分块矩阵及其运算
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§4 矩阵的分块运算
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3. 乘法 设A为m × l矩阵 , B为l × n矩阵 , 分块成 A11 L A1t B11 L B1r A= M M , B = M M , A L A B L B st s1 tr t1 其中 Ai1 , Ai 2 , L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Btj的行数 , 那么
o
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1 3 例1 设 A = 0 0 0
2 5 0 0 0
0 0 0 0 1 2 0 −1 0 0
解 把A进行分块得 1 2 , 其中A1 = 3 5 1 2 3 A2 = 0 − 1 4 . 0 0 1
且A1−1
0 0 3 , 求A−1 . 4 1 1 3 A = 0 0 0
B −1 − B −1 DC −1 . 因此 A −1 = O C −1
O A = O B−1 另外 A−1 O B O
−1
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1 0 例3 设 A = 0 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解
4 3 ; 求 A −1 2 1 1 2 3 利用分块法 A = 0 1 2 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0
B3 = [0 1 1 b].
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一、分块矩阵
总体思想：对于行数和列数较高的矩阵 中 总体思想：对于行数和列数较高的矩阵A中，为了简化 运算，在矩阵A中 用横、竖虚线， 运算，在矩阵 中，用横、竖虚线，将A分成若干 分成若干 小块，视每一块为一元素进行相应的运算， 小块，视每一块为一元素进行相应的运算，然后再 对每一小块进行相应的运算，降阶运算， 对每一小块进行相应的运算，降阶运算，此法称为 矩阵分块法。 矩阵分块法。 具体做法是：将矩阵 用若干条纵 用若干条纵、 具体做法是：将矩阵A用若干条纵、横虚线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块， 小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵 的子块，以子块 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 其中C1 = [a 1], 又如 C 2 = [0 0], a 1 0 0 0 a 0 0 C 1 C 2 A= 0 a 0 0 = C C 1 0 b 1 3 4 C 3 = 1 0 , C 4 = b 1 . 0 1 0 1 1 b 1 b
《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.13.12.5分块矩阵的定义和运算学习资料
12
1 1
02
1 1
01
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
1 0 1 0
于是
AB
1 2 1
2 4 1
0 3 3
1 13
.
2.5 分块矩阵 03 几 种 特 殊 分 块 矩 阵 的 行 列 式 和 逆 矩 阵
A1
形如
A
A2
的分块矩阵,
O
称为准对角矩阵（分
O
As
块对角矩阵）.其中 Ai (i 1,2,s) 都是方阵.
5 0 0
0 3 1
0
2
1
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
0
1
2
0
0
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
2.5 分块矩阵 03 几 种 特 殊 分 块 矩 阵 的 行 列 式 和 逆 矩 阵
准对角矩阵除了具有准三角阵的性质以外,还有：
A
As1
kA
kA11
kA1r
.
kAs1 kAsr
A1r
,
k 为一个数
Asr
由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用分块计算.
2.5 分块矩阵
02 分 块 矩 阵 的 运 算
(3) 转置
A11
A
As1
A1r
,
Asr
A1T1 则 AT
A1Tr
AsT1 .
A1
O B1
O A1B1
O
A2
O
As
B2
矩阵分块法
As1
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
分块矩阵及其运算
F
0
I
D
CF F
C
I
=
1.4 分块矩阵及其运算
然后分别计算kI,kC,I+D,D+CF,代入上面三式，得
线
k 0 k 3k
2 2 1 3
kA 0 k
2k
4k
,
A
B
2
1
2 4 性
0 0 k 0
0 0
0
k
=
WC+YB I2 , 将W 0代入 Y B1,
所以
D1
A1
0
A1CB1
B1
=
返回
线
性
谢谢观赏
代
数
=
=
矩阵X
0 C
A
0
也可逆, 且X
1
0
A1
C1
0
线
解：设X
1
B1
B3
B2 B4
,
XX
1
AB3
CB1
AB4 CB2
I1
0
0
I
2
性 代
其中I1是与A同阶的单位阵, I2为与C同阶的单位阵,
则 AB3 I1 B3 A1, AB4 0 B4 0,
B1s
B2
s
代
Bts
数
=
, Btj的行数
§4 矩阵分块法
o
o
若 Ai ≠ 0 ( i = 1, 2,L , s ) , 则 A ≠ 0,
A1−1 −1 A2 −1 . A = O −1 As
并有
o
o
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
1010
第二章 矩阵及其运算
1 0 0 1 , 4 1 2 0
A,B分快成 把A,B分快成
1 10 0 0 0 0 0 01 1 0 A = A= −1 1 2 2 1 1 − 1 1 11 0 0
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
6 6
第二章 矩阵及其运算
（2 ）设
A11 L A1r A= M M , A L A sr s1
为数， λ为数，那么
λ A11 L λ A1 r λA= M M . λA L λ Asr s1
© §4 2009, Henan Polytechnic University 矩阵分块法
A1 0 (7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 L L L L 0 L As 0 L
2.5 分块矩阵的运算
求A
1
解
2 3 A 0 0 0
3 0 0 0 6 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3 2 0 0 7 5
则
2 3 A1 3 6
A2 4
3 2 A3 7 5
A1 A
其中Aij与Bij的行数相同,
列数相同, 则
A11 B11 A1r B1r A B A B A B sr sr s1 s1
A11 A1r 2 设 A A A sr s1 为数, 则
A11 A 0
A11 0
1
A11 A12 A22 1 A22
1 1
1
A12 A11 A22 0
A11 A12 A22 1 A22
1 1
A11 A11 0
1
A11 A11 A12 A22 A12 A22 1 A22 A22
2.5 分块矩阵的运算 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵为了 简化运算，常采用分块法， 使大矩阵运算化成小矩阵的运算 具体做法是： 将矩阵A用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每个小矩阵称为
A的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵. a 1 0 0 例
0 a 0 0 A 1 0 b 1 0 1 1 b
0 0 1 b
A1 A2 A3 A4
二、分块矩阵的运算法则
1 设A与B的行数相同, 列数相同,
采用相同的分块法, 有
A11 A A s1 B11 B B s1
A1r Asr B1r Bsr
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第二章
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
A
A12
A1t
分块矩阵A的转置:
As1 As2 Ast
➢ 分块矩阵转置分两次进行:按一般元素矩阵
转置后，每个子块矩阵再转置.
