第一讲矩阵的概念、运算

合集下载

高等数学教材矩阵

高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。

矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。

本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。

一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。

我们用大写字母A、B等来表示矩阵。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。

2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。

3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。

三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。

2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。

3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。

4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。

四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。

2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。

3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。

4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。

五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。

2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。

3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。

总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。

矩阵论简明教程(第二版)第一讲[1]

所以A的特征值为1 2 2，3 7.
当1 2 2时，解方程组 2 I A x 0.由 2 2 1 2 2 1 2 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0
1 k 1
1
1 3 E i, j k
1
k 1
1
三、其他特殊矩阵
k 1 幂零矩阵： A 0, k : 某正整数;
A 2 幂等矩阵：
C11 C12 C21 C22 则AB Cs1 Cs 2
C1r t C2 r , 其中 Cij Aik Bkj k 1 Csr i 1, 2, , s; j 1, 2, , r
4、转置与共轭转置
A11 A21 设 A As1 A12 A22 As 2
k3 x3，k3 0.
二、特征值与特征向量的性质定义3
设A aij
定理1
nn
C
nn
, 称 a11 a22 ann .
ann为A的迹，记为
trA,即trA a11 a22
设n 阶方阵A aij
1 1 +2 + +n a11 a22 ann =trA; 2 12 n det A; 3 AT的特征值是1，2，，n ,而AH的特征值是
2 2 得基础解系 x1 1 , x2 0 0 1
所以对应1 2 2的全部特征向量为 k1 x1 k2 x2 , 其中k1 , k2不同时为0.
当3 7时，解方程组 7 I A x 0.由 8 2 2 1 0 0.5 7 I A 2 5 4 0 1 1 2 4 5 0 0 0 1 得基础解系 x3 2 , 故对应3 7的全部特征向量为 2

第1讲用矩阵消元法求解线性方程组

a ____ ， b ____ ， c ____ ；
u 1 2 (2) 设 B x v 3 为反对称矩阵，则 y z w u ____ ， v ____ ， w ____ ； x ____ ， y ____ ， z ____ .
为(1)的一个解(向量). (1)的全体解向量形成的集合称为(1)的解(向量)集合. 在(1)中，将 n 个未知量 x1 , x2 , , xn 改为 y1 , y2 , , yn ，并不影响解向量集合. 所以
反映了(1)的所有本质特征. 说，增广矩阵 A
2、初等变换
-5-
定义 11
在线性方程组(1)中，
以 A [ aij ]mn 的第 j 列各元素次序不变排成新矩阵的第 j 行( j 1, 2, , n )，亦得
a11 a 12 T A a1n
显然，有
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
ent ij A ent ji AT (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ，
C A B .
数与矩阵可以相乘. 定义 6 设 A [ aij ]mn ，则称矩阵 [kaij ]mn [ aij k ]mn 为数 k 与矩阵 A 的数量乘积(或
A 的 k 倍)，记作 kA 或 Ak .
加法与数量乘法统称为矩阵的线性运算. 2、 m n 矩阵空间数域上的全体 m n 矩阵形成的集合可以表示为
(加法交换律) (加法结合律) (加法右单位元) (加法右逆元) ( 1 倍) (数乘结合律) (第一分配律) (第二分配律)
mn 关于矩阵的加法与数量乘法，称为数域上的 m n 矩阵空间. 减法是加法的派生运算： A B A ( B ) .

考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)

考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。

线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。

因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。

二阶矩阵、二阶矩阵

；第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。

一、二阶矩阵 1.矩阵的概念①OP → (2, 3)，将→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 — ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3初赛复赛 < 甲80 90 乙 86 88③ (概念一：象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。

②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。

③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）④列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 （仅有一列）$⑤向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。

练习1：1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m nx y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若A=B ，求x,y,m,n 的值。

概念二：2 3 # m 3 －2 4 y x 2 3OP (2, — 2— 3@⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 90 86 88 231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。

a,b,c,d 称为矩阵的元素。

①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。

②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2.}二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦练习2：1.（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021＝（2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311021＝ 2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换 &问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。

线性代数总结笔记

对于非齐次线性方程组
a11x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
*1
Di D
（1）若 D aij 0 则 *1 有唯一解， xi

， Di 为 D 的第 i 列换为常数列；
6th
（2）若 *1 无解或有无穷多解，则 D 0 ；注： D 0 仅是 *1 有无穷多解或无解的必要条件而非充分条件；对于齐次方程组
a11 a12 a1n
例 1 计算上三角行列式 Dn
0
a22 a2 n ann
Dn 1
j 1
n
j1 j2 jn
a11a22 ann
注：同样地
n a11 0 aii * ann i1
类似地
* an1
1
a1n 0

0 an1
【分析】数学归纳法递推公式解： D2 a2 a1 ，
1 D3 a1 a
2 1
1 a2 a2
2
1 1 a3 a1 a3
2
0 a2 a2 a1 a3 a3 a1
1 a2
1 a3
1 0
0 a2 a2 a1 a3 a3 a1
1 a2 a1
1 a3 a1
注：1）在降阶时运用展开定理，降阶之前应先用性质将某一行（列）只剩一个非零元素； 2） a j1 Ai1 a j 2 Ai 2 a jn Ain

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a11A11 a12 A12 a13 A13 则 a a a a A a A a A 0 21 22 23 21 21 22 22 23 23 a31 a32 a33 a31 a32 a33

