矩阵与解方程
矩阵运算及方程组求解
附录Ⅰ大学数学实验指导书项目五矩阵运算与方程组求解实验1 行列式与矩阵实验目的把握矩阵的输入方式. 把握利用Mathematica 以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.大体命令在Mathematica中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的假设干表达式, 表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}那么输入了两个向量.2. 表的生成函数(1)最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m, n]—生成表{m,…,n};Range[m, n, dx]—生成表{m,…,n}, 步长为d x.2. 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]那么输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]那么输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 能够用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}那么输出 {{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如,输入命令:MatrixForm[A]那么输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛5432注:一样情形下,MatrixForm[A]所代表的矩阵A 不能参与运算. 下面是一个生成抽象矩阵的例子. 输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%]那么输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:那个矩阵也能够用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵. 例如,输入IdentityMatrix[5]那么输出一个5阶单位矩阵(输出略).5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵. 例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]那么输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; 或 Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A]. 8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n]. 9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A]. 10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵的运算例 设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T输入A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}} MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}} MatrixForm[B]-2A AAB 23-BA T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----334421424141010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10120821444,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A .1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1652116114581081218192829211161121162147.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=2222)1)()()()()()((dc b a abcd d c d b d a c b c a b a +--------,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A .),(|,|3A A tr A 3),(|,|AA tr A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A '2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλA 求.10A 一样地?=k A (k 是正整数).3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x实验2 矩阵的秩与向量组的最大无关组实验目的 学习利用Mathematica 以上版本)求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向 量组的秩与最大无关组.大体命令1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].3. 把数表1,数表2, …,归并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]那么输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}实验举例求矩阵的秩例 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩.