第一章 矩阵_分块矩阵及其运算
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线性代数各章节内容重点难点(大一第一学期)
线性代数各章节内容重点难点(大一第一
学期)
教学难点：向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
第一章：行列式
本章主要介绍了行列式的定义、性质和运算，以及克莱姆法则的应用。
学生需要了解行列式的基本概念和性质，掌握二、三、四阶行列式的计算方法，以及简单的n阶行列式的计算方法。
此外，学生还需要理解克莱姆法则的结论，并会应用于实际问题中。
本章教学难点在于行列式性质的证明。
第二章：矩阵
本章主要介绍了矩阵的概念和各种运算及其规律，包括单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等的性质，矩阵的线性运算、乘法、转置等，以及逆矩阵、伴随矩阵、初等变换、矩阵等价、矩阵秩等概念和方法。
学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于矩阵可
逆的充分必要条件的证明，初等矩阵及其性质，以及分块矩阵及其运算。
第三章：向量
本章主要介绍了向量的概念和相关性质，包括向量组的线性相关与线性无关的概念和性质，向量组的极大线性无关组的概念，向量组的等价和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，以及向量空间、子空间、基、维数等概念和向量的内积、正交矩阵等性质。
学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，以及向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
分块矩阵及其运算
第二章
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
矩阵及其 运算
1
第二章 矩阵概念及其运算
第三节 分块矩阵(Block matrix) 及其运算
分块矩阵的概念 分块矩阵的运算 问题与思考
2
一、分块矩阵的概念
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每个小 矩阵称为A的一个子块.以这些子块为元素的形式上的矩阵 称为分块矩阵.
例如矩阵:
a11 a12 a13 a14
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 1 4 1
1 1 2 0
1 0 1 0
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
B
1 1
2 0
Байду номын сангаас
0 1 4 1
1 1 2 0
1 1 2 0
1 0 1 0
B
A a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24
a34
记为 A11
A21
其中
A11
a11 a21
a12 a22
a13 a23
;
A12
a14 a24
;
A12
A22
A21 a31 a32 a33 ;
A22 a34
3
注: 任一矩阵A有多种分块方法,较特殊的分块有:
1)将矩阵A视为一个子块的分块矩阵; A
k 1
7
3.分块矩阵的转置
设矩阵A分块如下:
A11
分块矩阵及其运算
F
0
I
D
CF F
C
I
=
1.4 分块矩阵及其运算
然后分别计算kI,kC,I+D,D+CF,代入上面三式，得
线
k 0 k 3k
2 2 1 3
kA 0 k
2k
4k
,
A
B
2
1
2 4 性
0 0 k 0
0 0
0
k
=
WC+YB I2 , 将W 0代入 Y B1,
所以
D1
A1
0
A1CB1
B1
=
返回
线
性
谢谢观赏
代
数
=
=
矩阵X
0 C
A
0
也可逆, 且X
1
0
A1
C1
0
线
解：设X
1
B1
B3
B2 B4
,
XX
1
AB3
CB1
AB4 CB2
I1
0
0
I
2
性 代
其中I1是与A同阶的单位阵, I2为与C同阶的单位阵,
则 AB3 I1 B3 A1, AB4 0 B4 0,
B1s
B2
s
代
Bts
数
=
, Btj的行数
第一章 矩阵
(c)
对称矩阵的和、差、数乘仍是对称矩阵； 反对称矩阵的和、差、数乘仍是反对称矩阵，
但：设 n 方阵 A，B 对称，则 AB 对称 ⇔ AB = BA ； 设 对称 ⇔ AB = BA ． 另: A 为任意级方阵，则 A + A′ 为对称矩阵， A − A′ 为反对称矩阵, 且 A 可表为对称矩阵与反对称矩阵之和 A =
⎛ Er ⇔ 对任意 A ∈ P m×n 都可以经过行和列的初等变换化为 ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎛ Er ⇔ 存在可逆矩阵 U ∈ F m× m ， Q ∈ F m×n ，使得 UAQ = ⎜ ⎜ 0 ⎝
3．可逆矩阵
（1）定义：设 A ∈ P n×n ，若存在 B ∈ P n×n ，使得 AB = BA = E ，则称 A 是可逆矩阵，并 称 B 是 A 的逆矩阵，记为 B = A −1 。 （2）一些性质：
a12 ⎛ b11 ⎜ ⎜b L ain )⎜ 21 L ⎜ ⎜b ⎝ n1 b12 b22
(ai1
ai 2
L
an2
L b1m ⎞ ⎟ L b2 m ⎟ = (ci1 L L⎟ ⎟ L abm ⎟ ⎠
