线性代数_ 矩阵及其基本运算_
矩阵及其运算
矩
阵
§1 矩阵的概念及其基本运算 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数 定义2.1 由m×n个数aij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成 中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论
的m行n列的数表 矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是逆矩阵
a11 a12 ... a1n 的计算和矩阵方程的求解。 a21 a22 ... a2 n ... ... ... ... am1 am 2 ... amn
A=B. 两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同 而且对应的元素完全相等.
二、加法 设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n, 则矩阵C=(cij)m×n (其中cij =aij+bij , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) 称为A与B的和记作A+B.
即
a11 b11 a 21 b21 AB ... a b m1 m1 a12 b12 a 22 b22 ... a m 2 bm 2 a1n b1n ... a 2 n b2 n ... ... ... a mn bmn ...
a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n b11 b12 b ... a2 n 21 b22 ... ... ... ... ... amn bn1 bn 2 ... b1 p c11 c12 ... b2 p c21 c22 ... ... ... ... ... bnp cm1 cm 2
定义2.2 对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使 AB=BA=E
则称方阵A是可逆的，且称B是A的逆矩阵，记为B=A－1。 可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.
线性代数 矩阵定义和基本运算
Bn
例
设
A
=
⎛1
⎜⎜⎝
2 3
⎞ ⎟⎟⎠
,B
=
⎛⎜⎝1
1 2
C 1
3
⎞ ⎟⎠
,
C
=
AB
求：
n
又如
⎡0 1 1 1⎤
A
=
⎢⎢1 ⎢0
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
,
⎢⎣1 0 1 0⎥⎦
⎡2 1 1 0⎤
1
4
A2 = ⎢⎢0 1 1 1⎥⎥ .
⎢1 0 0 0⎥
2
3
⎢⎣0 2 1 1⎥⎦
则 A2 表示从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线的条数
第一章：矩阵
1. 矩阵的概念 2. 矩阵的运算 3. 方阵的行列式及其性质 4. 初等变换与矩阵的秩 5. 初等矩阵与逆矩阵 6. 分块矩阵
第一章
1
矩阵的概念－－实际问题的表示
• 例1：四个城市A, B, C, D之间的航线如图
所示： A
B
C
D
通常可以用一个数表来表示上述航线情况：
进
港
A
B
C
D
A0 1 1 1
C = A B m×n
m×s s×n
如果 m＝1，n＝1时
AB= BA=
(a1, a2 ,
⎛b1 ⎞
⎜⎜b2
⎟ ⎟
(a1,
⎜⎝bs ⎟⎠
, a2 ,
as
)⎜⎜⎛bb12
⎜⎝bs
, as
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
)
s
∑ = aibi i =1
一个数， 一般不写为矩阵
=(cij )s×s S阶方阵
线性代数课程大纲
线性代数课程大纲一、课程介绍线性代数是一门重要的基础数学课程，它研究的是向量空间、线性变换等概念及其代数表达与计算方法。
本课程旨在帮助学生掌握线性代数的基本理论和方法，培养学生的抽象思维和解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 了解线性代数的基本概念和性质，包括向量、矩阵、线性方程组等；2. 掌握线性代数的基本运算法则和矩阵的性质；3. 熟练运用线性代数方法解决实际问题；4. 培养学生的抽象思维和逻辑推理能力；5. 培养学生的团队合作和沟通能力。
三、课程内容1. 向量空间1.1 向量的定义及其运算法则1.2 向量空间的概念与性质1.3 线性相关与线性无关1.4 基与维数2. 矩阵与矩阵运算2.1 矩阵的定义及其运算法则2.2 线性方程组与矩阵的关系2.3 矩阵的行列式和逆矩阵3. 线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质3.2 特征值和特征向量的概念与计算3.3 相似矩阵和对角化4. 线性空间的正交性与最小二乘法4.1 正交基与正交投影4.2 最小二乘法的概念与应用4.3 欧氏空间与内积的性质5. 特殊矩阵与特殊线性方程组5.1 对称矩阵与二次型5.2 线性方程组的矩阵形式与解法5.3 基本概念与重要性质四、教学方法1. 理论讲授：从基本概念出发，逐步引入相关性质和运算法则的讲解；2. 示例演练：通过实例分析和计算练习，巩固学生的理论掌握能力；3. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，促进思维和交流；4. 编程实践：借助计算机编程软件，进行线性代数相关问题的编程实验。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与、作业完成情况等，占总评成绩的20%；2. 期中考试：对课程前半部分的理论知识进行考核，占总评成绩的30%；3. 期末考试：对整个课程内容进行综合考核，占总评成绩的50%；六、参考教材1. 《线性代数及其应用》，David C. Lay著；2. 《线性代数导论》，Sebastian Gross, Jay Hill, Isaac Lavendel著；3. 《线性代数与其应用》，朱杰民,胡文苑,徐伟治著。
线性代数基础知识
