线性方程组与矩阵

高代小练习 专业课研究部 一、填空题

1．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n ，则方程组的基础解系由_n-r__个解向量组成．

2．向量组123,,ααα线性无关，则122331(,,)rank αααααα+++=__3____.

3．设向量组12,,,r βββ 可以由向量组12,,,s ααα 线性表出.如果向量组12,,,r βββ 线性无关，则r __<=___s （填大小关系）.

4.在数域K 上的4维向量空间K 4内，给定向量组α1

=（1，-3，0，2）α2

=（-2，1，1，1）α3

=（-1，-2，

1，3），则此向量组的秩是_2____.

5.若V={(a+bi ，c+di)|a,b,c,d 属于R},则V 对于通常的加法和数乘，在复数域上是__2____维的，而在实数域上是__4_____维的.

6.设线性方程组AX=0的解都是线性方程组BX=0的解，则秩A ⎽>=⎽⎽秩B.

7.设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是)0(≠=b b AX 的解向量，则 =+++t λλλ 21______。

8.设任意一个ｎ维向量都是齐次线性方程組0=AX 的解向量，则=)(A r ______。 9.已知321,,ααα是齐次方程组0=AX 的基础解系，那么基础解系还可以是______. (A) 332211αααk k k ++ (B) 133221,,αααααα+++ (C) 3221,αααα-- (D) 233211,,αααααα-+-

10.在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求

21V V ⋂=_原点____，和21V V ⋃=_整个空间R 3

____。

二．解答题

1.在4维向量空间中，

（1）求基

到基

的过渡矩阵。

（2）求关于基的坐标。

解：（1）因为

所以

到

的过渡矩阵为：

，即有

（2）显然有，

即关于基的坐标为，

从而

关于基

的坐标为：

2.求基础解系

⎪⎩⎪

⎨⎧=+--=-+-=+--0

320304321

43214321x x x x x x x x x x x x 解：

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛------=00

02100

101132

1

13111

1111A 取⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0142x x 基础解系 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111η ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=12012η

3．设三维向量空间V 的线性变换σ在基321,,εεε下的矩阵是

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=3332

31

232221

131211

a a a a a a a a a A 1）求σ在基123,,εεε下的矩阵；

2）求σ在基321,,εεεk 下的矩阵，其中F k ∈≠0； 3）求σ在基3221,,εεεε+下的矩阵．

三．证明题

1.(1）若向量组n αα 1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。 (2）若向量组n αα 1中部分向量线性相关，则向量组n αα 1必线性相关

解：（1）n αα 1线性无关，r αα 1是其部分向量组，若存在不全为0的数r k k 1使011=++r r k k αα 则取021=++=++n r r k k k ，则000111=++++++n r r r k k αααα ，则可知n αα 1线性相关矛盾，所以r αα 1必线性无关。

（2）已知r αα 1是向量组中n αα 1中的部分向量，且线性相关即r k k 1 不全为0，使011=++r r k k αα ，取0

1===+n r k k ，于是有不全为0

的0

01 r k k ，使

000111=++++++n r r r k k αααα 即n αα 1线性相关。

2.设σ是数域F 上的向量空间V 的线性变换，i ξ是σ的属于本征值i λ的本征向量，121,2,,,,,,k i k λλλ= 互不相同。若W 是σ的不变子空间，且12k W ξξξ+++∈ ,则

12,,,k W ξξξ∈ ，进而W 的维数W k ≥。

证 对k 用数学归纳法 当1k =时，1W ξ∈结论成立

设1k >，对1k -结论成立。考虑k 情形。

由于12k W ξξξ+++∈ ，12()k W σξξξ+++∈ 可知 1212(),()k k k W W

λξξξσξξξ+++∈+++∈ ，

即

12

,k k k

k

W W λξλξλξλξλξλξ+++∈+++∈ 因而112211()()()k k k k k W λλξλλξλλξ---+-++-∈ ，令()j j k j ηλλξ=--，则(0)j η≠是σ的属于本征值i λ的本征向量1,2,,1j k =- ，而121k W ηηη-+++∈ ,由归纳知j W η∈, 1,2,,1j k =- 再由12k W ξξξ+++∈ ，可知k W ξ∈。

3.设c ∈n M (F),f(x),g(x)∈F[x] ,且（f(x),g(x)）=1.令w ,1w ,2w 分别为奇次线性方程组f(c)g(c)x=0,f(c)x=0,g(c)x=0的解空间.求证w =1w ⊕2w 证明: (f(x),g(x))=1

∴∃u(x),v(x)∈F[x],使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

因而 u(c)f(c)+v(c)g(c)=n I

任取，β∈w ，β=u(c)f(c)β+v(c)g(c)β

β∈w ⇒f(c)g(c)β=0⇒

⎨⎧0= c)v(c)f(c)g(0

= c)u(c)f(c)g(ββ⇒⎩⎨

⎧∈⇒∈⇒1

2;w v(c)g(c)0= g(c) v(c)f(c)w u(c)f(c)0= f(c) u(c) g(c)ββββ.

这说明

w w ⊆+2w .至于21w w +w ⊆是显然的，所以=w 21w w +

任取21w w +∈α.α∈1w ⇒f(c)α=0; α∈2w ⇒g(c)α=0，故α=u(c)f(c)α+v(c)g(c)α=u(c).0+ v(c).0=0

，这说明21w w ⋂={0} 因此w =1w ⊕2w 4．在向量空间33⨯F 中，设

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=b a

c a c b

c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=a c

b c b a

b a

c B ，⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=c b

a b a c

a c b

C 证明：A ，B ，C 彼此此相似．

5.证明：dim ()dim(ker )V σσ+=σ的秩

解答见课本271习题5.