ci 2 L cin ) ，
及其它分块方法． （ii）可逆分块矩阵的逆： ⎛ A1 ⎜ ⎜ 设A=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ A2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ，其中 Ai 为方阵，则 O ⎟ As ⎟ ⎠
A 可逆 ⇔ Ai ≠ 0, i = 1,L , s ⇔ Ai可逆, i = 1,L , s ，且
⎡ A1−1 ⎢ −1 A =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−1 A2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ As−1 ⎥ ⎦．
2
主讲：陈顺民
数学竞赛：高等代数部分
另：两个相同分法的准对角矩阵的和、积仍然是分块对角矩阵，且主 对角线上的子块是对应子块的和、积。 （iii）一般： AB ≠ BA ； ( AB ) ≠ A k B k （但不排除特殊情况）
分块矩阵的运算法则
1 a 1 1
0 0 1 1
B1 0 0 B2 b B 3 B4 b
a 0 A 1 0
1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
1 0 5 6 A11 例: A 2 8 1 7 A 0 5 4 3 21
A12 A22
1 0 T A 5 6
2 8 1 7
0 5 4 3
A T A T 12 22
A1 ABA O
O B1 A2 O O
O A1 B2 O
O A2
A1 B1 A1 O
, A2 B2 A2
a 3 a 2a 2 1 0 0 2 3 a a 0 0 a . 3 2 0 0 b 2b 2b 1 0 2 3 0 3 b b 2 b
A1r B1r . Asr Bsr
A11 A1r 2 设 A , 为数, 那末 A A s1 sr
A11 A1r A . A A s1 sr
a11 B1 a12 B2 a B a B m2 2 m1 1 a1l Bl aml Bl m1 n
⒉ 设 A (ai j )ml , B (bi j )l n
将A分成1 1块， B分成1 n块，则
AB AB1 , AB2 ,
第五节
分块矩阵
了解简化矩阵计算的这种工具 一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算法则 三、小结
分块矩阵
§2.4
1
一、矩阵的分块
对于规模较大, 零较多或局部比较特殊的矩
阵, 为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵
分割成小矩阵.在运算时, 把这些小矩阵当作元 素一样来处理.
具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2
例
a
Z Y
,
AX CW BW
AZ CY BY
E O
O E
,
AX CW E , X A1
AZ
CY BW
O, O,
Z W
A1CB 1 O
BY E .
Y B 1
因此
P 1
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
22
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
特别地， OA
| A5 | | A |5 243 ,
19
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
例3
设
A
0
1
2
0
0 , 求 A2 , | A | , | A5 | , AT .
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
解
3 0 0 0 0
A1T
0
31
0
0
AT
A2T
A3T
0
0
5 0
2 0
0 3
0
.
2
0
0
0
1
1
20
例4 设
P
A 0
C B
1
一、矩阵的分块
对于规模较大, 零较多或局部比较特殊的矩
阵, 为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵
分割成小矩阵.在运算时, 把这些小矩阵当作元 素一样来处理.
具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2
例
a
Z Y
,
AX CW BW
AZ CY BY
E O
O E
,
AX CW E , X A1
AZ
CY BW
O, O,
Z W
A1CB 1 O
BY E .
Y B 1
因此
P 1
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
22
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
特别地， OA
| A5 | | A |5 243 ,
19
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
例3
设
A
0
1
2
0
0 , 求 A2 , | A | , | A5 | , AT .
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
解
3 0 0 0 0
A1T
0
31
0
0
AT
A2T
A3T
0
0
5 0
2 0
0 3
0
.