输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}; Minors[M,2]那么输出{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2, -16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入Minors[M,3]那么输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M 的三阶子式都为0. 因此.2)(=M r例 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3224211631095114047116的行最简形及其秩.输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}} MatrixForm[A]RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101矩阵的初等行变换例 用初等变换法求矩阵.343122321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的逆矩阵.输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1112/532/3231)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000010010102001向量组的最大无关组 例 求向量组)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα的最大无关组, 并将其它向量用最大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}}; B=Transpose[A];RowReduce[B]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000002/51000101102/10301非零行的首元素位于第一、二、四列,因此421,,ααα是向量组的一个最大无关组. 第三列的前两个元素别离是3,1,于是.3213ααα+=第五列的前三个元素别离是,25,1,21-于是.25214215αααα++-=实验习题1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=12412116030242201211A 的秩.2.求t , 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.4.当t 取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是不是线性相关?6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组. 并用最大无关 组线性表示其它向量.7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα 与21,ββ等价.实验3 线性方程组实验目的 熟悉求解线性方程组的经常使用命令,能利用Mathematica 命令各类求线性方程组的解. 明白得运算机求解的有效意义.大体命令1.命令NullSpace []A ,给出齐次方程组0=AX 的解空间的一个基.2.命令LinearSolve []b A ,,给出非齐次线性方程组b AX =的一个特解.3.解一样方程或方程组的命令Solve 见Mathematica 入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设A 为n m ⨯矩阵,X 为n 维列向量,那么齐次线性方程组0=AX 必然有解. 假设矩阵A 的秩等于n ,那么只有零解;假设矩阵A 的秩小于n ,那么有非零解,且所有解组成一贯量空间. 命令NullSpace 给出齐次线性方程组0=AX 的解空间的一个基.例 求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+.0532,0375,023,02432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x输入Clear[A];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; NullSpace[A]那么输出{{-2,1,-2,3}}说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(-2,1,-2,3)是解空间的基. 注:若是输出为空集{ },那么说明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是不是线性相关? 依照概念,若是向量组线性相关,那么齐次线性方程组044332211='+'+'+'ααααx x x x 有非零解.输入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; B=Transpose[A]; NullSpace[B]输出为{{-2,-1,0,1}}说明向量组线性相关,且02421=+--ααα非齐次线性方程组的特解例 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=++=+--=--+45322375222342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,-2,4} LinearSolve[A,b]输出为{1,1,-1,0}注: 命令LinearSolve 只给出线性方程组的一个特解.例 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2c bx ax ++并画出其图形.