第三章矩阵第一讲

则X=X1 X 2，其中X1 V1，X 2 V2，
3、设A、B、C、是三个n阶方阵r(A)=r(BA), 证明：AX=0的解显然是BAX=0的解.
则(AC)= r(BAC).
又r(A)=r(BA), AX=0与BAX=0的解空间的维数相同，故 AX=0与ABX=0同解.
又 ACX=0的解是BACX=0的解，反之若X是BACX=0 的解，令 CX=X1，则BAX1=0，即X1也是AX=0的解，即AX1=0，于是 ACX=0，即BACX=0与ACX=0同解，于是 r(AC)=r(BAC).
6. 若AX=0与BX=0同解，则r A =r B . 7. r A =r AA =r AA .
二、例题
1. 设A= a ij
sn
, B bij
n m
, 证明：r AB r A +r B n 0 ， 0
书上的题看P49 起 3.5, 3.9, 3.10, 3.15
第一讲矩阵的秩之间的关系
一、矩阵的秩之间的关系
I 0 1.r A r 存在可逆矩阵P、Q使PAQ= r （初等变换不改变矩阵的秩） . 0 0 若C=AB，其中A=Asn，B=Bnm，则r A +r B n r (c) min{r A ,r B }；若A -1存在，则r AB =r B ；若A B 0，则r A +r B n. 2. r A +r B r A+B .
6.设A、B、C是三个可乘的矩阵，证明： r ABC r AB r BC r B 证：设A=Asn，B=A nk，C=Ckm， I 令r B r1，则存在可逆矩阵P、Q使B=P r 0 0 Q. 0

线性代数第二章第1讲

称为 m n矩阵.简称 m n 矩阵. 记作
主对角线 a11 a12 a1n
A

a21
a22
a2n
副对角线 am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij

mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
例2 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之间的关系式
4 是一个 11 矩阵.
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 2
6 2
2i 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 ,,an , 称为行矩阵(或行向量).
a1
因为n为奇数，得即奇数阶反对称矩阵行列式为零。
注：当A,B均为对称矩阵时，A＋B，kA仍为对称矩阵。均为反对称矩阵时，有类似的结论。
5、方阵的行列式定义6 由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA 。
设A,B为n阶方阵,为实数,则有下列等式成立
对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.
B
城市之间开辟了若干航线 ,
如图所示表示了四城市间的 A

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第一讲
Ⅰ 授课题目（章节）：
§2.1 矩阵的概念；
§2.2 矩阵的计算
Ⅱ 教学目的与要求：
理解矩阵概念；
掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。

Ⅲ 教学重点与难点：
矩阵的乘法
Ⅳ 讲授内容：
§2.1 矩阵
定义2.1 由n m ⨯个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表
mn m m n n a a a a a a a a a
21222
21112
11
称为m 行n 列矩阵,简称n m ⨯矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⨯mn m m n n n
m a a a a a a a a a A 212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。

否则，称它们是不同型的。

n 行n 列的矩阵n n A ⨯称为n 阶矩阵（或n 阶方阵）
，简记为n A 。

只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=n b b b B 21 称为列矩阵,又称列向量.
定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即
),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij ===
那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =.
元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ⨯，简记为O .不同型的零矩阵是
不同的.
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=100010001 n
I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0.
§2.2 矩阵的运算
1. 矩阵的加法
定义2.3 设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,
规定为
n m ij ij b a B A ⨯+=+)(
设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A .
规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.
2. 数与矩阵相乘:
定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=
)(ii A A A μλμλ+=+)(
)(iii B A B A λλλ+=+)(
3. 矩阵与矩阵相乘:
定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩阵,那么规定矩阵
A 与矩阵
B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c
C =,其中
),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a
b a b a b a
c kj s
k ik sj is j i j i ij ===+++=∑=
并把此乘积记作AB C =
例1 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120463
831
1,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律。

由于矩阵乘法不满足交换律，因此矩阵相乘时必须注意顺序，AB 称为用A 左乘B ,BA 称为用A 右乘B 。

如果两个矩阵B A 与相乘，有BA AB =，则称矩阵B A 与可交换。

可交换的矩阵一定是同型方阵。

例2 若⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6342,2142B A ，求BA AB 及解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000,1683216
BA AB 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.
例3 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ..................
(221)
12222212111212111中，若令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⨯mn m m n n n
m a a a a a a a a a A 212222111211（称为线性方程组的系数矩阵），
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=n x x x X 21（称为未知数矩阵），⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=m b b b b 21（称为常数列矩阵）则方程组可以表示为矩阵形式b AX =
矩阵的乘法满足下列结合律与分配律
)(i )()(BC A C AB =
)(ii 为数）其中λλλλ(),()()(B A B A AB ==
)(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)( 对单位矩阵I ,易知
n m n n m n m n m m A I A A A I ⨯⨯⨯⨯=⋅=,
可简记为 A AI IA ==
4. 方阵的幂
对于方阵A 以及自然数k ，
个
k k A A A A ⋅⋅⋅=...称为方阵A 的k 次幂。

方阵的幂有下列性质：
)(i 2121k k k k A A
A += )(ii 2
121)(k k k k A A = 注：由于矩阵的乘法不满足交换律，一般而言有：
2121)
()()(k k k k AB AB AB +≠， 2
2))((B A B A B A -≠-+等等
5. 矩阵的转置
定义 2.6 把矩阵A 的行列式同序数的列得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T
A 矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)(
)(ii T
T T B A B A +=+)(
)(iii T T A A λλ=)(
)(iv T T T
A B AB =)( 定义2.7 设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij == 则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等.
Ⅴ 小结与提问：
1．矩阵的线性运算（加减，数乘）；
2．矩阵的乘法运算（以及方阵的幂）；
3．矩阵的转置
Ⅵ 课外作业：
17~1105100）习题二（A P -。