2
0
0
0
1
1
20
例4 设
P
A 0
C B
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
分块矩阵运算法则
分块矩阵运算法则
分块矩阵运算法则是一种将大的矩阵划分成更小块矩阵进行计算的方法。
这种方法可以简化复杂矩阵的运算，并且使得计算更加高效和易于理解。
下面是分块矩阵运算法则的一些基本规则：
1. 矩阵的加法：将大矩阵划分为多个小块矩阵，然后对应位置上的小块矩阵进行加法运算。
2. 矩阵的乘法：将大矩阵划分为多个小块矩阵，然后按照乘法的定义对小块矩阵进行乘法运算。
具体地，对于两个分块矩阵A和B，它们的乘积C的每个小块矩阵C_ij可以通过以下公式计算得到：
C_ij = A_ik * B_kj
3. 矩阵的转置：对于分块矩阵的转置，只需将每个小块矩阵进行转置即可。
4. 矩阵的逆：对于分块矩阵的逆，可以使用分块矩阵求逆的公式进行计算。
具体方法会因矩阵的分块方式而有所不同。
5. 其他运算：其他矩阵的运算，如矩阵的行列式、特征值等，也可以使用分块矩阵的方式进行计算，将大矩阵划分为多个小块矩阵，然后对小块矩阵进行相应的运算。
需要注意的是，分块矩阵运算法则在划分大矩阵为小块矩阵时需要选择合适的划分方式，使得计算过程更加简单和高效。
不
同的划分方式可能会产生不同的结果。
因此，在应用分块矩阵运算法则时，需要根据具体问题和矩阵的特性选择合适的划分方式。
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分块加法 设矩阵A与矩阵B的行数和列数， 且采用相同的分块法，则
A11 A21 A= … As1 A12 … A1r B11 A22 … A2r B21 … … … ,B= … As2 … Asr Bs1 B12 … B1r B22 … B2r … … … , Bs2 … Bsr
A11+B11 A12+B12 A21+B21 A22+B22 A+B= … … As1+Bs1 As2+Bs2
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
§3 分块矩阵及其运算 一. 基本概念
在许多工程问题的矩阵计算中，由于矩 阵的阶数一般很高，因此，为了使矩阵的结 构更清楚，同时也为了利用矩阵所具有的某 些特点，常常采用分块法，将大矩阵的运算 化成一些小矩阵的运算。
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条 纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小 矩阵称为原来矩阵的子阵或子块，以这些子 块为元素所构成的矩阵称为分块矩阵。 分块矩阵。 分块矩阵
称为分块对角矩阵 准对角矩阵), 称为分块对角矩阵(或准对角矩阵), 分块对角矩阵( 其中A 其中A1, A2, …, As都是方阵. 都是方阵 方阵.
2 0 例如 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 . 2 4
三. 基本运算分块矩阵Leabharlann 着与普通矩阵相类似的运算方法和性质。
E = A 21
O E
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1
0 B11 0 1 = B 4 1 21 2 0
E B 22
E O B11 E 所以 AB = A B E 21 B 22 21 B11 E = A B +B A21 + B 22 21 21 11
O Es
得下面四个矩阵方程 (1 ) A 11 X 11 = E r A X = O (2) 11 12 (3) A 21 X 11 + A 22 X 21 = O A 21 X 12 + A 22 X 22 = E s (4) − 方程 (1 )与 (2 )两边同时左乘 A 111 , 可得
0 2
A1 A= O
故
A1 8 A = O
O A18 = O A2
8
O 8 A2
(2) 设A 是分块对角阵 , 若A的每一个子块 Ai (i = 1,2 ,L , r )都是可逆矩阵 , 则A可逆，
A1 −1 −1 且A =
QT =
, QTQ =
[q1, q2, …, qn]
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
QTQ =
q 1T q 2T q nT … … … …
[q1, q2, …, qn]
=
q1Tq1 q1Tq2 … q1Tqn q2Tq1 q2Tq2 … q2Tqn q nT q 1 q nT q 2 … q nT q n … … … …
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
分块矩阵(partitioned 分块矩阵(partitioned matrix)
1 0 0 3 6 0 1 0 2 5 0 0 1 1 4 1 4 7 0 0 2 5 6 0 0
E3 B = C O2
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
二. 常用的分块法 a11 a12 … a1n 1. a21 a22 … a2n A= am1 am2 … amn … … … … … … a11 a21 am1 … … a12 a22 am2 A = [A1, A2, …, An]. [A … … a1n a2n amn … …
− X 11 = A 111 ,
分别代入方程
(3 ), (4 ), 解得
X 12 = O
− − − X 21 = − A 221 A 21 A 111 , X 22 = A 221 .
