。

通过构建投资组合的收益-风险矩阵，可以得到一个n阶方阵，其行列式的值可以用来评估投资组合的风险和收益的关系，从而帮助投资者做出更加明智的投资决策。

此外，行列式在计算机图形学中也有着重要的应用。

在计算机图形学中，经常需要进行三维空间的变换和投影，而行列式可以用来表示和计算这些变换的矩阵。

通过计算变换矩阵的行列式，可以判断变换是否可逆，从而确定变换的性质和效果。

这对于计算机图形学的研究和应用具有重要的意义。

最后，行列式在生物学和化学中也有着一些应用。

在生物学和化学中，经常需要进行分子结构的分析和计算，而行列式可以用来表示和计算分子的结构和性质。

通过计算分子的行列式，可以得到分子的能量、稳定性和反应性等重要信息，这对于生物学和化学的研究具有重要的意义。

综上所述，行列式在实际生活中有着许多重要的应用案例，涉及到工程、经济、计算机图形学、生物学和化学等多个领域。

通过对这些应用案例的了解和掌握，我们可以更好地理解行列式的重要性和实用性，从而更好地应用行列式解决实际问题。

希望本文能够帮助读者更好地理解行列式的实际应用，以及行列式在不同领域中的重要作用。

(完整版)大学数学工程数学线性代数教材

第一章n阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.§1 全排列及其逆序数先看一个例子.引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有⨯⨯种放法.3=162这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 .12为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论：从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! .对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设n p p p 21为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i =，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和∑==+++=ni i n t t t t t 121 ，即是这个排列的逆序数.例1 求排列32514的逆序数. 解在排列32514中，33排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1； 5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3； 4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1；于是排列的逆序数为513010=++++=t .§2 n 阶行列式的定义为了给出n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为：)1(.312213332112322311322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=容易看出：①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列. 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成321321p p p a a a . 这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第二个下标（称列标）排成321p p p ，它是1、2、3三个数的某个排列. 这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。

线性代数的应用

线性代数的应用陈宇摘要：线性代数有什么用？ 1、如果你想继续深造，考研，必须学好线代。

2、如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好。

3、想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具。

4、想搞经济研究。

好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。

是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。

并因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。

作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。

5、对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。

如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解；6商业领域，作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。

关键词：线性代数应用经济研究工程领域商业领域线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。

线性代数-行列式(完整版)

01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)，是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组，且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行列式以及将系数矩阵的某一列替换为常数项列后得到的新矩阵的行列式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用

线性代数在实际生活中应用实例

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（１）某医院要购买这七种特效药，但药厂的第３号药和第６号药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品？（２）现在医院想用这７种草药配制三种新的特效药，表２给出了三种新的特效药的成份，请问能否配制？如何配制？
ＡＢＣＤＥＦＧＨＩ１号新药４０６２１４４４５３５０７１４１１４２号新药１６２１４１２７１０２６０１５５１１８６８５２３号新药８８６７８５１７８０３８２１３０
xc1 0.94 0.02 0.3 0.2960 x1 = Ax0 = x = ⋅ = 0.7040 s1 0.06 0.98 0.7
从初始到ｋ年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 x= Axk −= A2 xk −= = Ak x0 ． 2 k 1 经Ｍａｂｌａｂ计算可得：
解：（１）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析７个列向量构成向量组的线性相关性。若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，并且能找到不含ｕ３，ｕ６的一个最大线性无关组，则可以配制３号和６号药品。经计算该向量组线性相关，一个最大无关组为ｕ１，ｕ２，ｕ４，ｕ５，ｕ７且ｕ３＝ｕ１＋２ｕ２，ｕ６＝３ｕ２＋ｕ４＋ｕ５．所以可以配置处这两种脱销的药品。
解将Ｍ和Ｐ相乘，得到的矩阵设为Ｑ，Ｑ的第一行第一列元素为Ｑ（１，１）＝０．１０×４０００＋０．３０×２０００＋０．１５×５８００＝１８７０其中 Q =
1870 3450 1670
2220 4020 1940 2070 3810 1830 1960
1740

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

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线性代数应用实例 ● 求插值多项式右表给出函数()f t 上4个点的值，试求三次插值多项式230123()p t a a t a t a t =+++，并求(1.5)f 的近似值。

解：令三次多项式函数230123()p t a a t a t a t =+++过表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=+++=+++=627931842033210321032100a a a a a a a a a a a a a 对于四元方程组，笔算就很费事了。

应该用计算机求解了，键入： >>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1得到01233,2,2,1a a a a ==-=-=，三次多项函数为23()322p t t t t =--+，故(1.5)f 近似等于23(1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5) 1.125p =--+=-。

在一般情况下，当给出函数()f t 在n+1个点(1,2,,1)i t i n =+上的值()i f t 时，就可以用n 次多项式2012()n n p t a a t a t a t =++++对()f t 进行插值。

