线性代数矩阵性及应用举例
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
线性代数中矩阵的相似变换及其应用
线性代数中矩阵的相似变换及其应用线性代数是一门研究线性空间及其上的线性变换的数学分支。
在这门学科中，矩阵是一个极为重要的概念，因为它可以将线性变换转化为更加容易处理的代数形式。
而其中的一种基本操作——矩阵相似变换，更是在许多领域都得到了广泛的应用。
一、矩阵相似变换矩阵相似变换在线性代数中是一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特征，也方便了我们进行矩阵的运算和求解。
矩阵相似变换指的是对一个矩阵A进行"相似变换"之后得到另一个矩阵B的过程，其中相似变换指的是将矩阵A按照特定的方式变换之后得到的矩阵B，即B=PAP^(-1)。
其中，P是一个可逆矩阵，也就是说，矩阵A和B具有相同的特征值和特征向量。
矩阵相似变换有如下的性质：1. 若A和B相似，则它们的特征值和特征向量相同。
2. 若A相似于B，B相似于C，则A相似于C。
3. 若A相似于B，则A^k相似于B^k，Aⁿ相似于Bⁿ。
4. 若A与B相似，则它们的行列式和迹相同。
5. 若A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。
二、矩阵相似变换的应用1. 矩阵对角化矩阵对角化是指将某个矩阵转化为对角矩阵的过程，这个过程通常是通过矩阵相似变换来实现的。
对角化之后的矩阵易于计算，也便于我们理解矩阵的特征和性质。
2. 特征值和特征向量的求解矩阵相似变换可以将一个矩阵转化为与之相似的矩阵B，使得B具有与A相同的特征值和特征向量。
因此，通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解一个矩阵的特征值和特征向量。
3. 线性微分方程组的求解在求解线性微分方程组时，矩阵相似变换可以将矩阵转化为对角矩阵，使得求解过程更加简单明了。
因此，线性微分方程组的求解中矩阵相似变换得到了广泛的应用。
4. 特征空间的求解特征空间指的是某一矩阵的所有特征向量张成的空间。
通过矩阵相似变换，我们可以方便地求解出一个矩阵的特征向量，从而得到它的特征空间，进而解决许多实际问题。
线性代数中的幂等矩阵与幂等算子
线性代数中的幂等矩阵与幂等算子线性代数是研究向量空间与线性变换的数学分支。
在线性代数中，存在一类特殊的矩阵和算子，称为幂等矩阵和幂等算子。
本文将介绍幂等矩阵和幂等算子的定义、性质以及应用。
一、幂等矩阵的定义和性质在线性代数中，幂等矩阵是指矩阵和自身相乘后仍然保持不变的矩阵。
具体地，对于一个n×n的矩阵A，如果满足A^2=A，那么A就是一个幂等矩阵。
幂等矩阵有以下性质：1. 幂等矩阵的特征值只能是0或1。
设A是一个幂等矩阵，λ是A 的特征值，那么有A^2x=Ax=λx。
将A^2x=Ax代入到Ax=λx中可得A(Ax)=λ(Ax)，即A^2x=λ^2x，由于A是幂等矩阵，即A^2=A，所以有λ^2x=λx，即(λ^2-λ)x=0。
因为x不为0，所以必然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。
2. 幂等矩阵的秩等于其迹。
设A是一个幂等矩阵，根据特征值的性质，A的特征值只能是0或1。
设A的特征值1的个数为r，那么0的个数为n-r，由于特征值的个数等于矩阵的秩，所以A的秩为r。
又因为迹等于特征值之和，所以A的迹为r×1+(n-r)×0=r。
3. 幂等矩阵具有不变子空间。
设A是一个幂等矩阵，对于任意非零向量x，由A^2x=Ax可知Ax在不变子空间中。
不变子空间是线性代数中一个重要的概念，表示矩阵作用下保持不变的向量组成的空间。
幂等矩阵的不变子空间是其所有特征值为1对应的特征向量张成的空间。
二、幂等算子的定义和性质幂等算子是指线性变换与自身复合后仍然保持不变的线性变换。
可以看出，幂等算子的定义与幂等矩阵的定义是相似的。
幂等算子的定义如下：对于一个向量空间V上的线性变换T，如果满足T^2=T，那么T就是一个幂等算子。
幂等算子也有一些类似于幂等矩阵的性质：1. 幂等算子的特征值只能是0或1。
与幂等矩阵类似，设T是一个幂等算子，λ是T的特征值，那么有T^2v=Tv=λv。
浅谈矩阵在实际生活中的应用
浅谈矩阵在实际生活中的应用摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天，数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。
我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。
在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。
在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。
关键词：线性代数矩阵实际应用Abstract:From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform.Keywords: linear algebra matrix practical application1 引言数学作为一门相当重要的学科，在人类发展历史中一直扮演着必不可少的角色，它凝聚了每一代聪明智慧的人们的结晶。
线性代数 第二章1
矩 阵 的 概 念及 运 算
主要内容
矩阵的定义 几种常用的特殊矩阵 矩阵的应用举例 矩阵的基本运算
一、矩阵的定义
引例 线性方程组的矩阵
定义 由 m × n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2,… , n)
排成的 m 行 n 列的数表，叫做一个 m × n 矩阵 列的数表，
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积 简称数乘, 记为 kA. 数量乘积, 简称数乘, kA.
