线性方程组的矩阵求法.
线性方程组的求解方法
线性方程组的求解方法线性方程组是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、工程学等。
解决线性方程组的问题，对于推动科学技术的发展和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵法和迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。
它的基本思想是通过一系列的行变换将方程组化为阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过行变换将增广矩阵化为阶梯形或行最简形。
最后，通过回代法求解得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单易懂，容易实现。
但是，当方程组的规模较大时，计算量会很大，效率较低。
二、矩阵法矩阵法是求解线性方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式。
最后，通过求逆矩阵或伴随矩阵求解得到方程组的解。
矩阵法的优点是计算效率高，适用于方程组规模较大的情况。
但是，对于奇异矩阵或非方阵的情况，矩阵法无法求解。
三、迭代法迭代法是求解线性方程组的一种近似解法。
它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，选择一个初始解，通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
最后，通过设定一个误差限，当迭代结果满足误差限时停止计算。
迭代法的优点是计算过程简单，适用于方程组规模较大的情况。
但是，迭代法的收敛性与初始解的选择有关，有时可能无法收敛或收敛速度较慢。
综上所述，线性方程组的求解方法有高斯消元法、矩阵法和迭代法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法可以提高计算效率和解决实际问题的准确性。
在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的方法进行求解，能够更好地推动科学技术的发展和解决实际问题。
线性微分方程组的解法
线性微分方程组的解法线性微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的线性方程组成的，可以用矩阵形式来表示。
解这类方程组的方法有很多种，例如矩阵法、特征方程法等。
下面将介绍线性微分方程组的解法。
一、线性微分方程组的矩阵法考虑一个n个未知函数的线性微分方程组：$\frac{d}{dt}\mathbf{y}=A\mathbf{y}$其中$\mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}$，A是一个$n \times n$的矩阵。
解法：1. 将线性微分方程组写成矩阵形式：$\frac{d}{dt}\mathbf{y}=A\mathbf{y}$2. 求出矩阵A的特征值和特征向量。
设特征值为$\lambda$，对应的特征向量为$\mathbf{v}$。
3. 根据特征值和特征向量，构造矩阵的对角形式：$D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 &\cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots &\lambda_n \end{pmatrix}$4. 求出初值条件的向量$\mathbf{c}$，使得$\mathbf{y}(t=0) =\mathbf{c}$。
5. 利用变量分离法求出解向量$\mathbf{y}$：$\mathbf{y}=e^{At}\mathbf{c}$其中$e^{At}$表示矩阵的指数函数，它可以通过特征值和特征向量来计算，即：$e^{At}=P e^{Dt}P^{-1}$其中P是一个由特征向量组成的矩阵，$P^{-1}$是P的逆矩阵，$e^{Dt}$是一个由特征值构成的对角矩阵的指数函数：$e^{Dt}=\begin{pmatrix}e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0\\ 0 &e^{\lambda_2 t} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_n t} \end{pmatrix}$6. 将解向量$\mathbf{y}$代入初值条件$\mathbf{y}(t=0) =\mathbf{c}$，求出常数向量$\mathbf{c}$的值。
线代矩阵求解题技巧
线代矩阵求解题技巧线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于科学和工程学科中。
矩阵求解是线性代数中的一个基本概念，它是解线性方程组、求特征值和特征向量等问题的重要工具。
下面将介绍一些线性代数矩阵求解的基本技巧。
1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法之一。
该方法的基本思想是通过矩阵变换将线性方程组化为上三角形方程组或者行最简形式，从而得到方程组的解。
高斯消元法具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵的形式；（2）选取一个主元（通常选取主对角线上的元素），并通过一个变换将该元素下面的所有元素置零；（3）对主元元素下面的行执行类似的操作，直到所有元素都变为零或者上三角矩阵形式；（4）回代求解未知数。
2. LU分解LU分解是将一个矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积的方法。
这个方法通常用于解决多次使用相同矩阵求解线性方程组的场景。
