矩阵的概念和运算
矩阵的基本概念和运算
矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念以及常见的矩阵运算。
一、矩阵的基本概念1.1 定义矩阵是一个由m行n列元素组成的矩形数组，记作A=[a_ij]，其中i表示行数，j表示列数，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的类型根据矩阵元素的性质和特点，矩阵可以分为以下几种类型：- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。
- 方阵：行数等于列数的矩阵，记作A（m×m）。
- 行矩阵：只有一行的矩阵，记作A（1×n）。
- 列矩阵：只有一列的矩阵，记作A（m×1）。
- 对角矩阵：非主对角线上的元素都为0的方阵。
1.3 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘以及矩阵乘法等。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法设有两个m×n的矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，则它们的和记作C=A+B，差记作D=A-B。
矩阵的加法和减法满足以下性质：- 交换律：A+B=B+A，A-B≠B-A。
- 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(A-B)-C=A-(B-C)。
- 零元素：A+O=A，A-O=A。
- 负元素：A+(-A)=O。
2.2 矩阵的数乘设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，数k，则kA记作E=[ka_ij]，即矩阵A中的每个元素乘以k。
2.3 矩阵的乘法设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个n×p的矩阵B=[b_ij]，它们的乘积记作C=A•B，其中C的第i行第j列的元素为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj矩阵的乘法需要满足以下条件：- 矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，才能进行乘法运算。
- 乘法不满足交换律，即A•B≠B•A。
- 结合律成立：(A•B)•C=A•(B•C)。
2.4 矩阵的转置设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，A的转置记作A^T，其中A^T 的第i行第j列的元素为a_ji。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念之一，在数学和计算机科学中广泛运用。
它是由数个数按矩形排列而成的矩形阵列，可以表示向量、方程组以及线性变换等。
一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数按一定顺序排列而成，通常用大写字母表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中的aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵的行数m和列数n分别称为其维度，m×n为矩阵的规模。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法若矩阵A和B的维度相等（均为m行n列），则它们可以相加。
矩阵相加的结果为一个新的维度相同的矩阵C，其元素由对应位置的矩阵A和B的元素相加得到。
即：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，只需将相应位置上的元素相减即可。
例如：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘指的是将矩阵的每个元素乘以一个常数k。
结果仍为同一维度的矩阵。
记为：C = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个m行n列的矩阵A与一个n行p列的矩阵B相乘得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵乘法的运算规则如下：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，计算公式为：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对调。
矩阵知识点完整归纳
矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。
本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。
一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。
如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。
2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。
（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。
（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。
（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
3_1矩阵的概念及运算
3.同型矩阵与矩阵相等的概念 3.同型矩阵与矩阵相等的概念 (1)两个矩阵的行数相等 列数相等时,称为同型 两个矩阵的行数相等, (1)两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型 矩阵. 矩阵 1 2 14 3 同型矩阵. 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵 3 7 3 9 同型矩阵, (2) 两个矩阵 A = aij 与B = bij 为同型矩阵 并且对应元素相等,即 并且对应元素相等 即
a11 a21 M am 1
a12 a22 M
L a1n L a2 n M
am 2 L amn
称为m行 列矩阵 列矩阵. 矩阵. 称为 行n列矩阵.简称 m × n 矩阵. 记作
a11 a 21 A= L a m1
简记为 A,
a12 a22 L am 1
ij
L a1n L a2 n L L L amn
A A B C D
0 1 1 0
1
B
C
D
1 1
0 0 1
0 0
0 0 1 0
这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况
用矩阵表示
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
二、矩阵的概念
1. 定义 由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表
的解取决于 系数
aij (i, j = 1,2,L, n),
常数项 bi (i = 1,2,L,n)
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及常见的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。
矩阵可以用方括号表示，例如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23;a31, a32, a33]其中a11、a12等为矩阵元素，按行排列。
矩阵的行数为m，列数为n，则该矩阵称为m×n矩阵。
矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。
实数矩阵的元素全为实数，复数矩阵的元素可以是复数。
