线性代数 矩阵定义和基本运算
矩阵运算的基本方法
矩阵运算的基本方法矩阵是线性代数中重要的概念之一，被广泛应用于科学、工程、计算机等领域。
矩阵的运算是矩阵在各种应用中的基础，下面将阐述矩阵的基本运算方法。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素组成的数表，常用大写字母加方括号表示：A=[a_ij]_(m×n)，(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)其中a_ij是第i行第j列的元素，称为矩阵A的（i，j）元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵加法设有两个m×n的矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，则它们的和C=A+B=[c_ij]也是一个m×n的矩阵，其中：c_ij=a_ij+b_ij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)两个矩阵相加时，要求它们的行数和列数相同。
2. 矩阵数乘设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个常数k，则它们的积kA=[ka_ij]也是一个m×n的矩阵，其中：ka_ij=k×a_ij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)3. 矩阵乘法设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个n×p的矩阵B=[b_ij]，则它们的积C=A×B=[c_ij]是一个m×p的矩阵，其中：c_ij=∑(k=1)(n)a_ik×b_kj(i=1,2,...,m;j=1,2,...,p)两个矩阵相乘时，要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，才能进行乘法运算。
4. 矩阵转置设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，则它的转置矩阵AT=[a_ji]是一个n×m的矩阵，其中AT的（i，j）元素是A的（j，i）元素。
三、矩阵运算的性质1. 矩阵加法和数乘具有交换律和结合律。
2. 矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律。
3. 对于任意矩阵A和B，下列运算都是成立的：a. (A+B)T=AT+BTb. (kA)T=kATc. (AB)T=BTAT四、应用举例1. 矩阵求逆矩阵求逆是线性代数中的重要问题之一，可以用于解线性方程组等应用中。
矩阵的定义与基本运算
矩阵的定义与基本运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如数学、物理、计算机科学等。
它是由一组数按照规定的排列方式组成的矩形阵列。
在本文中，我们将探讨矩阵的定义、基本运算以及其在实际应用中的重要性。
一、矩阵的定义矩阵可以用一个大写字母表示，如A、B等。
一个m行n列的矩阵可以表示为A=[a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。
矩阵中的每个元素a_ij都是一个实数或复数。
矩阵的行数m和列数n分别称为矩阵的维数，记作m×n。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加。
如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m×n，则它们的和记作C=A+B，其中C的维数也是m×n。
具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素与B的第i行第j列的元素之和。
2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。
如果矩阵A的维数是m×n，常数k是一个实数或复数，则kA表示将A的每个元素都乘以k得到的新矩阵。
具体而言，kA的第i行第j列的元素等于k乘以A的第i行第j列的元素。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。
如果矩阵A的维数是m×n，矩阵B的维数是n×p，则它们的乘积记作C=AB，其中C的维数是m×p。
具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素分别相乘后再相加得到的结果。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
如果矩阵A的维数是m×n，则它的转置记作A^T，维数是n×m。
具体而言，A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
三、矩阵在实际应用中的重要性矩阵在实际应用中具有广泛的重要性。
以下是矩阵在几个领域中的应用示例：1. 线性代数矩阵在线性代数中起着重要的作用。
线性方程组的求解可以通过矩阵的运算来实现。
矩阵的运算与性质
矩阵的运算与性质矩阵是线性代数中的基本概念，广泛应用于各个学科领域。
本文将介绍矩阵的运算及其性质，探讨在不同情况下矩阵的特点和应用。
一、矩阵的定义与分类1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照矩形排列的数表，由m行n列的数构成，通常用大写字母表示，如A、B等。
2. 矩阵的分类：根据行数和列数的不同，矩阵可以分为行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵等。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对应位置元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
2. 矩阵的数乘：一个矩阵的所有元素乘以一个常数。
3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
4. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T。
三、矩阵的性质和特点1. 矩阵的单位矩阵：对角线上元素为1，其余元素为0的方阵。
2. 矩阵的逆矩阵：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。
3. 矩阵的行列式：方阵A经过运算得到的一个标量值，记作det(A)或|A|，用于判断矩阵是否可逆及求解线性方程组等。