AT
A1T1 A1T2
AsT1 AsT2
A1Tt
AsTt
8
1 0 0 0
1 0 1 0
例1
AB
0
1
1
10 21 10
0 1 2 0 1 0 1 1 1
0 4 2
1
1
0
E
A1
O B11
E
B21
E
B22
EB11 OB21
A1B11
EB21
EE OB22 A1E EB22
B11 A1B11
B21
E
A1
B22
而
1 2 1 0 1
A1B11 B21
a1i
,
n
i
a2i
,
i 1, 2,
,n
ami
4
例如：
A
a11 a21
a12
a22
1
2
1T
T 2
5
二、分块矩阵的运算
1.分块矩阵的加法与数乘
设矩阵A与B是同型矩阵,且分块方法也相同:
A11 A1t
A
,
As1 Ast
B11 B1t
B
Bs1 Bst
分块矩阵加法: 数乘分块矩阵:
A11 B11 A1t B1t
A
B
As1 Bs1 Ast Bst
kA11 kA1t
kA
kAs1 kAst
注:矩阵A与B有相 同的分块法
6
2.分块矩阵的乘法
设矩阵A是m×p型矩阵,B是p×n型矩阵,它们分
别分块如下:
对A的列的分法与对
A11 A1t
2)将矩阵A每一元素视为一个子块的分块矩阵;
A ( Aij )mn; Aij aij
3)将矩阵A每一行视为子块的分块矩阵,记为:
A
1T 1T
iT
行的记法可看作是列的转置
(ai1,ai2, ,ain ), i 1, 2, , m
4)将矩1T阵 A每一列视为子块的分块矩阵,记为:
A 1, 2
A1m
①
Am
A2m
Asm
② A A1 A2 As
12
③ 当A1,A2,…,AS都是方阵,且 Ai 0 (i 1,2,,s)时,A可逆
A1
A1
A2
1
A11
A21
As
As1
类似地有：
A1 1
A2
A1 s1
As1
As
A11
说明2）：做个笔记
x2
x
xn
b1
b2
b
bm
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22x2a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amnxn bm
可表为: Ax b
17
Ax b 可表为:
或A按行分块
Ax
b
β1T β2T
x
b1
b2
βmT
bn
设矩阵
A
0
1 0 0
1 2 1 0
B 1 2 0 1 1 0 4 1
1
1 0 1
1 1 2 0
1 0 0 0
若矩阵A分块为:
A
0
1
1 2
0 1
0 0
1
1 0 1
问矩阵B如何分块,才能与A右乘? 并用其中的一种分
块矩阵求AB？
解: 矩阵B的行分法只要与A的列分法相同即可:
9
1 0 1 0
T i
x
bi
(i 1, 2,
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
满足条件的B的分法 共有八种.
10
1 0 1 0
取B分块如下
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 0 0 1 0 1 0
1
1 1
2
1
0 2 4 1 1 1
1 24 1 3 3
A1 B22
1
1 2
0 3 1
1 0 AB 1 2
2 4 1 1
1 0
0
1
3 3
3
1
11
说明1) : 关于准对角矩阵的结论:
A1
称矩阵 diag ( A1
,
A2
, As
)
A
A2
为准对角矩阵
As
当Ai(i=1,2, …，s）都是方阵时，
A1
A11 O
O A21
2 0 0
5 0 0
0
0
1 3 2 3
1 3
1
3
(2) A A1 A2
14
说明3) : 分块矩阵的简单应用：
简化线性方程组的记号 设矩阵:
则方程组
a11 a12 a1n
A
.
a21
a22
a2n
;
am1
am2
amn
x1
A
,
As1 Ast
B11 B1r
B
Bt1 Btr
B的行的分法 完全一致!!!