例如：B = [3+2i, -4-7i, 5+6i;-2+3i, 1-5i, -2i]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法若A、B为同型矩阵（行数和列数相同），则有：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13;a21+b21, a22+b22, a23+b23;a31+b31, a32+b32, a33+b33]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13;a21-b21, a22-b22, a23-b23;a31-b31, a32-b32, a33-b33]2. 矩阵的数乘若A为m×n矩阵，k为标量，则有：kA = [ka11, ka12, ka13;ka21, ka22, ka23;ka31, ka32, ka33]3. 矩阵的乘法若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积AB为m×p矩阵，满足：AB = [c11, c12, c13;c21, c22, c23;c31, c32, c33]其中：c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33...c33 = a31b13 + a32b23 + a33b334. 矩阵的转置若A为m×n矩阵，则其转置记作A^T，为n×m矩阵，满足：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32;a13, a23, a33]三、矩阵的应用1. 网络图论矩阵可以用于表示和分析网络图论中的关系和连接。
矩阵的计算方式
矩阵的计算方式1 矩阵的定义矩阵是线性代数的基础概念之一。
它是一个由数构成的矩形阵列（一个表格），并按照特定的规则进行排列。
就像我们平时用的Excel 表格一样，矩阵可以用于描述各种各样的数学问题，例如线性方程组的求解、变换矩阵的应用等等。
2 矩阵的基本运算矩阵的运算有加、减、数乘、矩阵乘法等。
以下将从这几个方面来介绍矩阵的基本运算。
2.1 矩阵加法两个矩阵的加法定义为将它们的对应元素相加得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$矩阵加法需要满足以下条件：- 两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
- 相加的两个矩阵对应的元素必须都是相同类型的，例如都是实数。
2.2 矩阵减法两个矩阵的减法与加法类似，不同的是将它们的对应元素相减得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & -4 \\ -4 & -4\end{bmatrix}$矩阵减法需要满足与矩阵加法相同的条件（相同的行数和列数，相同类型的元素）。
2.3 矩阵数乘将矩阵的每个元素都乘以一个标量得到一个新的矩阵，这个操作称为矩阵数乘。
例如：$2 \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$矩阵数乘需要满足以下条件：- 被乘的标量必须是一个实数或者复数。
mathematics矩阵运算
mathematics矩阵运算矩阵运算是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学和金融等。
本文将一步一步地介绍矩阵的定义、基本运算、特殊类型的矩阵以及一些常见的矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，可以用方括号表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\a_{3,1} & a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]其中，\[a_{i,j}\]表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵中的元素可以是实数或者复数。
二、基本运算1. 矩阵的加法和减法：两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算。
对应位置上的元素相加或相减，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于两个3行2列的矩阵\[A\]和\[B\]，它们的和\[A + B\]可以表示为：\[A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \\a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} \\\end{bmatrix}\]2. 矩阵的标量乘法：矩阵可以与一个实数或者复数进行乘法运算，我们称之为标量乘法。
将矩阵中的每一个元素与标量相乘，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于一个3行2列的矩阵\[A\]和一个标量\[k\]，它们的乘积\[k \cdot A\]可以表示为：\[k \cdot A =\begin{bmatrix}k \cdot a_{1,1} & k \cdot a_{1,2} \\k \cdot a_{2,1} & k \cdot a_{2,2} \\k \cdot a_{3,1} & k \cdot a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是定义在两个矩阵之间的运算，它不同于矩阵加法和减法。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数学科中的基础工具，这是因为矩阵可以用来表示线性变换和线性方程组。
对于矩阵的基本概念与运算，我们需要从以下几个方面来分析。
一、矩阵的基本概念1、定义与记法矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B、C等。
其中，阵列中的m表示矩阵的行数，n则表示矩阵的列数。
因此，一个m行n列的矩阵可以写成：$A_{m×n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}& \cdots&a_{mn}\\\end{bmatrix}$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
2、矩阵的类型按照元素类型可以将矩阵分为实矩阵、复矩阵和布尔矩阵等。
按照矩阵的形状，矩阵可以分为方矩阵、长方矩阵和列矩阵等。
二、矩阵的基本运算1、矩阵的加法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{m×n}$，它们对应位置相加的结果记作 $C=A+B$，则：$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$2、矩阵的数乘假设有一个矩阵 $A_{m×n}$ 和一个数 $\lambda$，则它们的乘积记作 $B=\lambda A$，则：$B_{ij}=\lambda A_{ij}$3、矩阵的乘法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{n×p}$，它们的乘积记作$C=AB$，则：$C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$矩阵乘法需要满足结合律，但不满足交换律，也就是说，$AB$ 与 $BA$ 不一定相等。
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1。
4 矩阵的概念和运算教学要求 :(1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。
(2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容：前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。