LU分解的具体步骤如下：（1）设一个n阶方阵A，将其分解为A=LU；（2）通过高斯消元法将A化为上三角矩阵U；（3）构造下三角矩阵L，使得A=LU成立。
3. 矩阵的逆和伴随矩阵对于一个可逆矩阵A，可以通过求解逆矩阵来求解线性方程组。
设A为n阶可逆方阵，若存在一个n阶矩阵B，满足AB=BA=I，那么B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵可以通过伴随矩阵来求解。
对于n阶矩阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)，它的定义为adj(A)=det(A)·A^(-1)，其中det(A)是A的行列式。
逆矩阵的求解可以通过以下步骤：（1）求解矩阵A的行列式det(A)；（2）求解矩阵A的伴随矩阵adj(A)；（3）求解矩阵A的逆矩阵A^(-1)，即A^(-1)=adj(A)/det(A)。
4. 特征值和特征向量特征值和特征向量在矩阵求解中起着重要作用。
设A 是一个n阶方阵，若存在一个非零向量X，满足AX=kX，其中k为常数，则k为A的一个特征值，X为对应的特征向量。
矩阵与线性方程组的数学模型和解法
矩阵与线性方程组的数学模型和解法矩阵和线性方程组是线性代数中常见的数学概念，广泛应用于各个学科领域，包括工程、科学、经济等。
本文将介绍矩阵和线性方程组的数学模型以及常见的解法。
1. 矩阵的数学模型矩阵是由数字排列成的矩形阵列。
一个m×n的矩阵表示为：[A] = [a_ij]其中，a_ij是矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵按行数和列数分别称为行数和列数，即m×n的矩阵有m行n列。
2. 线性方程组的数学模型线性方程组是一组以线性关系描述的方程组。
形式如下：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2......................a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，x_1, x_2, ..., x_n是未知数，a_ij是系数矩阵的元素，b_1, b_2, ..., b_m是常数项。
3. 线性方程组的解法解一个线性方程组的目标是找到一组满足所有方程的未知数值的解。
下面介绍两种常见的解法：高斯消元法和矩阵求逆法。
a. 高斯消元法高斯消元法是一种通过消元和回代的操作来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：Step 1: 构造增广矩阵[A|b]，其中A为系数矩阵，b为常数项矩阵。
Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为上三角矩阵。
Step 3: 从最后一行开始，利用回代法求出未知数的值。
b. 矩阵求逆法矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：Step 1: 构造增广矩阵[A|I]，其中A为系数矩阵，I为单位矩阵。
Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为[I|B]，其中B为所求逆矩阵。
Step 3: 利用逆矩阵的性质，将常数项矩阵变换为解的矩阵。
4. 矩阵与线性方程组的应用矩阵和线性方程组在各个学科领域都有广泛的应用。
矩阵的求解方法和技巧
矩阵的求解方法和技巧矩阵的求解是线性代数中的一个重要问题，涉及到矩阵的性质、运算和解析方法等多个方面。
下面将介绍一些矩阵求解的常用方法和技巧。
1. 高斯消元法：高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，适用于任意大小的方阵。
该方法的基本思想是通过矩阵的初等行变换，将方程组化为行最简的形式，从而求解出未知数的值。
具体操作步骤如下：1) 将方程组转化为增广矩阵形式；2) 选择一个主元（通常选择第一列的第一个非零元素）；3) 将该主元所在的行除以主元得到1；4) 用主元所在行乘以矩阵的某一行，再与原行相减，使得该行的主元所在列的其他元素都为0；5) 选择下一个主元，重复步骤3和4，直至将方程组化为行最简的形式（即上三角形矩阵）；6) 回代求解每个未知数的值。
2. 克拉默法则：克拉默法则适用于求解n元线性方程组（n个方程、n 个未知数），它是一种基于行列式的方法。
具体操作步骤如下：1) 将方程组转化为增广矩阵形式；2) 求出系数矩阵的行列式D；3) 分别将方程组的等号右边替换为未知数列矩阵，并求出每个矩阵列的行列式Dj；4) 利用克拉默法则的公式，未知数xi的值等于Dj除以D的商。
克拉默法则的优点是理论简单，适用于少数方程未知数的求解，但对于大规模的方程组来说，计算量较大。
3. LU分解法：LU分解是将矩阵按照一定的规则分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
LU分解法适用于求解一大类线性方程组，对于已经进行了LU分解的矩阵，可以节省计算量，提高计算效率。
具体操作步骤如下：1) 对矩阵进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；2) 利用前代法（也称为Ly=b法）求解方程Ly=b，求出向量y；3) 利用回代法（也称为Ux=y法）求解方程Ux=y，求出向量x。
4. 矩阵的逆：矩阵的逆是指如果一个方阵存在逆矩阵，那么它和它的逆矩阵相乘得到一个单位矩阵。
矩阵的逆可以用来求解线性方程组的解。
具体操作步骤如下：1) 对矩阵A进行LU分解；2) 利用前代法求解方程Ly=b，求出向量y；3) 利用回代法求解方程Ux=y，求出向量x；4) 得到矩阵的逆矩阵A^-1。
第1讲 用矩阵消元法求解线性方程组
a ____ ， b ____ ， c ____ ；
u 1 2 (2) 设 B x v 3 为反对称矩阵，则 y z w u ____ ， v ____ ， w ____ ； x ____ ， y ____ ， z ____ .