矩阵A与B的乘积AB:
A11 A1t B11 B1r C11 C1r
As1 Ast Bt1 Btr t
Cs1 Csr
Cij Aik Bkj , i 1,2,, s; j 1,2,, r.
A C O B A B
特别的：
A O
O B
A
B
13
例2 设
5 2 0 0
A
2
1
0
0
,
0 0 1 2
0
0
1
1
求 A1和 A
5 2 0 0
解
(1) A
2
0
0
1 0 0
0 1 1
0
2
1
A1 O
O
A2
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1
3
1 1
2
1
,
1 2 0 0
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
A
A12
A1t
分块矩阵A的转置:
As1 As2 Ast
➢ 分块矩阵转置分两次进行:按一般元素矩阵
转置后，每个子块矩阵再转置.
AT
A1T1 A1T2
AsT1 AsT2
A1Tt
AsTt
8
1 0 0 0
1 0 1 0
例1
AB
0
1
1
10 21 10
0 1 2 0 1 0 1 1 1
0 4 2
1
1
0
E
A1
O B11
E
B21
E
B22
EB11 OB21
A1B11
EB21
EE OB22 A1E EB22
B11 A1B11
B21
E
A1
B22
而
1 2 1 0 1
A1B11 B21
a1i
,
n
i
a2i
,
i 1, 2,
,n
ami
4
例如：
A
a11 a21
a12
a22
1
2
1T
T 2
5
二、分块矩阵的运算
1.分块矩阵的加法与数乘
设矩阵A与B是同型矩阵,且分块方法也相同:
A11 A1t
A
,
As1 Ast
B11 B1t
B
Bs1 Bst
分块矩阵加法: 数乘分块矩阵:
A11 B11 A1t B1t
A
B
As1 Bs1 Ast Bst
kA11 kA1t
kA
kAs1 kAst
注:矩阵A与B有相 同的分块法
6
2.分块矩阵的乘法
设矩阵A是m×p型矩阵,B是p×n型矩阵,它们分
别分块如下:
对A的列的分法与对
A11 A1t
2)将矩阵A每一元素视为一个子块的分块矩阵;
A ( Aij )mn; Aij aij
3)将矩阵A每一行视为子块的分块矩阵,记为:
A
1T 1T
iT
行的记法可看作是列的转置
(ai1,ai2, ,ain ), i 1, 2, , m
4)将矩1T阵 A每一列视为子块的分块矩阵,记为:
A 1, 2
A1m
①
Am
A2m
Asm
② A A1 A2 As
12
③ 当A1,A2,…,AS都是方阵,且 Ai 0 (i 1,2,,s)时,A可逆
A1
A1
A2
1
A11
A21
As
As1
类似地有：
A1 1
A2
A1 s1
As1
As
A11
说明2）：做个笔记
x2
x
xn
b1
b2
b
bm
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1a22x2a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amnxn bm
可表为: Ax b
17
Ax b 可表为:
或A按行分块
Ax
b
β1T β2T
x
b1
b2
βmT
bn
设矩阵
A
0
1 0 0
1 2 1 0
B 1 2 0 1 1 0 4 1
1
1 0 1
1 1 2 0
1 0 0 0
若矩阵A分块为:
A
0
1
1 2
0 1
0 0
1
1 0 1
问矩阵B如何分块,才能与A右乘? 并用其中的一种分
块矩阵求AB？
解: 矩阵B的行分法只要与A的列分法相同即可:
9
1 0 1 0
T i
x
bi
(i 1, 2,
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
满足条件的B的分法 共有八种.
10
1 0 1 0
取B分块如下
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 0 0 1 0 1 0
1
1 1
2
1
0 2 4 1 1 1
1 24 1 3 3
A1 B22
1
1 2
0 3 1
1 0 AB 1 2
2 4 1 1
1 0
0
1
3 3
3
1
11
说明1) : 关于准对角矩阵的结论:
A1
称矩阵 diag ( A1
,
A2
, As
)
A
A2
为准对角矩阵
As
当Ai(i=1,2, …，s）都是方阵时，
A1
A11 O
O A21
2 0 0
5 0 0
0
0
1 3 2 3
1 3
1
3
(2) A A1 A2
14
说明3) : 分块矩阵的简单应用：
简化线性方程组的记号 设矩阵:
则方程组
a11 a12 a1n
A
.
a21
a22
a2n
;
am1
am2
amn
x1
A
,
As1 Ast
B11 B1r
B
Bt1 Btr
B的行的分法 完全一致!!!
矩阵A与B的乘积AB:
A11 A1t B11 B1r C11 C1r
As1 Ast Bt1 Btr t
Cs1 Csr
Cij Aik Bkj , i 1,2,, s; j 1,2,, r.
A C O B A B
特别的：
A O
O B
A
B
13
例2 设
5 2 0 0
A
2
1
0
0
,
0 0 1 2
0
0
1
1
求 A1和 A
5 2 0 0
解
(1) A
2
0
0
1 0 0
0 1 1
0
2
1
A1 O
O
A2
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1
3
1 1
2
1
,
1 2 0 0