线性代数基础知识导言：线性代数是现代数学的重要分支之一，广泛应用于数学、物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍线性代数的基本概念、运算规律和应用，以帮助读者建立对线性代数的基础知识。
一、向量与向量空间1.1 向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对或矩阵形式表示。
向量的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
1.2 向量空间的定义与性质向量空间是由一组向量和运算规则构成的数学结构，包括加法和数量乘法运算。
向量空间满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、分配律以及零向量和负向量的存在等性质。
二、矩阵与线性方程组2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由一组数按照矩形排列组成的数学对象，可以表示为一个二维数组。
矩阵的加法与数量乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
2.2 线性方程组的表示与求解线性方程组可以用矩阵和向量表示，形式为Ax=b。
其中，A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
线性方程组的解可以通过消元法、矩阵的逆或行列式等方法求得。
三、线性变换与特征值特征向量3.1 线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数量乘法运算。
线性变换满足加法封闭性、乘法封闭性和保持零向量不变等性质。
3.2 特征值与特征向量线性变换的特征值和特征向量是线性变换的重要性质。
特征值为标量，特征向量为非零向量，满足Av=λv。
其中，A为线性变换的矩阵表示，λ为特征值，v为对应的特征向量。
四、内积空间与正交性4.1 内积空间的定义与性质内积空间是一个向量空间，具有额外定义的内积运算。
内积满足对称性、线性性、正定性和共轭对称性等性质。
4.2 正交性与正交基在内积空间中，若两个向量的内积为零，则它们互为正交。
正交基是一个向量空间中的基，其中任意两个基向量互相正交。
五、特殊矩阵与特殊向量5.1 对称矩阵与正定矩阵对称矩阵是满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置矩阵。
线性代数矩阵的运算
3 2 1 2
4 ?? 1? ? 1?? 1?
??? 5 6 7 ??
? ?10 2 ? 6?.
??? 2 17 10??
BG
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注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘 .
２、矩阵乘法的运算规律
?1??AB?C ? A?BC ?;
? ? ? ?2?A?B ? C ?? AB ? AC, ?B ? C ?A ? BA? CA;
第二节 矩阵的计算
一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、 矩阵转置 五、方阵的行列式 六、 共轭矩阵 七、矩阵的应用
BG
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一、矩阵的加法
１、定义
?? ? ? 设有两个 m ? n 矩阵
A 与 B 的和记作 A ?
AB，? 规a定ij ,为B
?
bij
, 那么矩阵
?3? ?A?B ? ? A?B ? A? B? （其中 ? 为数）;
注意 矩阵乘积一般不满足交换律
例 设 A ? ?? 1 1 ?? B ? ?? 1 ? 1??
?? 1 ? 1?
?? 1 1 ?
BG
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则
AB ? ??0 ?0
?? a11 ? b11
a12 ? b12 ?
A?
B
?
? ?
a 21 ? ?
b21
a 22 ? b22 ?
?
?
???a m1 ? bm1 a m2 ? bm 2 ?
a1n ? b1n ?? a 2n ? b2n ?
?? a mn ? bmn ???
BG
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《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
《矩阵及其运算 》课件
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。
矩阵的运算与初等变换
基本列向量，则
a11
Ae j
a21
a1 j
a2 j
a1n
a2n
0
1
a1 j a2 j
am1 amj
amn
0
amj
➢ 可见当
§2 矩阵的运算
A=(aij)m×n，则EmA=AEn=A.
§2 矩阵的运算
➢ 运算规律 ➢ (1)设A=(aij)m×s， B=(bij)s×k， C=(Cij)k×n， 则A(BC)=(AB)C ；
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
➢ 注：只有同型矩阵才能相加.
§2 矩阵的运算
➢ 定义 m×n矩阵-A=(-aij)称为矩阵A=(aij)的负矩阵. 两个m×n矩阵A=(aij),B=(bij)的差记为A-B，规定 A-B=A+(-B)，即
➢ 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向 量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其 线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵 等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的 理论基础。
§1 矩阵与向量的概念
➢ 本节教学内容 ➢ 1.矩阵的概念 ➢ 2.同型矩阵与矩阵相等的概念 ➢ 3. 几种特殊的矩阵 ➢ 4. 矩阵的应用 ➢ 5. 向量的概念
线性代数 第一章
第一章 矩阵的运算与初等变换
➢ 本章教学内容 ➢ §1 矩阵与向量的概念 ➢ §2 矩阵的运算 ➢ §3 分块矩阵及矩阵的分块运算 ➢ §4 几种特殊的矩阵 ➢ §5 矩阵的初等变换
第一章 矩阵的运算与初等变换