注意
2. 运算规律
设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数，则 为同类型矩阵 为常数， (1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵合起来， 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的 线性运算. 线性运算
一般情形
定义 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n , (a (b
C = (cij)m×n , 其中 (c
cij = 轾1 ai 犏 臌
ai 2 L
轾j b1 犏 aip 犏 j = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj b2 犏 犏 M 犏 犏 b pj 犏 臌
1 O 1
n
.
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(6)
数量矩阵
主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 量矩阵. 量矩阵 例如 n 阶数量矩阵
线性代数 第一章、矩阵
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
幂等矩阵、对角矩阵与正交矩阵性质
幂等矩阵、对角矩阵与正交矩阵性质引言矩阵理论在数学和应用领域中扮演着重要角色。
在矩阵理论中，幂等矩阵、对角矩阵和正交矩阵是三个重要的矩阵类型，它们具有独特的性质和应用。
本文将详细介绍这三个类型矩阵的性质，并举例说明它们在实际问题中的应用。
幂等矩阵幂等矩阵是指一个矩阵与自身相乘等于其自身的矩阵。
具体而言，对于一个 nx n 的矩阵 A，如果 A^2 = A，则称 A 为幂等矩阵。
幂等矩阵有几个重要的性质：1.幂等矩阵的平方等于它本身：A^2 = A2.幂等矩阵的特征值只能是 0 或 1。
假设 A 是幂等矩阵，它对应的特征值λ 满足方程Av = λv，其中 v 是 A 的特征向量。
将该方程代入定义式 A^2 = A，可以得到 (A - λI)A = A(A - λI) = 0，其中 I 是单位矩阵。
由于 A^2 = A，所以A(A - λI) = 0，进一步可以推出 A(A - λI)v = 0，即 (A - λI)v = 0，也就是说特征值λ 对应的特征向量 v 是 A - λI 的零空间中的向量。
因此，A 的特征值只能是0 或 1。
幂等矩阵在实际问题中有许多应用。
例如，在图论中，邻接矩阵的幂等性被用于描述图的可达性。
在线性代数中，幂等矩阵可以用于描述投影变换。
此外，在编程中，幂等性被广泛应用于设计具有幂等性质的算法和系统，以确保操作的一致性和可重复性。
对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
具体而言，对于一个 n x n 的矩阵 A，如果当i ≠ j 时 Aij = 0，则称 A 为对角矩阵。
对角矩阵有几个重要的性质：1.对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素都非零。
如果对角矩阵的主对角线上存在零元素，则对角矩阵是奇异的，无法求逆。
2.对角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素。
对角矩阵在线性代数和应用数学中具有广泛的应用。
在求解线性方程组时，对角矩阵具有良好的性质，可以简化计算过程。
线性代数中的矩阵理论及其应用
线性代数中的矩阵理论及其应用线性代数是近年来非常热门的学科，它广泛应用于物理和工程等领域，包括机器学习、图像和信号处理、网络分析和优化，数学建模等等。
而矩阵理论是线性代数中的重要分支，是许多应用的基础。
本文将介绍矩阵理论的基本概念和应用，以及其中一些重要的定理和算法。
一、矩阵的基本概念在矩阵理论中，矩阵是指一个由m行n列元素组成的矩形阵列，通常用A=[aij]表示，其中i代表行号，j代表列号，aij代表矩阵A中的第i行第j列的元素。
当m=n时，矩阵A称为方阵，元素aij对应于A的第i个行向量和第j个列向量的内积。
对于矩阵A和B，它们的和C=A+B是一个矩阵，其中C的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
同样地，矩阵的差和数乘分别为D=A-B和E=kA，其中D的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差，E的每个元素都等于A的对应元素乘以k。
此外，矩阵的转置AT是一个矩阵，其中AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
二、矩阵的应用矩阵理论的应用非常广泛，以下介绍一些常见的应用。
1.线性方程组的求解线性方程组的求解是矩阵理论的基础应用之一。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n行n列的矩阵，x和b都是n 维列向量，x的每个元素都代表方程组的一个未知数，b的每个元素都代表方程组的一个常数项。
则方程组的解为x=A-1b，其中A-1是矩阵A的逆矩阵。
若A没有逆矩阵，则方程组无解或有无穷解。
2.特征值和特征向量特征值和特征向量也是矩阵理论中的重要概念之一。
对于一个n阶方阵A，若存在一个非零向量x，以及一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，x是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以用来描述矩阵的几何特性和运动轨迹，以及在状态空间中的扭曲和伸缩等现象。
3.奇异值分解奇异值分解（SVD）是矩阵理论中的另一个重要概念，可以用来分析矩阵的结构和性质。
对于一个m行n列的矩阵A，它的奇异值分解为A=UΣVT，其中U是一个m行m列的正交矩阵，VT是一个n行n列的正交矩阵，Σ是一个m行n列的矩形对角矩阵。
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线性代数矩阵性及应用举例————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：华北水利水电学院线性代数解决生活中实际问题课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2012年11月7日关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。
本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。