依照题设条件有 ,924611700⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅c b a c b a c b a 输入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}} y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t} f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines ->Automatic,PlotRange ->All];那么输出c b a ,,的值为 {2,-3,7}并画出二次多项式7322+-x x 的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve 求非齐次线性方程组的通解.例当a 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321ax x x x ax x x x ax 无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求a ,使行列式等于0. 输入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}]; Solve[%==0,a]那么输出{{a →-2},{a →1},{a →1}} 当a 2-≠,a 1≠时,方程组有唯一解.输入Solve[{a*x +y +z ==1,x +a*y +z ==1,x +y +a*z ==1},{x,y,z}]则输出{{x →,21a + y →,21a+ z →a +21}}当a =-2时,输入Solve[{-2x+y+z==1,x -2y+z==1,x+y -2z==1},{x,y,z}]则输出{ }说明方程组无解. 当a =1时,输入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]则输出{{x →1-y -z}}}说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解 系为为(-1,1,0)与(-1,0,1).例 求非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534422312432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解法1输入A={{2,1,-1,1},{3,-2,1,-3},{1,4,-3,5}};b={1,4,-2}; particular=LinearSolve[A,b] nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution 其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛007/57/6107/97/1017/57/14321t k x x x x (k ,t 为任意常数)实验习题1.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.024,02,032321321321x x x x x x x x x2.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-.0111784,02463,03542432143214321x x x x x x x x x x x x3. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-.22,3,44324314324321x x x x x x x x x x4.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++.254,32,22432143214321x x x x x x x x x x x x5.用三种方式求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+127875329934,8852321321321321x x x x x x x x x x x x 的唯一解.6.当b a ,为何值时,方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解、有无穷多解?对后者求通解.实验4 投入产出模型(综合实验)实验目的 利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立在经济 分析中有重要应用的投入产出数学模型. 把握线性代数在经济分析方面的应用.应用举例假设某经济系统只分为五个物质生产部门:农业、轻工业、重工业、运输业和建筑业, 五个部门间某年生产分派关系的统计数据可列成下表1. 在该表的第一象限中,每一个部门都以生产者和消费者的双重身份显现. 从每一行看,该部门作为生产部门以自己的产品分派给各部门;从每一列看,该部门又作为消耗部门在生产进程中消耗各部门的产品. 行与列的交叉点是部门之间的流量,那个量也是以双重身份显现,它是行部门分派给列部门的产品量,也是列部门消耗行部门的产品量.表1投入产出平稳表(单位: 亿元)注: 最终产品舍去了净出口.(修改表:加双线区分为四个象限)在第二象限中,反映了各部门用于最终产品的部份. 从每一行来看,反映了该部门最终产 品的分派情形;从每一列看,反映了用于消费、积存等方面的最终产品别离由各部门提供的数 量情形.在第三象限中,反映了总产品中新制造的价值情形,从每一行来看,反映了各部门新制造 价值的组成情形;从每一列看,反映了该部门新制造的价值情形.