为(1)的一个解(向量). (1)的全体解向量形成的集合称为(1)的解(向量)集合. 在(1)中，将 n 个未知量 x1 , x2 , , xn 改为 y1 , y2 , , yn ，并不影响解向量集合. 所以
反映了(1)的所有本质特征. 说，增广矩阵 A
2、初等变换
-5-
定义 11
在线性方程组(1)中，
以 A [ aij ]mn 的第 j 列各元素次序不变排成新矩阵的第 j 行( j 1, 2, , n )，亦得
a11 a 12 T A a1n
显然，有
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
ent ij A ent ji AT (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ，
C A B .
数与矩阵可以相乘. 定义 6 设 A [ aij ]mn ，则称矩阵 [kaij ]mn [ aij k ]mn 为数 k 与矩阵 A 的数量乘积(或
A 的 k 倍)，记作 kA 或 Ak .
加法与数量乘法统称为矩阵的线性运算. 2、 m n 矩阵空间 数域 上的全体 m n 矩阵形成的集合可以表示为
(加法交换律) (加法结合律) (加法右单位元) (加法右逆元) ( 1 倍) (数乘结合律) (第一分配律) (第二分配律)
mn 关于矩阵的加法与数量乘法，称为数域 上的 m n 矩阵空间. 减法是加法的派生运算： A B A ( B ) .
矩阵的线性方程组解法
矩阵的线性方程组解法线性方程组是数学中的重要概念，它描述了一组线性方程之间的关系。
而求解线性方程组的方法之一就是利用矩阵的运算进行计算。
本文将介绍几种常见的矩阵解法，以帮助读者更好地理解线性方程组求解的过程。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的基本方法之一。
它通过矩阵的行变换来简化系数矩阵，并最终将线性方程组化简为上三角形式。
步骤如下：1. 构建增广矩阵：将系数矩阵和常数向量合并成一个增广矩阵。
2. 初等行变换：利用加减乘除的运算，将增广矩阵化为上三角矩阵。
3. 回代求解：从方程组的最后一行开始，依次求解每个变量。
二、矩阵的逆解法对于非奇异矩阵（可逆矩阵），可以利用矩阵的逆求解线性方程组。
设线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
解法如下：1. 判断A是否可逆：计算矩阵A的行列式，若不为零，则A可逆。
2. 计算逆矩阵：利用伴随矩阵法或初等变换法，求解A的逆矩阵A^-1。
3. 求解线性方程组：利用逆矩阵的性质，有 x=A^-1b。
三、克拉默法则克拉默法则是一种求解线性方程组的特殊方法，它通过计算行列式的比值来求解每个未知数的值。
步骤如下：1. 列出增广矩阵：将线性方程组化为增广矩阵形式。
2. 计算行列式：利用增广矩阵的系数部分，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
3. 计算未知数：利用克拉默法则，有 xi=det(Ai)/det(A)，其中Ai是用b替换第i列得到的矩阵。
四、LU分解法LU分解法是一种将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的方法。
通过LU分解后，可以利用前代法和回代法求解线性方程组。
步骤如下：1. 进行LU分解：将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，有 A=LU。
2. 利用前代法求解Ly=b：先解 Ly=b 得到y的值。
3. 利用回代法求解Ux=y：再解 Ux=y 得到x的值。
总结：本文介绍了矩阵的线性方程组解法，包括高斯消元法、矩阵的逆解法、克拉默法则和LU分解法。
矩阵的线性方程组解集求解
矩阵的线性方程组解集求解线性方程组是线性代数中的重要概念，而解线性方程组就是求解方程组中未知数的解集。
在矩阵的线性方程组中，我们利用矩阵的运算和变换来求解线性方程组的解集。
本文将介绍矩阵的线性方程组求解的基本方法和步骤。
首先，我们来回顾一下线性方程组的定义：线性方程组是由多个线性方程组成的集合，其中每个方程都是线性的。
线性方程组的一般形式可以表示为：a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b其中，a1, a2, ..., an 是系数，x1, x2, ..., xn 是未知数，b 是常数。
对于一个含有 m 个方程和 n 个未知数的线性方程组，可以使用矩阵的形式来表示：AX = B其中，A 是一个 m×n 矩阵，X 是一个 n×1 矩阵（列向量），B 是一个 m×1 矩阵（列向量）。
在这个形式下，我们的目标是求解 X 的取值。
下面，我们将介绍两种常见的矩阵的线性方程组求解方法：高斯消元法和矩阵的逆。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的矩阵求解方法，其基本思想是通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为上三角形式，从而求解未知数的值。
具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵 A 与常数矩阵 B 合并为增广矩阵[A|B]。
（2）利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵化为上三角形式。
（3）反向替换，从最后一行开始，求解每一个未知数的值。
（4）得到线性方程组的解集。
2. 矩阵的逆矩阵的逆是线性方程组求解的另一种方法。
对于方阵 A，如果存在一个方阵 B，使得 A×B = B×A = I，其中 I 是单位矩阵，则称矩阵 A 是可逆的，B 是 A 的逆矩阵。
利用矩阵的逆矩阵，我们可以通过以下方式求解线性方程组。