4. 矩阵的秩：矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
5. 矩阵的特征值与特征向量：对于方阵A，存在数值λ和非零向量x，使得A·x = λ·x，λ为A的特征值，x为对应的特征向量。
四、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：通过矩阵的运算和性质，可以将线性方程组表示为矩阵的形式，从而求解出方程组的解。
2. 矩阵在图像处理中的应用：利用矩阵的运算，可以对图像进行变换、旋转、缩放等操作。
3. 矩阵在经济学中的应用：使用矩阵可以模拟经济系统，进行量化分析、预测等。
总结：矩阵作为线性代数中的基本概念，具有丰富的运算规则和性质。
通过矩阵的加法、数乘、乘法、转置等基本运算，可以推导出矩阵的逆矩阵、行列式、秩、特征值等重要概念。
矩阵在不同学科领域有着广泛的应用，如线性方程组求解、图像处理、经济学分析等。
mathematics矩阵运算
mathematics矩阵运算矩阵运算是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学和金融等。
本文将一步一步地介绍矩阵的定义、基本运算、特殊类型的矩阵以及一些常见的矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，可以用方括号表示。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\a_{2,1} & a_{2,2} \\a_{3,1} & a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]其中，\[a_{i,j}\]表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵中的元素可以是实数或者复数。
二、基本运算1. 矩阵的加法和减法：两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算。
对应位置上的元素相加或相减，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于两个3行2列的矩阵\[A\]和\[B\]，它们的和\[A + B\]可以表示为：\[A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} \\a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} \\\end{bmatrix}\]2. 矩阵的标量乘法：矩阵可以与一个实数或者复数进行乘法运算，我们称之为标量乘法。
将矩阵中的每一个元素与标量相乘，得到的结果矩阵具有相同的大小。
例如，对于一个3行2列的矩阵\[A\]和一个标量\[k\]，它们的乘积\[k \cdot A\]可以表示为：\[k \cdot A =\begin{bmatrix}k \cdot a_{1,1} & k \cdot a_{1,2} \\k \cdot a_{2,1} & k \cdot a_{2,2} \\k \cdot a_{3,1} & k \cdot a_{3,2} \\\end{bmatrix}\]3. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是定义在两个矩阵之间的运算，它不同于矩阵加法和减法。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数学科中的基础工具，这是因为矩阵可以用来表示线性变换和线性方程组。
对于矩阵的基本概念与运算，我们需要从以下几个方面来分析。
一、矩阵的基本概念1、定义与记法矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B、C等。
其中，阵列中的m表示矩阵的行数，n则表示矩阵的列数。
因此，一个m行n列的矩阵可以写成：$A_{m×n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}& \cdots&a_{mn}\\\end{bmatrix}$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。
2、矩阵的类型按照元素类型可以将矩阵分为实矩阵、复矩阵和布尔矩阵等。
按照矩阵的形状，矩阵可以分为方矩阵、长方矩阵和列矩阵等。
二、矩阵的基本运算1、矩阵的加法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{m×n}$，它们对应位置相加的结果记作 $C=A+B$，则：$C_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$2、矩阵的数乘假设有一个矩阵 $A_{m×n}$ 和一个数 $\lambda$，则它们的乘积记作 $B=\lambda A$，则：$B_{ij}=\lambda A_{ij}$3、矩阵的乘法假设有两个矩阵 $A_{m×n}$ 和 $B_{n×p}$，它们的乘积记作$C=AB$，则：$C_{ij}=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$矩阵乘法需要满足结合律，但不满足交换律，也就是说，$AB$ 与 $BA$ 不一定相等。
线性代数中矩阵的基本概念与运算
线性代数中矩阵的基本概念与运算线性代数是数学中的一个分支，其中矩阵的概念和运算是非常基本的。
本文将简单介绍矩阵的基本概念和运算。
矩阵的基本概念矩阵是一个方形或长方形的数表，其中的数被排列在行和列中。
一个矩阵通常用大写字母来表示，如下所示：$$A =\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{bmatrix}$$其中 $m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数，$a_{i,j}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
对于一个 $m \times n$ 的矩阵，我们可以简单地把它看做是$n$ 个列向量的组合，每个列向量是一个 $m$ 维的向量。
也就是说，$A$ 可以被写成如下形式：$$A = [a^{(1)}, a^{(2)}, \cdots, a^{(n)}]$$其中 $a^{(i)}$ 表示矩阵 $A$ 的第 $i$ 列向量。
矩阵的加法和减法两个同规格的矩阵可以进行加法和减法运算。
