线性方程组与矩阵

高代小练习 专业课研究部 一、填空题
1．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n ，则方程组的基础解系由_n-r__个解向量组成．
2．向量组123,,ααα线性无关，则122331(,,)rank αααααα+++=__3____.
3．设向量组12,,,r βββ 可以由向量组12,,,s ααα 线性表出.如果向量组12,,,r βββ 线性无关，则r __<=___s （填大小关系）.
4.在数域K 上的4维向量空间K 4内，给定向量组α1
=（1，-3，0，2）α2
=（-2，1，1，1）α3
=（-1，-2，
1，3），则此向量组的秩是_2____.
5.若V={(a+bi ，c+di)|a,b,c,d 属于R},则V 对于通常的加法和数乘，在复数域上是__2____维的，而在实数域上是__4_____维的.
6.设线性方程组AX=0的解都是线性方程组BX=0的解，则秩A ⎽>=⎽⎽秩B.
7.设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是)0(≠=b b AX 的解向量，则 =+++t λλλ 21______。

8.设任意一个ｎ维向量都是齐次线性方程組0=AX 的解向量，则=)(A r ______。

9.已知321,,ααα是齐次方程组0=AX 的基础解系，那么基础解系还可以是______. (A) 332211αααk k k ++ (B) 133221,,αααααα+++ (C) 3221,αααα-- (D) 233211,,αααααα-+-
10.在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求
21V V ⋂=_原点____，和21V V ⋃=_整个空间R 3
____。

二．解答题
1.在4维向量空间中，
（1）求基
到基
的过渡矩阵。

（2）求关于基的坐标。

解：（1）因为
所以
到
的过渡矩阵为：
，即有
（2）显然有，
即关于基的坐标为，
从而
关于基
的坐标为：
2.求基础解系
⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=-+-=+--0
320304321
43214321x x x x x x x x x x x x 解：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛------=00
02100
101132
1
13111
1111A 取⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0142x x 基础解系 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111η ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=12012η
3．设三维向量空间V 的线性变换σ在基321,,εεε下的矩阵是
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a A 1）求σ在基123,,εεε下的矩阵；
2）求σ在基321,,εεεk 下的矩阵，其中F k ∈≠0； 3）求σ在基3221,,εεεε+下的矩阵．
三．证明题
1.(1）若向量组n αα 1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。

(2）若向量组n αα 1中部分向量线性相关，则向量组n αα 1必线性相关
解：（1）n αα 1线性无关，r αα 1是其部分向量组，若存在不全为0的数r k k 1使011=++r r k k αα 则取021=++=++n r r k k k ，则000111=++++++n r r r k k αααα ，则可知n αα 1线性相关矛盾，所以r αα 1必线性无关。

（2）已知r αα 1是向量组中n αα 1中的部分向量，且线性相关即r k k 1 不全为0，使011=++r r k k αα ，取0
1===+n r k k ，于是有不全为0
的0
01 r k k ，使
000111=++++++n r r r k k αααα 即n αα 1线性相关。

2.设σ是数域F 上的向量空间V 的线性变换，i ξ是σ的属于本征值i λ的本征向量，121,2,,,,,,k i k λλλ= 互不相同。

若W 是σ的不变子空间，且12k W ξξξ+++∈ ,则
12,,,k W ξξξ∈ ，进而W 的维数W k ≥。

证 对k 用数学归纳法 当1k =时，1W ξ∈结论成立
设1k >，对1k -结论成立。

考虑k 情形。

由于12k W ξξξ+++∈ ，12()k W σξξξ+++∈ 可知 1212(),()k k k W W
λξξξσξξξ+++∈+++∈ ，
即
12
,k k k
k
W W λξλξλξλξλξλξ+++∈+++∈ 因而112211()()()k k k k k W λλξλλξλλξ---+-++-∈ ，令()j j k j ηλλξ=--，则(0)j η≠是σ的属于本征值i λ的本征向量1,2,,1j k =- ，而121k W ηηη-+++∈ ,由归纳知j W η∈, 1,2,,1j k =- 再由12k W ξξξ+++∈ ，可知k W ξ∈。

3.设c ∈n M (F),f(x),g(x)∈F[x] ,且（f(x),g(x)）=1.令w ,1w ,2w 分别为奇次线性方程组f(c)g(c)x=0,f(c)x=0,g(c)x=0的解空间.求证w =1w ⊕2w 证明: (f(x),g(x))=1
∴∃u(x),v(x)∈F[x],使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.
因而 u(c)f(c)+v(c)g(c)=n I
任取，β∈w ，β=u(c)f(c)β+v(c)g(c)β
β∈w ⇒f(c)g(c)β=0⇒
⎨⎧0= c)v(c)f(c)g(0
= c)u(c)f(c)g(ββ⇒⎩⎨
⎧∈⇒∈⇒1
2;w v(c)g(c)0= g(c) v(c)f(c)w u(c)f(c)0= f(c) u(c) g(c)ββββ.
这说明
w w ⊆+2w .至于21w w +w ⊆是显然的，所以=w 21w w +
任取21w w +∈α.α∈1w ⇒f(c)α=0; α∈2w ⇒g(c)α=0，故α=u(c)f(c)α+v(c)g(c)α=u(c).0+ v(c).0=0
，这说明21w w ⋂={0} 因此w =1w ⊕2w 4．在向量空间33⨯F 中，设
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=b a
c a c b
c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=a c
b c b a
b a
c B ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=c b
a b a c
a c b
C 证明：A ，B ，C 彼此此相似．
5.证明：dim ()dim(ker )V σσ+=σ的秩
解答见课本271习题5.。