-1 A11 O ，使AX=E 从而有 X = −1 −1 −1 − A A A A22 22 21 11 所以，A可逆，且A-1 =X。
A2 B2
. L Ar Br
3 4 例 设A = 0 0
解
4 −3 0 0
0 0 2 2
0 0 ,求 A8 . 0 2
3 令 A1 = 4
则
4 2 , A2 = 2 − 3
O A2
注:
假设A、 可以相乘 可以相乘， 假设 、B可以相乘，那么
(1) 分块矩阵的乘法即将 、B的每个 分块矩阵的乘法即将A、 的每个 子块当作矩阵的元素， 子块当作矩阵的元素，按矩阵乘 法的运算规则计算； 法的运算规则计算； (2) 为了使乘法可行，要求A的列的划分与 为了使乘法可行，要求 的列的划分与 B的行的划分完全一致，以保证分块矩 的行的划分完全一致， 的行的划分完全一致 阵可乘，且各子块间的乘法也可行； 阵可乘，且各子块间的乘法也可行； (3) A的行的划分与 的列的划分没有限制。 的行的划分与B的列的划分没有限制 的行的划分与 的列的划分没有限制。
8
1 0 例1 设 A = −1 1 计算 AB。
0 0 0 0 1 1 0 0 −1 2 , B = 1 2 1 0 0 −1 −1 1 0 1
1 0 0 1 4 1 2 0
解： 根据矩阵 A, B的特点, 将A, B分块为 : 1 0 A= −1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1
αm = [am1, am2, …, amn], [a
αm
矩阵的分块可以是任意的，具体分块方法的选 取，主要取决于问题的需要和矩阵自身的特点。
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
2. 分块对角矩阵(semi-diagonal matrix) 分块对角矩阵(semiA1 O … O O A2 … O A= …… …… , O O … As
−1
A2
. O −1 As
例
5 设 A = 0 0
5 记 A = 0 0 0 3 2
0 3 2
0 1 1
. 求 A
−1
.
解
其中
−1 1
A1 =
(5 ),
0 A1 1 = O 1 3 A2 = 2
1 −1 − 2 −1
0 2 4 1
1 0 3 3
0 1 3 1
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
4. 分块转置
A11 A21 设矩阵A 设矩阵A = … As1
A12 … A1r A22 … A2r … … … , As2 … Asr … … … … As1T As2T . … AsrT
−1 因为 A21B11 + B21 = 1 − 3 = 0
2 1 0 1 0 − 1 2 + − 1 − 1 1 4 1 0 − 2 4 + − 1 − 1 = − 1 1 2
− 1 2 4 1 3 3 + = A21 + B22 = 1 1 2 0 3 1
所以
B11 AB = A B +B 21 21 11
E = A21 + B22
O A2
1 , 1
− 1 . 3
1 则 A = , 5 1 5 −1 A 从而 = 0 0
1 A = − 2 0 0 1 − 1. 3 − 2
−1 2
例 设 A11 , A 22 分别是 r 阶 , s 阶可逆阵 , O A11 可逆 , 并求出它的逆阵 试证明分块阵 A = A A 22 21 解 设有r + s阶方阵 X , 将X按A相同的分块法
A11T A21T A12T A22T 则AT = … … A1rT A2rT
即分块矩阵转置时，即要把整个分块矩阵转置， 即分块矩阵转置时，即要把整个分块矩阵转置， 又要把其中每一个子块转置。 又要把其中每一个子块转置。
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
例如Q [q 例如Q = [q1, q2, …, qn], q11 q12 q1n q21 q22 q2n , …, qn = , 其中q , q2 = 其中q1 = … … … … q n1 q 1T q 2T q nT … … … … q n2 q 1T q 2T q nT … … qnn
X 11 X 12 分块, 分块 设 X = X X 22 21 其中X 11 , X 22分别为 r , s阶方阵 , 令AX = E