但是Cramer 法则有它的局限性：1.02. D ≠⎧⎨⎩所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数）同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。
本节课主要学习矩阵的概念。
一．矩阵的概念12312312323124621x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪+-=⎩它的系数行列式 1232460111D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示：123124621111A ⎛-⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。
这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。
123246111A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。
注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。
D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。
况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。
关于以上线性方程组我们后面将介绍。
更一般地，对于线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111他的系数矩阵：11121121222212n n m m mnm m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1）当n m ≠时，称n m ⨯矩阵为长方阵（长得像长方形）； 2）当n m =时，称矩阵为n 阶方阵（长得像正方形），简称方阵； 3）当m =1时只有一行，即（a 11 a 12…a 1n ）称之为行矩阵（或行向量）；4）当n=1时矩阵只有一列，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111m a a a 称之为列矩阵（或列向量）；另外，行列式11122122a a a a 是由以上n m ⨯矩阵1，2两行和1，2两列上交点的四个元素组成的一个2阶行列式，称为该矩阵的二阶子式。
二．特殊矩阵（上三角）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 00022211211（下三角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111000 上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵（对角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a0000002211（次对角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000001)1(21n n n a a a（单位阵）100010001E ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（零矩阵）所有元素全为零，记为n m O ⨯ “单位阵”和“零矩阵”类似于数当中的1和0 。
称为m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，有时标记在右下角。
三．矩阵相等 ⎧⎨⎩同型：两矩阵行数、列数对应相等对应元素相等例如，矩阵,391031,231322122111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B a a a a a a A若A = B ，则 a 11=1, a 12=0, a 13=9, a 21=-3, a 22=1, a 23=-3． 四．矩阵的四则运算过去我们学习的数、式子、极限、导数有四则运算法则，今后将学习的概率中的事件也有加法和乘法的运算，即事件的并和事件的交。
今天，数表――矩阵也有加减乘除的四则运算法则。
1．加法（减法）()ij ij A B a b +=-即对应位置上的元素进行加减运算例1 设矩阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=120432,152403B A ，求A+B ，A-B. 解：,022031130432152403⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+B A.282835130432152403⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-B A注意：1234c ⎛⎫= ⎪⎝⎭与A ，B 则不能进行加法运算，可见，只有同型矩阵才能进行加减法运算。
运算规则：（1）加法交换律 A + B = B + A ；（2）加法结合律 （A +B ）+C = A +（B +C ）； 2．数乘一个数乘矩阵是这个数乘矩阵所有的元素，这点与行列式根本不同.例2 设两上3×2矩阵A ，B 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222131,302121B A ，求54A B -解： 先做矩阵的数乘运算3A 和2B ，然后求矩阵3A 和2B 的差因为 515(2)51055250100,5153515A ⨯⨯--⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=⨯⨯= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⨯⨯⎝⎭⎣⎦,8884124)2(424)2(4)1(434144⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯=B所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-238692188841241502510545B A 运算规则：1．分配率：数对矩阵的分配律k (A +B )=k A +k B ，矩阵对数的分配律(k +l )A =k A +l A 2．结合率：数与矩阵的结合律(k l )A =k (l A )= l (k A )３．矩阵乘矩阵矩阵与矩阵相乘，两张表格拿来乘，不是简单的对应元素相乘，另有其规则。
例3 32123456A ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 221234B ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭解：1212343456A B ⎛⎫⎛⎫⎪⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭112312243143324451635264⨯+⨯⨯+⨯⎛⎫ ⎪=⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭3271015222334⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例4 23321035A ⨯-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 32135006 B ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 矩阵乘矩阵，即左矩阵的行乘右矩阵的列得到的新矩阵的第i 行第j 列元素是原来左矩阵的第i 行元素与右矩阵第j 列元素乘积之和。