具体步骤如下：（1）对于矩阵 A，若 A 可逆，则将方程组 AX = B 两边同时左乘A 的逆矩阵 A^(-1)，得到 X = A^(-1)B。
（2）计算矩阵 A 的逆矩阵 A^(-1)。
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线性方程组的矩阵求法摘要：关键词：第一章引言矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。
第二章用矩阵消元法解线性方程组第一节预备知识定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。
定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。
定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：（1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的一个主元）为1；（2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。
则称矩阵为行最简形矩阵。
第二节1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。
这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。
下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：（1）11112211 211222221122,,.n nn nm m mn n m a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b+++=+++=+++=根据方程组可知其系数矩阵为：（2）111212122212nn m m mna a aa a aa a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其增广矩阵为：（3）11121121222212nnm m mn m a a a ba a ab a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。
定理2：设A是一个m行n列矩阵A=111212122212nn m m mna a aa a aa a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式（4）1***** 01****0001** 0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭进而化为（5）1,112,12,11000010000010000r nr nr r rnc cc cc c+++⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭这里r≥0,r≤m, r≤n ,*表示矩阵的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相等。
即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形，并进而化为行最简形现在考察方程组（1）的增广矩阵（3），由定理2我们可以对（1）的系数矩阵（2）施行一次初等变换，把它化为矩阵（5），对增广矩阵（3）施行同样的初等变换，那么（3）可以化为以下形式：（6）1,1112,122,11 1000010000010000r nr nr r rn rrmc c dc c dc c ddd++++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与（6）相当的线性方程组是：（7）112111,1112,122,11,,,0,0,r n r n rr n i r i n i i r i n i i r r i rn i r r m x c x c x d x c x c x d x c x c x d d d ++++++++++=+++=+++===这里1i ，2i ，…，n i 是1，2，…，n 的一个排列，由于方程组（7）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理1，方程组（7）与方程组（1）同解。
因此，要求方程组（1），只需解方程组（7），但方程组（7）是否有解以及有怎样的解很容易看出:情形（1），r<m,而1r d +,…, m d 不全为零，这时方程组（7）无解，因为它的后m-r 个方程中至少有一个无解。
因此方程组（1）也无解。
情形（1），r=m 或r<m 而1r d +,…, m d 全为零，这时方程组（7）与方程组（8）112111,1112,122,1,,r n r n r r n i r i n i i r i n i i r r i rn i rx c x c x d x c x c x d x c x c x d +++++++++=+++=+++= 同解。
当r=n 时，方程组（8）有唯一解,就是ti x =td ,t=1,2,…,n.这也是方程组（1）的唯一解当r<n 时方程组（8）可以改写为（9）1121111,1122,12,1,,r n r n r r ni r i n i i r i n i i r r r i rn i x d c x c x x d c x c x x d c x c x ++++++=---=---=---于是,给予未知量1r i x +,…,ni x 以任意一组数值1r i k +,…ni k ，就得到（8）的一个解：1111111,11,1,,,.r n r r n r r n n i r i n i i r r r i rn i i i i i x d c k c k x d c k c k x k x k ++++++=---=---==这也是（1）的一个解。