采纳与第三章第七节完全相同的记号,可取得关于表1的产品平稳方程组y x A E =-)( (1)其中,A 为直接消耗系数矩阵,依照直接消耗系数的概念),,2,1,(n j i x x a jij ij ==,易求出表1所对应的直接消耗系数矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯0603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.01825110120051540620131297135101171825751200305406225312975351045182562512002505406271031294543510324182512512005054061363129450351081182560120030540625031298003510600)(55ij a A 利用Mathematica 软件(以下计算进程均用此软件实现,再也不重述),可计算出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11036.10739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.1100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.2495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.10492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.1)(1A E 为方便分析,将上述列昂节夫逆矩阵列成表2.表2下面咱们来分析上表中各列诸元素的经济意义. 以第2列为例,假设轻工业部门提供的 最终产品为一个单位, 其余部门提供的最终产品均为零, 即最终产品的列向量为 ,)0,0,0,1,0(T y =于是,轻工业部门的单位最终产品对5个部门的直接消耗列向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0227.00240.01451.01438.02557.0000100603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.0)0(Ay x通过中间产品向量)0(x 产生的间接消耗为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0205373.00146768.0129979.00327974.00885192.0)0()1(Ax x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0107259.000867109.00881789.00120554.00305619.0)0(2)2(x A x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00570305.000505222.0054254.000575796.00129491.0)0(3)3(x A x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00318798.000294103.00322339.000309566.000650578.0)0(4)4(x A x于是,轻工业部门的单位最终产品对五个部门总产品的需求量为++++++=)4()3()2()1()0(x x x x x y x.0629.00553.04497.01975.13942.000318798.000294103.00322339.000309566.000650578.000570305.000505222.0054254.000575796.00129491.00107259.000867109.00881789.00120554.00305619.00205733.00146768.0129979.00327974.00885192.000010⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=其中向量x 为列昂惕夫逆矩阵1)(--A E 的第2列, 该列5个元素别离是部门2生产一个单位 最终产品对部门一、二、3、4、5总产品的需求量, 即总产品定额. 同理, 能够说明列昂节夫 逆矩阵中第一、3、4、5列别离是部门一、3、4、5生产一个单位最终产品对部门一、二、3、 4、5的总产品定额.对应于附表1的完全消耗系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=-11036.00739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.0100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.1495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.00492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.0)(1EA E B最终产品是外生变量, 即最终产品是由经济系统之外的因素决定的, 而内生变量是由经济系统内的因素决定的. 此刻假定政府部门依照社会进展和人民生活的需要对表1的最终产品作了修改, 最终产品的增加量别离为农业2%, 轻工业7%, 重工业5%, 运输业5%, 建筑业 4%, 写成最终产品增量的列向量为,)51,5.37,15.52,09.160,4.35(T y =∆那么产品的增加量x ∆可由式(8)近似计算到第5项, 得+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+∆+∆+∆+∆+∆=∆515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.375.5209.1604.35432)3()2()1()0(A A A A x x x x y x .)8033.744899.57169.238749.204083.121(T ≈其中,y A x ∆=∆)0(为各部门生产y ∆直接消耗各部门产品数量;而后面各项的和为各部门生 产y ∆的全数间接消耗的和.实验报告下表给出的是某城市某年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量(均以产品价值计算, 单位: 万元), 表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值.