解： 2332133215003506 AB ⨯⨯⎛⎫-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭22731530⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭2332 133215035 006BA ⨯⨯⎛⎫-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭33141510501830⨯⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭3-7可见 ：1）矩阵乘法未必满足交换率2）新矩阵与原矩阵关系――型状上的规律性：新矩阵的行数与列数即为：原左矩阵的行数和原右矩阵的列数。
3）而原左矩阵的列数必须与右矩阵的行数相等，才能进行乘法。
例5 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122,2142B A求AB 和BA 解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯-⨯+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)12)2(1)1(221)14)2(2)1(42211222142AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000 例5中矩阵A 和B 都是非零矩阵，但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 却是一个零矩阵。
这在数与代数式的运算中是没有的。
矩阵的行列式矩阵A 的行列式称为矩阵的行列式，记为 det A 或 A 。
例如 1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则 1234A =特殊的，对于方阵乘积的行列式有如下非常类似于一般代数运算的运算律：若A 与B 均为n 阶方阵，则两个方阵乘积的行列式等于每个方阵行列式的乘积。
即det()det det det()AB A B BA ==（证明略）例如det ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4302-3451=det⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3451det ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4302- =40)8(5=-⨯-若两个矩阵A 和B 满足AB =BA ，则称矩阵A 和B 是可交换的. 练习：.3140,2141⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A因为,1028431402141⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1028421413140BA即AB =BA ，所以，矩阵A 和B 是可交换的。
例6 设矩阵.2346,51102,6342⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C B A求AB 和AC .解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000511026342AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=000023466342AC 在例6中，显然不能从AB =AC 中消去矩阵A 而得到B =C 。
这说明矩阵乘法不满足消去律. 一般地，当乘积矩阵AB =AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A 而得到B =C 。
总之，矩阵乘法不满足交换律、消去律，但矩阵乘法与数的乘法也有相似的地方，即矩阵乘法满足下列运算规则： 运算规则：1、乘法结合律 （AB ）C =A （BC ）；2、左乘分配律 A （B +C ）=AB +AC ； 右乘分配律 （B +C ）A =BA +CA ；3、数乘结合律 k （AB ）=（kA ）B =A （kB ），其中k 是一个常数. 特别地，当A 是n 阶矩阵时，我们记AA …A =m A ，m 个m A 称为矩阵A 的m 次幂，其中m 是正整数。
当m =0时，规定0A =E 。
显然有A k A l =A k +l ，(Ak )l =A kl ，kllk A A =)(其中k ，l 是任意正整数.由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地（AB ）k ≠A k B k .例7 设矩阵,1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A求矩阵A m ，其中m 是正整数. 解： 因为，当m =2时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10221102110212A 设m = k 时，,10)1(211022110211021⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=k k k A k 则 ,10)1(2110221102110211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯==+k k k A A A k k 所以，由归纳法原理可知.1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m A m五．矩阵的转置将一个m ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 的行标和列标互换后所得的n ×m 矩阵，称为A 的转置矩阵，记作A T 或A t即.212221212111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯=mn n nm m Ta a a a a a a a a A例如：14123254563 6T⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，有时列向量用转置来表示：()121233T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭容易验证矩阵的转置满足下列运算规则：(1)（A T ）T =A ； (2)（A +B ）T =A T +B T ； (3)（kA ）T =kA T ，（k 为实数）； (4)（AB ）T =B T A T .例8 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=250110,543421,0651C B A ，求C AB T 4+ 解： C AB T 4+= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0651t⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543421+4 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛250110 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0651⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛542341+4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛250110 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1824622169+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8042040 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛26241042209 如果矩阵A =(a ij )满足：A = A T 即它的第i 行第j 列的元素与第j 行第i 列的元素相同，即a ij =a ji （i ，j =1,2,…,n ） 则称A 是对称矩阵。