对于两个 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的和可以表示为：$$C = A + B =\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n} \\a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}+b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}+b_{m,1} & a_{m,2}+b_{m,2} & \cdots &a_{m,n}+b_{m,n}\end{bmatrix}$$同理，它们的差可以表示为：$$D = A - B =\begin{bmatrix}a_{1,1}-b_{1,1} & a_{1,2}-b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}-b_{1,n} \\a_{2,1}-b_{2,1} & a_{2,2}-b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}-b_{2,n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m,1}-b_{m,1} & a_{m,2}-b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}-b_{m,n}\end{bmatrix}$$需要注意的是，在进行矩阵加法和减法运算时，这些矩阵必须是同规格的，也就是说它们的行数和列数都必须相等。
矩阵的概念和计算
矩阵的概念和计算矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学等。
本文将详细介绍矩阵的概念，以及矩阵的基本运算和计算方法。
一、矩阵的概念矩阵是由数个数按一定的规律排列成的长方形阵列。
矩阵由m行n列元素组成，可以表示成一个m×n的形式。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
每个元素在矩阵中由其所在的行号和列号来确定。
例如，一个3×2的矩阵可以表示为：A = [a11, a12;a21, a22;a31, a32]其中，a11, a12, a21, a22, a31, a32分别表示矩阵A中的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应元素相加，要求两个矩阵具有相同的行数和列数。
例如，对于两个3×2的矩阵A和B，其加法可以表示为：C = A + B = [a11 + b11, a12 + b12;a21 + b21, a22 + b22;a31 + b31, a32 + b32]2. 矩阵的减法矩阵的减法是指对应元素相减，同样需要两个矩阵具有相同的行数和列数。
例如，对于两个3×2的矩阵A和B，其减法可以表示为：C = A - B = [a11 - b11, a12 - b12;a21 - b21, a22 - b22;a31 - b31, a32 - b32]3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个常数。
例如，对于一个3×2的矩阵A和一个常数k，其数乘可以表示为：B = kA = [ka11, ka12;ka21, ka22;ka31, ka32]4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指满足前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数的情况下，将相应的元素相乘再相加得到新的矩阵。
例如，对于一个m×n 的矩阵A和一个n×p的矩阵B，其乘法可以表示为：C = AB = [c11, c12, ..., c1p;c21, c22, ..., c2p;...cm1, cm2, ..., cmp]其中，cij表示矩阵C中第i行第j列的元素，其计算方法为：cij = a[i1]b[1j] + a[i2]b[2j] + ... + a[in]b[nj]三、矩阵的计算方法1. 矩阵的转置矩阵的转置指的是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵与行列式
大学数学易考知识点线性代数中的矩阵与行列式大学数学易考知识点：线性代数中的矩阵与行列式在大学数学中，线性代数是一门重要的基础课程，其中矩阵与行列式是其核心内容之一。
掌握了矩阵与行列式的基本概念和操作方法，对于理解和应用线性代数具有极大的帮助。
本文将介绍线性代数中矩阵与行列式的相关知识点，帮助理清概念、加深理解，并为后续的学习奠定基础。
一、矩阵的基本概念与运算1. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列的数字按一定顺序排成的一个矩形阵列。
其常用表示形式为：A = [aij]m×n = |a11 a12 .. a1n||a21 a22 .. a2n||... ... .. ... ||am1 am2 .. amn|其中，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算（1）矩阵的加法：若A = [aij]m×n，B = [bij]m×n为两个m×n矩阵，则矩阵A与B的和为C = [cij]m×n，其中cij = aij + bij。
（2）矩阵的数乘：若A = [aij]m×n为一个m×n矩阵，k为任意实数，则kA = [kaij]m×n。
（3）矩阵的乘法：若A = [aij]m×p为一个m×p矩阵，B = [bij]p×n为一个p×n矩阵，则矩阵A与B的乘积为C = [cij]m×n，其中cij =∑(k=1→p) aikbkj。
二、行列式的基本概念与性质1. 行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数。
对于一个n阶方阵A = [aij]n×n，其行列式记为|A|或det(A)，定义为：|A| = ∑(s∈Sn) (sgn(s)·a1s(1)·a2s(2)·...·ans(n))其中，Sn为全排列的集合，sgn(s)为排列s的逆序数的(-1)^k次方。
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Bn
例
设
A
=
⎛1
⎜⎜⎝
2 3
⎞ ⎟⎟⎠
,B
=
⎛⎜⎝1
1 2
C 1
3
⎞ ⎟⎠
,
C
=
AB
求：
n
又如
⎡0 1 1 1⎤
A
=
⎢⎢1 ⎢0
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
,
⎢⎣1 0 1 0⎥⎦
⎡2 1 1 0⎤
1
4
A2 = ⎢⎢0 1 1 1⎥⎥ .