(1) 试列出投入—产出简表, 并求出直接消耗矩阵;(2) 依照预测, 从这一年度开始的五年内, 农业的外部需求每一年会下降1%, 轻工业和商业的外部需求每一年会递增6%, 而其它部门的外部需求每一年会递增3%, 试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均年增加率;(3) 编制第五年度的打算投入产出表.实验5 交通流模型(综合实验)实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立交通流模型. 把握线性代数在交通计划方面的应用.应用举例假设某城市部份单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图5-1所示.300 300 300+-432xxx=300+54xx=500-67xx=200+21xx=800+51xx=800+87xx=10009x=400-910xx=20010x=600++638xxx=1000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪排版时只保留图,不要方程组图5-1试成立数学模型确信该交通网络未知部份的具体流量.假定上述问题知足以下两个大体假设(1)全数流入网络的流量等于全数流出网络的流量;(2)全数流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.那么依照图5-1及上述大体两个假设,可成立该问题的线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==+-==+=+=+=+-=+=+-1000600200400100080018002005003008631010998751217654432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x , 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100060020040010008008002005003000010100110000000001100000000010000000000110000000000010001000000001100011000000000011000000000111010987654321x x x x x x x x x x 假设将上述矩阵方程记为b Ax =,那么问题就转化为求b Ax =的全数解. 下面咱们利用 Mathmatica 软件来求解一、输入矩阵A ,并利用RowReduce[A ]命令求得A 的秩为8. 输入RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000000000000100000000001000000000011000000001010000000000110000000000100000001001000000100010=Ax 输入In[3]:=NullSpace[A]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000110110011100000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=00000110110011100000212211C C c c ξξη21,C C 3、输入增广阵(A b ),求出其秩为8, 由,108)()(=<==n Ab r A r 知方程组有无穷多个解.输入RowReduce[Ab]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000000000000000006001000000000400010000000010000011000000800001010000050000000110002000000000100000000100108000000010001b Ax =输入 LinearSolve[A,b]Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}那么取得所求非齐次线性方程组的一个特解:T )6004000100080005002000800(*=ξ综上所述,咱们就取得了非齐次线性方程组b Ax =的全数解为,*2211*ξξξξη++++=C C x (21,C C 为任意常数).在解的表示式中, x 的每一个分量即为交通网络中未知部份的具体流量, 该问题有无穷 多解(什么缘故? 并试探其实际意义).本模型具有实际应用价值, 求出该模型的解, 能够为交通计划设计部门提供解决交通堵 塞、车流运行不顺畅等问题的方式, 明白在何处应建设立交桥, 那条路应设计多宽等, 为城镇交通计划提供科学的指导意见. 可是,在本模型中,咱们只考虑了单行街道如此一种简单情形, 更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究. 另外,本模型还可推行到电路分析中的 网络节点流量等问题中.实验报告请读者应用本模型的思想方式, 为你所在或你熟悉的城镇成立一个区域的交通流量模 型. 并提供一个具体的解决方案, 即从无穷多个解中依照具体限制确信出一个具体的解决方 案.。
如何解决数学中的方程组与矩阵问题
如何解决数学中的方程组与矩阵问题在数学中，方程组与矩阵问题是常见且重要的内容，解决这些问题需要一定的方法和技巧。
本文将介绍几种解决数学中方程组与矩阵问题的方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的方法，它通过矩阵变换将方程组转化为一个更简单的形式，从而找到解。
下面以一个具体的例子来说明高斯消元法的步骤：假设有如下的方程组：(1) 2x + 3y - z = 7(2) x - y + z = 2(3) 3x - 4y + 2z = 4首先将方程组写成增广矩阵的形式：[ 2 3 -1 | 7 ][ 1 -1 1 | 2 ][ 3 -4 2 | 4 ]接下来，通过一系列的行变换，使矩阵变为上三角矩阵：[ 2 3 -1 | 7 ][ 0 -5 3 | -10 ][ 0 0 3 | -3 ]然后，从最后一行开始，依次求出未知数的值。
