线性代数在实际生活中的应用

线性代数在生活中的实际应用

大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已。；；初等的数学

知识学习线性代数数学建模函数模型的建立及应用，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等。

线性代数中行列式实质上是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年与1693年，日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间，行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后，行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。1750年瑞士数学家克莱姆也在他的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则一一克莱姆法则。随后1812年，法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用，这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今，由于计算机和计算软件的发展，在常见的高阶行列式计算中，行列式的数值意义虽然不大，但是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用中，行列式的只是依然非常重要。

例如：有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种、化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮

70克，磷5克，钾1.4克.若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷

149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克?

2

设甲、乙、丙三种化肥 各需X 1、X

2、X 3千克，依 题意得方程组

由克来姆法则，此方程组有唯一解：

Xi 3 ； X 2 5 ； X 3 15.

即甲乙丙三种化肥各需 3千克5千克15千克、

矩阵实质上就是一张长方形的数表，无论是在日常生活中还是科学研究中，矩 阵是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度表、车站 时刻表、价目表、故事中的证券价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或 处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要是它能把 头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于背一些表面看起来 杂乱无章的关系弄得晕头转向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系， 并通 过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。 它也是我们求解数学问题时候 “数形结合”的途径。矩阵的运算是非常重要的内容。

n 1 1 1 n n n 1 n 1 1 例：计算

n

n n

1 1 n 1 n

n

n

n

X i

X 2

X 3

23, 8

X l 10 X 2 5X 3 149,

2

X i

°?6

X 2

「4

X

3

30

.

27

此方程组的系数行列式D ―,又 5

D i

81

，D 2

5

27， D 3 81

1

n 1

n 在此例中,A A,所以A 是幕等矩阵. 矩阵的初等变化，矩阵的秩，初等矩阵，线性方程组的解。向量组的线性相关, 向量空间，向量组的秩，n 维向量。这些都是线性代数的核心概念。线性代数在 应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长。而这一性能伴随着计算机软 硬件的不断创新提升，最终，计算机并行处理和大规模计算的迅猛发展将会吧计 算机科学与线性代数紧密的联系在一起并广泛应用于解决飞机制造，桥梁设计， 交通规划，石油勘探，经济管理等科学领域。线性模型比复杂的非线性模型更易 于用计算机进行计算。线性方程组应用广泛。主要有网络流模型，人口迁移模型, 基因问题，求血液的流率和血管分支点出的压强等等。 线性方程组的解法其中至 关重要的 例如求解齐次线性方程组

n 1 1

n n

1 n 1 解

:

n n

1 1 1

n

n

n

2

n 1 1

1

1

1 n 1

1

2

n

1

1 n 1

1

2

n

n 1 1 1 1

1 1 n 1

1 n

n

n 1

1 1

n 1

n

n(n 1)

n n

1

n

n(n 1)

n 2

n

n n

n(n 1)

n 1 1 n n

1 n 1 n n

X-i 2X 2 X 3 X 4 0 2x 1 x 2 2X 3 2X 4 0 x 1 x 2 4X 3 3X 4

方阵的特征值、特征向量理论及方阵的相似对角化的问题, 学本身的

研究中具有重要的作用，在其他的许多科学领域中也有重要的应用。 例 如，在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行

DNA 序列对比是就用到了

矩阵的相似，这个概念。线性代数学习对数学建模十分必要。那么

，为什么线性

代数得到广泛运用，也就是说，为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常 的事，而并非解非线性方程组是经常的事呢？这是因为，大自然的许多现象恰好 是线性变化的。按照辩证唯物主义的观点，世间的一切事物都是在不断地运动着 的.所谓运动，从数学上描述，就是随时间而变化，因此，研究各个量随时间的变

解：

对系数矩阵 A 施行初等行变换：

i 2 2 i a 2r i i 2 2 i 「3 a

i A

2 i 2

2 ? 0

3 6

4 ~ 0

i i

4

3 a

r i

3

6

4

r 2 ( 3)

14-30 2 2 0

2 10

2

2r

5 一

34

X i 2x 3

即得与原方程组同解的方程组

X 2 2X 3

Q 0

X4X4

5-34-3

X i 2X 3

由此即得

X 2

2X 3

5

X 4,

%

（ X 3,X 4可任意取值）.

令X 3 5X 4 g ，把它写成通常的参数形式

X i 2C 2 X 2

2C 2 5 3C 2,

4 3C

2,

X 1 2 X 3 C i , X 2 X 3 C i

C 2

X 4 C 2,

X 4

这些内容不仅在数

化率，即导数，与各个量的大小之间的关系，就是非常重要的?以下为线性代数

实际解决的应用问题:

例1: 基因间“距离”的表示

在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四

种等位基因A i，A2, B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1

表基因的相对频率

问题一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。

解有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个

群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记X ki ... f ki ?由于对这四种群

4 4

体的每一种有f ki 1，所以我们得到x2 1?这意味着下列四个向量的每个

i 1 i 1

都是单位向量.记

x11x21x31x41

x12x22x32x42

,a2 x13

,a3

x23

,a4

x33x43

x14x24x34x44

在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.

现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的?如果我们

a i和a2之间的夹角记为那么由于| a i|=|刎=1，再由内只公式，得cos si a?

0.5398 0.3216

0.0000 0.2943

a i , a2 .

0.1778 0.3464

0.8228 0.8307

故cos a i a2 0.9187

得23.2 °

按同样的方式，我们可以得到表1.2.

由表可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”而爱斯基摩

人和班图人之间的基因“距离”最大

例2 :在医药领域也有着很重要的作用。例如：通过中成药药方配制问题，达

至V理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量

空间等线性代数的知识

问题：某中药厂用9种中草药（A-I ）,根据不同的比例配制成了7种特效药, 各用量成分见表1 （单位：克）

解：（）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析个列向量构成向量组的

线性相关性。

若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；

若向量组线性相关，并且能找到不含u3,u6的一个最大线性无关组，则可以

配制3号和6号药品。

在Matlab窗口输入

u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8];

u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2];

u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12];

u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0];