⎢1 0 0 0⎥
2
3
⎢⎣0 2 1 1⎥⎦
则 A2 表示从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线的条数
第一章：矩阵
1. 矩阵的概念 2. 矩阵的运算 3. 方阵的行列式及其性质 4. 初等变换与矩阵的秩 5. 初等矩阵与逆矩阵 6. 分块矩阵
第一章
1
矩阵的概念－－实际问题的表示
• 例1：四个城市A, B, C, D之间的航线如图
所示： A
B
C
D
通常可以用一个数表来表示上述航线情况：
进
港
A
B
C
D
A0 1 1 1
C = A B m×n
m×s s×n
如果 m＝1，n＝1时
AB= BA=
(a1, a2 ,
⎛b1 ⎞
⎜⎜b2
⎟ ⎟
(a1,
⎜⎝bs ⎟⎠
, a2 ,
as
)⎜⎜⎛bb12
⎜⎝bs
, as
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
)
s
∑ = aibi i =1
一个数， 一般不写为矩阵
=(cij )s×s S阶方阵
=biaj
几个例题
它们统称为梯形阵
⎛ 1 0 0 0 0⎞
⎜ ⎜
−9
6
0
0
0
⎟ ⎟
⎜ 1 2 3 0 0⎟
⎜ ⎝
5
2
3
3
0
⎟ ⎠
⎜⎛1 2 3 4 5⎟⎞ ⎜0 0 7 8 0⎟ ⎜⎝0 0 0 0 0⎟⎠
上阶梯阵
下阶梯矩阵
⎜⎛ 0 0 0 0⎟⎞ ⎜1 0 0 0⎟ ⎜⎝ 2 2 0 0⎟⎠
⎜⎛ 5 7 0 12 3⎟⎞
A0 = E Ak+l = Ak Al
( AB)k ≠ Ak B k
问题
( AB)k
=
Ak Bk 成立的
条件?
如果 AB=BA 那么有关的因式分解成立 AB=BA
( A + B)2 = A2 + 2 AB + B2
( A + B)n = An + Cn1 An−1B +
C n−1 n
AB n −1
+
k = 1 A k = −1 − A 1A = A oA=O
k(lA) = (kl) A,(k + l) A = kA + lA,
k( A + B) = kA + kB
结论：矩阵与数的线性结构相似
矩阵的乘法
{y 1 y2
=a x +a x
11 1
12 2
=a x +a x
21
A
1
=
⎜⎜⎝⎛
a22 11
2.对角阵
Λ
=
⎛ ⎜ ⎜⎝
a11
记： Λ = diag{a11, a22 ,
, ann}
0⎞ 0 ⎟⎟⎠
⎞ ⎟ ann ⎟⎠
3.数量阵
⎛k A = ⎜⎜⎝
记： A = diag{k , k ,
⎞ k ⎟⎟⎠ , k}
4.单位阵
⎛1
⎞
En = ⎜⎜⎝
1⎟⎟⎠
记： En = diag{1,1, ,1}
⎧
ax 11 1
+a x 12 2
+
⎪⎪ ⎨
ax 21 1
+
ax 22 2
+
⎪
⎪⎩a
m1
x 1
+
ax m2 2
+
+a x =b
1n n
1
+a x =b
2n n
2
+a x =b
mn n
m
系数排成一个矩形数表
⎜⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜⎜⎝ am1 am2
a1n ⎟⎞
这就是 矩阵
a2n ⎟
构成的矩阵.