首先可以得到 z = -1，再依次代入前面的方程中，求解出 y = 2 和 x = 1。
因此，方程组的解为 x = 1，y = 2，z = -1。
高斯消元法可以帮助我们快速求解线性方程组，但在实际应用中，需要注意矩阵的可逆性和唯一解。
二、矩阵求逆在某些情况下，我们需要求解一个矩阵的逆矩阵，以便更便利地解决方程组或其他相关问题。
矩阵求逆的方法有多种，这里介绍其中一种常见的方法——伴随矩阵法。
对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = I，其中 I 是 n 阶单位矩阵，则称矩阵 B 为 A 的逆矩阵，记作 A^-1。
那么如何求解一个矩阵的逆矩阵呢？下面以一个 2 阶方阵为例来说明：首先，假设有一个 2 阶方阵 A：[ a b ][ c d ]如果 A 的行列式不等于 0，即 ad - bc ≠ 0，那么 A 的逆矩阵存在。
为了求解 A 的逆矩阵，我们可以按照以下步骤进行：1. 计算 A 的行列式的值 det(A) = ad - bc。
矩阵求方程的解
矩阵求方程的解
矩阵可以被用来求解线性方程组。
线性方程组可以表示为以下形式：
A * x = b
其中，A 是一个系数矩阵，x 是未知向量，b 是已知向量。
矩阵求解线性方程组主要有两种方法：逆矩阵法和高斯消元法。
1.逆矩阵法：如果矩阵A 是可逆的（即行列式不等于零），
则可以通过以下公式求解线性方程组的解：
x = A⁻¹ * b
其中，A⁻¹ 表示矩阵 A 的逆矩阵，* 表示矩阵的乘法运算。
2.高斯消元法：高斯消元法是通过变换线性方程组的形式，
将其转化为上三角形式或者简化行阶梯形式。
然后，可以
通过回代的方式求解线性方程组的解。
具体步骤如下：
•用初等行变换将矩阵A 转化为上三角形式（或简化行阶梯形式）。
•根据变换后的矩阵形式，可以直接得到解的结果或通过回代得到解。
需要注意的是，在实际应用中，矩阵方程的求解可能会遇到多解、无解或条件问题等情况。
因此，在使用矩阵求解线性方程组时，需要对方程组的性质进行仔细分析，并进行适当的处理。
二元一次方程用矩阵求解
二元一次方程用矩阵求解引言：二元一次方程是初中数学中的基础知识，但是在高中数学中，我们需要更深入地了解它的求解方法。
本文将介绍如何使用矩阵求解二元一次方程，以及它的应用。
一、二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：ax+by=c，dx+ey=f。
其中，a、b、c、d、e、f均为已知数，x、y为未知数。
二、矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列，通常用方括号表示。
例如，下面是一个2行3列的矩阵：[1 2 3][4 5 6]其中，第一行为1、2、3，第二行为4、5、6。
三、矩阵的加法和数乘矩阵的加法和数乘与向量的加法和数乘类似。
例如，下面是两个2行3列的矩阵：[1 2 3] [4 5 6][7 8 9] [10 11 12]它们的加法为：[1+4 2+5 3+6] [5 7 9][7+10 8+11 9+12] [17 19 21]它们的数乘为：2[1 2 3] [2 4 6]2[7 8 9] [14 16 18]四、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的每一行与另一个矩阵的每一列相乘，然后将结果相加。
例如，下面是一个2行3列的矩阵和一个3行2列的矩阵：[1 2 3] [4 5][6 7 8] [9 10][11 12]它们的乘法为：[1×4+2×9+3×11 1×5+2×10+3×12] [37 40][6×4+7×9+8×11 6×5+7×10+8×12] [97 106]五、使用矩阵求解二元一次方程将二元一次方程的系数写成矩阵的形式，即：[a b] [x] [c][d e] × [y] = [f]然后，将等式两边同时乘以矩阵的逆矩阵，即：[a b] [x] [c] [e -b] [x] [e -b][c][d e] × [y] = [f] × [-d a] × [y] = [-d a][f]最后，解出未知数x和y的值即可。
矩阵与线性方程组的解
三、 ｎ元 线 性 方 程 组 你 是 否 遇 到 过 这样 的方 程 呢 ？
以数 ｋ乘 这 个行 列式 。
推 论 ５ 一 个行列式 中某 一行 （ 列） 的 元 素的公因子可 以提到行列式符 号的外 边 。 推 论 ６ 如果一个 行列式中有 ＿ 彳 亍 （ 列）
算方法 ： 将 用 到 以下 命 题 及 推 论 ： 命 题 １ 行 列 式 与 它 的 转 置 行 列 式 相等。 命题 ２ 交换一个行列式的两行（ 或 两列 ） ． 行 列 式 改 变符 号 。 推 论 ３ 如 果 一 个 行 列 式 有 两 行 （ 列） 完全相同 ， 那 么 这 个行 列式 等 于 零 。 命 题 ４ 把 一 个 行 列 式 的 某 一 行 （ 列） 的所 有 元 素 同乘 以 某 一 个 数 ｋ 。 等 于
ｆ ｌ 一２ ＋ ＋ ‘ 一１
在 一 般情 况 下 我 们 的 解 题 思 路 就 是 消元 ， 把 两 个 变 量 减 少 到 一 个 变量 ， 用 第 二个 方 程 减 第 一 个 方 程 得 ｘ ＝ ５ ．代 入 得
ｙ ＝ ２ ． ５ 。
州－ ｛ 一 ２ ｔ ＋ ， ． 一 一
的元素全部是零 ， 那么这个行列式等于零 。 其中ｘ ｌ ， ｘ ２ ＇ ｘ ３ ． ． ・ ｘ 代 表未知量 ， ａ ｉ ｉ（
１ ， ２ ， … ， ｍ； ｊ ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ） 代 表 未 知 量 的 系 数。 这 就 是 线性 方 程 组 的一 般 形 式 。 线 性 方 程组 的解指 的 是这样 一组 数 （ ｋ ｌ ， ｋ ｋ ， ｋ ） ， 用 它们一 次替 代（ ２ ） 中 的 未 知 量
…
推 论 ７ 如 果 一 个 行 列 式 有 两 行 （ 列） 的对 应 元 素 成 比例 ， 那 么 这 个 行 列 式等于零。）
矩阵与方程组的解的判断
矩阵与方程组的解的判断矩阵与方程组的解是线性代数中的重要概念，在实际问题的求解中具有广泛的应用。
解决线性方程组的问题可以转化为对应的矩阵进行运算与判断的过程。