由于1r i k +,…ni k 可以任选，用这一方法可以得到（1）的无穷多解。
另一方面，由于（8）的任一解都必须满足（9），所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得到。
例1：解线性方程组123412412341234235,243,2328,29521.x x x x x x x x x x x x x x x +++=+-=---++=+--=-解：方程组的增广矩阵是123152401312328129521⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎪---⎝⎭ 进行初等行变换可得到矩阵最简形131222113001260000000000⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0 对应的线性方程组是124341322211326x x x x x +-=-+=把移到右边作为自由未知量，得原方程组的一般解12434312,22131.62x x x x x =--+=-第三章 用初等变换解线性方程组定义2：设B 为m ⨯n 行最简形矩阵, 按以下方法作s ⨯n 矩阵C:对任一i : 1i s ≤≤, 若有B 的某一主元位于第i 列, 则将其所在行称为C 的第i 行, 否则以n 维单位向量(0,,0,1,0,0)i e =-作为C 的第i 行, 称C 为B 的s ⨯n 单位填充矩阵(其中1i s ≤≤).显然, 单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“ -1” , 若主对角线上某一元素为“-1” , 则该元素所在列之列向量称为C 的“ J 一列向量” 。
定义3：设B 为行最简形矩阵, 若B 的单位填充矩阵C 的任一“ J 一列向量”均为以B 为系数矩阵的齐次线性方程组:(1)1111221211222211220,0,0.n nn nm m mn nb x b x b xb x b x b xb x b x b x+++=+++=+++=(1)的解向量，则陈C与B是匹配的（也说B与C是匹配的）。
引理1：设B为行最简形矩阵，若将B的第i列与第j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵，则：（Ⅰ）将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置，第列与第列交换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中（Ⅱ）若C与B是匹配的，则'C与'B也是匹配。
证明：结论（Ⅰ）显然成立，下证（Ⅱ），因为C与B是匹配的，故C只能是n⨯n矩阵, 从而'C也是n⨯n矩阵, 设以B为系数矩阵的方程组为(1), 以'B为系数矩阵的方程组为(1),以'B为系数矩阵的方程组为：'''1111221'''2112222'''11220,0,0.n nn nm m mn nb x b x b xb x b x b xb x b x b x+++=+++=+++=(2)则由B与'B的关系可知对方程组（1）进行变量代换。
11,,j j n nx y x y x y===就得到方程组（2）, 于是方程组（1）的任一解向量交换i、j两个分量的位置后就是方程组（2）的一个解向量, 又从C与'C的关系可知, 'C的任一“J一列向量”均可由C的某一“J一列向量”交换i、j 两个分量的位置后得到, 从而由C与B匹配知'C与'B也是匹配的。
引理2：任一m⨯n行最简形矩阵与其n⨯n单位填充矩阵C是匹配的。
证明:1设1,11,212,12,22,1,2100010010*******0r r n r r n r r r r rn n nb b b b b b B b b b ++++++⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (3) 则以为系数矩阵的齐次线性方程组为:11,111,22122,112,222,11,220,0,0r r r r n n r r r r n n r r r r r r r mn n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++++++++++++++++=++++=++++= (4)而B 的单位填充矩阵为:1,11,212,12,22,1,2100010010*******1r r n r r n r r r r rn n nb b b b b b C b b b ++++++⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (5) 其所有J 一列向量为11,1,121,2,21,,(,,1,0,0)(,,0,1,0)(,,0,0,1)r r r r r r r r n nr n b b b b b b ηηη++++++=-=-=-显然它们都是方程组(4)的解, 即B 与C 是匹配的.2，一般形式的行最简形矩阵B 显然总可以通过一系列的第二类初等列变换(变换两列的位置)化为(3)的形式, 从而B 的单位填充矩阵C 通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5), 由于这种变换是可递的,据引理2及引理1（Ⅱ） 知B 与C 是匹配的。
定理3:设齐次线性方程组1111221211222211220,0,0.n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++= (6)的系数矩阵A 经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B, 则B 的n ⨯n 单位填充矩阵C 的所有“ J 一列向量”构成方程组(6)的一个基础解系。