关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。
下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。
定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。
定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1-A 。
定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的基本性质：性质1 当A 为可逆阵，则AA11=-. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1-为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--11)()0(1)(11≠=--k A kkA . 性质3 111)(---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11'=--A .由性质3有 定理2若)2(,21≥n A A A n Λ是同阶可逆阵，则n A A A Λ21,是可逆阵，且21(A A下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1。
方法二 伴随矩阵法定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i Λ=，矩阵 ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫nn n nn n A A A A A A A A A ΛΛΛ212221212111称为A 的伴随矩阵，记作A*。
定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ，并且当A 可逆时,有*11A AA =-。
定理证明见[1].定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。
由定理3逆矩阵判定的方法还有：推论3.1 n 级矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的秩为n 。
推论3.2 矩阵A 可逆的充要条件是它的特征值都不为0。
推论3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是它的行(或列)向量组线性无关。
方法三 初等变换法定义4 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：)1(交换矩阵的两行(列)；)2(以一个非零的数k 乘矩阵的某一行(列)；)3( 把矩阵的某一行（列)的k 倍加到另一行(列)。
定理4 方阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。
具体方法是：欲求A 的逆矩阵时，首先由A 作出一个n n 2⨯矩阵，即)(E A M，其次对这个矩阵施以行初等变换(且只能用行初等变换)，将它的左半部的矩阵A 化为单位矩阵，那么原来右半部的单位矩阵就同时化为1-A ：)()(1-−−−→−A E E A M M 行初等变换或者⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A ΛΛ列初等变换例1求矩阵A 的逆矩阵，已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=521310132A 。
解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→001132010310100521100521010310001132)(E A M ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→201910010310100521⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→3161611001232110326565021316161100010310100521211600010310100521⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→316161100123210103461361001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=∴-3161611232134613611A 注：在事先不知道n 阶矩阵是可逆的情况下，也可直接用此方法。
如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆。
方法四 利用解线性方程组来求逆矩阵 若n 阶矩阵A 可逆，则E AA=-1，于是1-A 的第j 列是线性方程组j AX ε=的解，n j Λ2,1=.因此我们可以去解线性方程组β=AX ，其)(1'=n b b Λβ，把所得的解的公式中的n b b b Λ21,分别用00,1Λ；00,1,0Λ；…；1,00,0Λ代替，便可求得1-A 的第n Λ2,1列，这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单一点。
例2求矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000013000013000013000013的逆矩阵。
解： 设T x x x x x X ),,,,(54321= Tb b b b b B ),,,,(54321=解方程组AX=B即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+5545434323212133333b x b x x b x x b x x b x x 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=+-+-=-----51554245432335432234254322314513)3(3)33(3)333(3)3333(3b x b b x b b b x b b b b x b b b b b x 然后把),,,,(54321b b b b b B =列，分别用)0,0,0,0,1(1=ε )0,0,0,1,0(2=ε)0,0,1,0,0(3=ε )0,1,0,0,0(4=ε )1,0,0,0,0(5=ε代入得到矩阵1-A 的第5,4,3,2,1行，分别用)3,3,3,3,3(543211-------=x )3,3,3,3,0(43212------=x)3,3,3,0,0(3213----=x )3,3,0,0,0(214---=x )3,0,0,0,0(15-=x即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=----------------12132143215432113000033000333003333033333A 这种方法特别适用于线性方程组AX=B 的解容易求解的情形。