本文将从解的存在性和唯一性的角度，介绍矩阵与方程组解的判断方法。
一、解的存在性判断在线性方程组Ax=b中，A为系数矩阵，x为未知数向量，b为已知数向量。
解的存在性判断主要有以下几种方法：1. 行阶梯形式对于增广矩阵[A|b]，化为行阶梯形式，即将矩阵化为上三角矩阵的形式。
若出现以下情况，则方程组无解：- 出现形如[0 0 ... 0 | c] (c≠0)的行，表示存在矛盾方程；- 出现形如[0 0 ... 0 0 | b] (b≠0)的行，表示存在自由变量，方程组有无穷多解；- 出现形如[0 0 ... 0 0 | 0]的行，且该行中的任意一变量为自由变量，则方程组有无穷多解。
2. 行列式判断方程组无解的一个必要条件是系数矩阵A的行列式det(A)=0。
因此，通过计算A的行列式可以间接判断解的存在性。
3. 排满秩条件设方程组的系数矩阵A为m×n阶，若A的秩rank(A)=n，则方程组有唯一解。
若rank(A)<n，则方程组有无穷多解。
若rank(A)<m，则方程组无解。
二、解的唯一性判断若线性方程组的解存在，则可以通过以下方法判断解的唯一性：1. 唯一解的判断若方程组只有一个解，则该解是唯一解。
可以通过矩阵的行阶梯形式来判断唯一解的存在性。
当所有的主元列（主元所在的列）都存在且为非零元素时，方程组有唯一解。
2. 无穷解的判断当线性方程组有无穷多解时，解的个数由方程组的自由变量的个数决定。
若方程组存在自由变量，则方程组有无穷多解。
三、解的计算若方程组存在解，可以通过高斯消元法、克拉默法则等方法进行计算。
1. 高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的经典方法之一。
通过初等行变换（行交换、行倍乘、行加减）将矩阵化为简化行阶梯形式，进而求解出方程组的解。
矩阵与方程组的解法
矩阵与方程组的解法在线性代数中，矩阵与方程组是重要的研究对象。
矩阵可以被用来表示一组线性方程，而方程组则是由多个线性方程组成的系统。
解决方程组的一个基本方法是使用矩阵运算。
本文将介绍几种常见的矩阵与方程组的解法。
一、高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法。
它通过一系列的行变换将方程组转化为简化行阶梯形式。
具体步骤如下：1. 将方程组的系数矩阵与常数矩阵合并为增广矩阵。
2. 通过行变换，将矩阵转化为上三角形矩阵，即每一行从左至右的第一个非零元素为1，其它元素均为0。
3. 从最后一行开始，逐行用“倍加”法将每一行的首个非零元素化为1，同时将其它行的相应元素消为0。
通过高斯消元法，可以得到简化行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
二、矩阵求逆法对于方程组AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵，如果A可逆，则可以通过以下公式求解：X = A^-1 * B其中A^-1为A的逆矩阵。
为了求得逆矩阵，可以使用伴随矩阵法或初等变换法。
伴随矩阵法：1. 求得矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，即将A中每个元素的代数余子式按一定次序排成一个矩阵。
2. 计算A的行列式det(A)。
3. 若det(A)不等于0，则A可逆，将伴随矩阵Adj(A)除以det(A)，即可得到逆矩阵A^-1。
初等变换法：1. 构造一个n阶单位矩阵I，将A和I相连接成增广矩阵(A|I)。
2. 通过初等行变换将矩阵A转化为上三角矩阵。
3. 继续进行初等行变换，将上三角矩阵转化为单位矩阵。
4. 此时，矩阵I右侧的矩阵即为矩阵A的逆矩阵A^-1。
三、克拉默法则对于n个未知数和n个线性方程的齐次线性方程组，克拉默法则提供了一种求解方法。
该方法通过计算每个未知数的系数矩阵的行列式来求解。
设方程组AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
如果矩阵A的行列式det(A)不为0，则可以通过以下公式求解：X_i = det(A_i) / det(A)其中X_i为方程组的第i个未知数，A_i是将A矩阵中第i列替换为常数矩阵B后得到的矩阵。
矩阵解方程组的方法
矩阵解方程组的方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵解方程组也是线性代数中的基础内容之一。
在实际应用中，往往会遇到包含多个未知数和多个方程的方程组，如何通过矩阵的方法来高效地解决这些方程组成了一项重要的技能。
本文将介绍矩阵解方程组的方法，包括高斯消元法、矩阵求逆法以及克拉默法则等。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种基本方法。
它的基本思想是通过对方程组进行一系列的行变换，将其转化为简化的阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。
下面通过一个具体的例子来说明高斯消元法的应用。
考虑如下的线性方程组：\begin{cases}2x + 3y - z = 1 \\3x + 2y + z = 3 \\x - y + 2z = 9\end{cases}首先将上述的方程组写成增广矩阵的形式：然后通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为简化的阶梯形：\begin{bmatrix}1 & -1 &2 & | & 9 \\0 & 5 & -5 & | & -10 \\0 & 0 & 1 & | & 0\end{bmatrix}最后通过反向代入法，可以求得方程组的解为x=2, y=-2, z=0。
二、矩阵求逆法A = \begin{bmatrix}1 &2 \\2 & 1\end{bmatrix}，X = \begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}，B = \begin{bmatrix}3 \\4\end{bmatrix}然后求解系数矩阵A 的逆矩阵A^{-1}：最后通过矩阵乘法，可以求得方程组的解为X = A^{-1}B =\begin{bmatrix}1 \\1\end{bmatrix}。