可换矩阵
设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的.
例设
A
=
⎡1 ⎢⎣1
2⎤ −1⎥⎦
,
B
=
⎡a ⎢⎣ 3
b⎤ 2⎥⎦ .
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 . 解 由于 AB = BA ，即
⎡1 ⎢⎣1
2 ⎤ ⎡a −1⎥⎦ ⎢⎣3
b⎤ 2⎥⎦
=
⎡a ⎢⎣ 3
( a 21 b11
+a b 12 22
+ a22b21
+ a b )t 13 32 2
+ a b23 31 )t1
+
⎪⎪⎩
(a b21 12 + a b 22 22 + a23b32 )t2
B= ⎜⎛ b11 ⎜ b21 ⎜⎝ b31
b12 ⎟⎞ b22 ⎟ b32 ⎟⎠
⎜⎜⎝⎛
a 11
a 21
时,称矩阵为方阵。
⎜⎜⎝ an1
a n2
主对角线
a1n ⎟⎞
a 2n
⎟
⎟
a nn
⎟⎟⎠
矩阵的应用—方便表示
1. 坐标变换－－线性函数 例 1 在平面上建立直角坐标系. (1)将平面上每个点P绕原点 向逆时针方向旋转角α到点P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P'的 坐标(x',y')之间的函数关系式.
a 12
a 22
a 13
a 23
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛
b11 b21 b31
⎜⎜⎝⎛
ab 11 11
ab 21 11
+ +
ab 12 21
ab 22 21
+ +
ab 13 31
ab 23 31
b12 ⎟⎞
b22 ⎟ b32 ⎟⎠
=
C
= (cij ) =
ab 11 12
ab 21 12
+ +
ab 12 22
a 21
2
+a
13
+
a
a23
12
a 22
xx3aa3 与1233 ⎟⎟⎠⎞⎪⎩⎪⎨⎧
x1 x2 x3
= = =
b11t1 b21t1 b31t1
+ b12t2 + b22t2 + b32t2
⎧ ⎪
y 1
=
(a b 11 11
+a b 12 21
+
a b )t 13 31 1
+
⎪⎪ ⎨ ⎪
y2
=
(a b 11 12
ab 22 22
+ +
ab 13 32
ab 23 32
⎟⎟⎠⎞
引入求和记号 ∑
n
∑ xi = x1 + x2 +
i =1
+ xn
mn
nm
∑ ∑ aij = ∑ ∑ aij
i=1 j=1
j=1 i=1
n
= ∑xj j =1
双重求和号 连写
可以交换顺序
则
3
∑ cij = aikbkj (i, j = 1, 2) k =1
• 解 设原点O到P的距离|OP|=r, 由射线OX(即x
轴正方向) 到OP所成的角
则
|OP'|=|OP|=r, x=rcosθ, y=rsinθ.
• x'=rcos(θ+α)
•
=rcosθcosα-rsinθsinα
•
=xcosα-ysinα
• y'=rsin(θ+α)
•
=rcosθsinα+rsinθcosα
一般地，有
A = (aij )m×s
B
=
(b ij
) s×n
C = AB = (cij )m×n
⎜⎛b1j ⎟⎞
cij = (ai1 ai2
ais )
⎜b2j ⎟ ⎜⎟
⎜⎜⎝ bsj ⎟⎟⎠
∑ c = a b + a b + + a b ij
i1 1 j
i2 2 j
s
is sj = aikbkj
k =1
若 f (x) = am xm + am−1xm−1 + a1x + a0 为 x的多项式
则 f ( A) = am Am + am−1Am−1 + a1A + a0En 为A的多项式
如果 g( A) = bs As + bs−1As−1 + b1A + b0En
显然 f ( A)g( A) = g( A) f ( A) ？
−A= −a ij m×n
显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
A+O=O+A=A A+(-A)=(-A)+A=O
3.数乘运算
⎜⎛
ka 11