方法五 分块求逆法当一个可逆矩阵的阶数较大时，即使用初等变换求它的逆矩阵仍然计算量较大。
如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵，则能减少计算量。
而且形如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2100A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021BB B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211110A A A M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22121120A A A M⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02112113AA A M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211240A A A M 的分块矩阵，使用分块矩阵较方便。
现用1M 为例，来说明求逆矩阵的方法，其它的矩阵可依此类推。
设有n 阶可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211110A AA M ，其中2211,A A 为s r ,阶可逆方阵，求11-M 。
解：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2221121111X X X X M ，则11-M 与1M 有相同分法，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222212212122112112111111222112112221111110X A X A X A X A X A X A X X X X A A A M M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==s rn E E E 00 得一个线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==sr E X A X A X A X A X A E X A 22221221212211211211111100由于2211,A A 可逆，故122111,--A A 存在，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===----12222111211222112111110A X A A A X X A X 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----12211121122111110A A A A A M 方法六 利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵法哈密尔顿—凯莱定理 设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则0)1()()(12211=-+++++-=-E A Aa a a A A f n n nn nΛΛ。
如果A 可逆，则A 的特征多项式的常数项0)1(≠-=A a nn ，由定理知0)(111=++++=--E A A A A f n n n n αααΛ于是 E A E A A n n n n=⨯+++----)(11211αααΛ因此得 )(112111E A A An n n n----+++-=αααΛ )(*此式给出了1-A 的多项式计算方法。
例3已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ，求1-A 。
解：矩阵A 的特征多项式为： 254)(23-+-=-=λλλλλA E f因023≠-=α，所以矩阵A 可逆，由)(*式知)54(2121E A A A +-=-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11302802621方法七 “和化积”法有时遇到这样的问题：要求判断方阵之和A+B 的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B 直接化为E C B A =+)(，由此有A+B 可逆，且C B A =+-1)(，或将方阵之和A+B 表为若干个已知的可逆阵之积，再有定理2知A+B 可逆，并可得出其逆矩阵。
例4证明：若0=kA ，则A E -是可逆阵，并求1)(--A E 。
证明：Θ E AA A E A E k =++++--))((12Λ∴ E-A 是可逆矩阵且121)(--++++=-k A A A E A E Λ总之，矩阵可逆性的判断及求逆矩阵的方法很多，不仅仅只是以上列举的几种方法，大家在做题过程中，可根据题目的需要灵活选用方法来求解。
参考文献：[1]丘维声. 高等代数[M]. 高等教育出版社，1985. [2]北京大学数学系. 高等代数[M]. 高等教育出版社，1988. [3]杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法. 渭南师范学院学报，2003.[4]杨彗. 矩阵的非奇异性判定及求逆矩阵的几种方法. 云南师范大学学报，2002.The ones that go against matrix judge and ask the discussiongoing against the matrix methodABSTRACT:Judging reversibly and against the asking and solving one of the main contents that is higher algebra of matrix. This text provides and judges whether matrixis reversible and asks several kinds of methods to go against matrix. KEYWORDS: Inverse matrix Adjoint matrix Elementary matrixPartitioned matrix。