三、克拉默法则首先求解系数矩阵A 的行列式|A|：然后求解系数矩阵A 分别替换成结果矩阵B 的行列式|B_x| 和|B_y|：最后通过克拉默法则，可以求得方程组的解为x = \frac{|B_x|}{|A|} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}，y = \frac{|B_y|}{|A|} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}。
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解 线 性 方 程 组00 Nhomakorabea1
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结果分析：行最简形式中最后一行出现了零等于 非零的情况，故方程组无解。
利用矩阵的LU分解求方程组的解 ，这种分解，在求解大型方 程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节 省内存。 LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为 下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的 乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。 则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。 命令 [L，U]=lu (A) [L，U]=lu (A); X=U\(L\b)
有无穷多个解
取 x3 0 得
取
x3 1 得 x1 4 x4 3 x2 0
x4 4
x1 0 x2 1
4 基础解系为 0 1 1 3
0 1 2 0 4 ，
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 1 1 x1 x2 2 x3 3x4 2
解： MATLAB命令为： B=[1 -1 -1 1 0;1 -1 1 -3 1;1 -1 -2 3 -1/2]; rref(B) ans = 1 0 0 -1 0 0 0 1 0 -1 -2 0 1/2 1/2 0
矩阵的特征值、特征向量、特征多项式
p=poly(A) 若A为矩阵，则p为A的特征多项式系数； 若A为行向量，则p为以A为根的特征多项式系数。 poly2str(p,’x’) 例1 得到多项式的习惯形式
A=[1,-1;2,4]; p=poly(A) poly2str(p,’x’) p=[1 -5 x^2-5x+6 6]
矩阵的基本运算 矩阵特征值、特征向量 解线性方程组
矩阵的基本运算
数乘 矩阵的左除 矩阵的右除 矩阵的行列式 矩阵的逆 矩阵的乘幂 k*A A\B A/B det(A) inv(A) A^n
注意 k是一个数，A是一个矩阵 AX=B, X=A-1B, A必须是方阵 XB=A,X=AB-1, B必须是方阵 A必须为方阵 A必须为方阵，|A| ‡ 0 A必须为方阵，n是正整数
解 线 性 方 程 组
解： Matlab命令为 A=[1 -8 10 2;2 4 5 -1;3 8 6 -2]; 系数矩阵
rref(A)
ans= 1 0 4 0
行的最简形式
0
0
1
0
-3/4
0
-1/4
0
分析：
将0=0的一行去掉，则原方程组等价于 方程的个数<未知量个数
x1 4 x3 3 1 x2 4 x3 4 x4
例 求非齐次线性方程组的通解
4 x1 2 x2 x3 2 3 x1 1x2 2 x3 10 11x 3 x 8 2 1
解 线 性 方 程 组
解： Matlab命令为 B=[4 2 -1 2;3 -1 2 10;11 3 0 8]; rref(B)
ans= 1 0 3/10 0
矩阵行变换化简 rref(A)
求A阶梯形的行最简形式
矩阵的特征值、特征向量、特征多项式
[V,D]=eig(A)
例1
A=[1,-1;2,4];
[V,D]=eig(A)
ans V= -985/1393 985/1393 D= 2 0 0 3 方阵A的特 征值矩阵 1292/2889 -2584/2889 方阵A的特 征向量矩阵
的个数，那么方程组有唯一的解； 如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量 的个数，那么方程组有无穷多个解。
例5-20 求齐次线性方程组的通解
x1 8 x2 10 x3 2 x4 0 2 x1 4 x2 5 x3 x4 0 3 x 8 x 6 x 2 x 0 2 3 4 1
ans
1、逆矩阵法（求逆法） 例1： 求方程组的解
解 线 性 方 程 组
2 x 3 y 4 x y 1
解： A=[2,3;1,-1]; 相当于
2 3 x 4 1 1 y 1
b=[4;1]
X=inv(A)*b ans X= 1.4000 0.4000 方程的解是：x=1.4, y=0.4
2、初等变换法
在线性代数中用消元法求线性方程组的通解的过程为： 1、用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最
解 线 性 方 程 组
后的恒等式“0=0”去掉； 2、如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于非 零的数，那么方程无解。否则有解； 3、在有解的情况下：
如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量
所以方程的通解为
解 线 性 方 程 组
x1 4 0 x 0 1 2 k k x3 1 1 2 0 3 4 x4
其中 k1, k2 是任意实数
例5-21 求非齐次线性方程组的通解
逆矩阵法（左除与右除法）
例1： 求方程组的解
AX=B X=A\B XA=B X=B/A
解 线 性 方 程 组
2 x 3 y 4 x y 1
解： A=[2,3;1,-1]; b=[4;1] X=A\b X= 相当于 AX=b,X=A\b
ans
1.4000 0.4000
方程的解是：x=1.4, y=0.4