● 在数字信号处理中的应用----- 数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。

它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z -1。

根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。

图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y 与输入u 之比。

先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。

由于迟延算子z -1不是数，要用符号代替，所以取q = z -1，按照图示情况，可以写出：1223312311844x qx ux q x u x x =+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=写成矩阵形式为11223300231100844010q x x x q x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-+⇒ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x u x =Qx -Pu经过移项后，系统函数W 可以写成：W =x/u =inv(I -Q)*P 现在可以列写计算系统函数的MATLAB 程序ea705，syms q% 规定符号变量Q(1,2)=q; Q(2,3)=3/8*q -1/4; Q(3,1)=1; % 给非零元素赋值 Q(3,3)=0; % 给右下角元素Q （3,3）赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零 P=[2;1/4;0]% 给P 赋值W=inv(eye(3)-Q)*P% 用信号流图求传递函数的公式程序运行的结果为W = [-16/(-8+3*q^2-2*q)-2*q/(-8+3*q^2-2*q) ][ -2*(3*q -2)/(-8+3*q^2-2*q)-2/(-8+3*q^2-2*q)] [-16/(-8+3*q^2-2*q)-2*q/(-8+3*q^2-2*q)]我们关心的是以y =x3作为输出的系统函数，故再键入 pretty(W(3)) 整理后得到 1222116288(3)832 1.54 1.54y q q z W u q q q q z z -----++====-+--++-++用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。

信号与系统课程中的应用-----线性时不变系统的零输入响应描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为,d d d d d d d d d d 111121u b t u b tu b y a t y a t y a t y a m m m m n n n n n ++-+++=++++ n ≥m已知y 及其各阶导数的初始值为y (0)，y (1)(0)，…，y (n -1)(0)，求系统的零输入响应。

解：当LTI 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等号右端为0），其形式为（设特征根均为单根）t p n t p t p n C C C t y e e e )(2121+++=其中p 1，p 2，…，p n 是特征方程a 1λn +a 2λn -1+…+ a n λ+ a n +1 =0的根，它们可用roots(a)语句求得。

各系数C 1，…，C n 由y 及其各阶导数的初始值来确定。

对此有C 1+ C 2+…+C n = y 0 y 0 = y (0)p 1C 1+ p 2C 2+…+ p n C n =D y 0 (D y 0表示y 的导数的初始值y (1)(0)) …………………………………011212111D y C p C p C p n n n n n n ----=+++写成矩阵形式为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0100211121121D D 111y y y C C C p p p p p p n n n n n n n 即 V ·C = Y 0 ，其解为 C =V \ Y 0式中 112000[,,,];[,D ,,D ]n n C C C y y y -==T T 0C Y⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---1121121111n n n n n p p p p p pV V 为范德蒙矩阵，在MATLAB 的特殊矩阵库中有vander 函数可直接生成。

MATLAB 程序ea703.ma=input('输入分母系数向量a=[a1，a2，...]= '); n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0，Dy0，D2y0，...]= '); p=roots(a);V=rot90(vander(p));c= V\Y0'; dt=input('dt='); tf=input('tf= ') t=0:dt:tf; y=zeros(1，length(t)); for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t ，y)，grid⏹ 程序运行结果用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=[3，5，7，1]; dt=0.2; tf=8;而Y0取[1，0，0];[0，1，0];[0，0，1]三种情况，用hold on 语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。

● 减肥配方的实现设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。

现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。

营养每100g 食物所含营养(g)减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶大豆面粉乳清蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物 52 34 74 45 脂肪71.13设脱脂牛奶的用量为x 1个单位（100g ），大豆面粉的用量为x 2个单位（100g ），乳清的用量为x 3个单位（100g ），表中的三个营养成分列向量为：图2 三阶系统的零输入响应12136511352,34,74,07 1.1a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则它们的组合所具有的营养为11223312336511352347407 1.1x a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：123365113335234744507 1.13x x Ax b x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦用MATLAB 解这个问题非常方便，列出程序ag763如下：A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3] x=A\b程序执行的结果为：0.2772 0.3919 0.2332x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即脱脂牛奶的用量为27.7g ，大豆面粉的用量为39.2g ，乳清的用量为23.3g ，就能保证所需的综合营养量。

人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。

人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。

每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。

假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述。

把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即,ck k sk x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中x c 为市区人口所占比例，x s 为郊区人口所占比例，k 表示年份的次序。

在k=0的初始状态：0000.30.7c s x x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

一年以后，市区人口为x c1= (1-0.02) x c0+0.06x s0，郊区人口x s1= 0.02x c0 + (1-0.06)x s0，用矩阵乘法来描述，可写成：11010.940.020.3 0.29600.060.980.7 0.7040c s x x Ax x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此关系可以从初始时间到k 年,扩展为2120k k k k x Ax A x A x --====,用下列MATLAB 程序进行计算：A=[0.94,0.02;0.06,0.98] x0=[0.3;0.7] x1=A*x0, x10=A^10*x0 x30=A^30*x0 x50=A^50*x0程序运行的结果为：1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,,,, 0.7040 0.7283 0.7459 0.7492x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦无限增加时间k ，市区和郊区人口之比将趋向一组常数 0.25/0.75。

为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。

在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A 的效果。

选u 1为稳态向量[0.25,0.75]T 的任意一个倍数，令u 1=[1,3]T 和u 2=[-1,1]T 。