用矩阵初等变换逆矩阵
逆矩阵求解方法及matlab应用
逆矩阵求解方法及matlab应用矩阵是数学中一个重要的概念，其在各个领域中都有着广泛的应用。
其中，逆矩阵是一个非常重要的概念，其在矩阵的求解和运算中扮演着重要的角色。
本文将介绍逆矩阵的求解方法及其在matlab中的应用。
一、逆矩阵的定义在矩阵运算中，如果一个矩阵A与另一个矩阵B相乘，得到的结果是一个单位矩阵I，那么我们称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
也就是说，逆矩阵是一个矩阵，与原矩阵相乘得到单位矩阵。
二、逆矩阵的求解方法1. 初等行变换法初等行变换法是一种求解逆矩阵的常用方法。
其具体步骤如下：（1）将原矩阵A和单位矩阵I按列排成一个增广矩阵B=[A|I]。
（2）对矩阵B进行初等行变换，使其左半部分变为单位矩阵，此时右半部分的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
2. 行列式法行列式法是一种求解逆矩阵的另一种常用方法。
其具体步骤如下：（1）计算原矩阵A的行列式det(A)。
（2）如果det(A)=0，则原矩阵A不存在逆矩阵。
（3）如果det(A)≠0，则可以通过伴随矩阵求解原矩阵的逆矩阵，具体方法为：设伴随矩阵为A*，则原矩阵A的逆矩阵为A^-1=(1/det(A))A*。
三、matlab中逆矩阵的应用matlab是一款常用的数学软件，其在矩阵求解中有着广泛的应用。
下面介绍在matlab中如何求解逆矩阵。
1. 使用inv函数在matlab中，可以使用inv函数来求解逆矩阵。
其使用方法为：inv(A)，其中A为原矩阵。
例如：A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];B=inv(A);disp(B);运行结果为：-1.2333e+16 2.4667e+16 -1.2333e+162.4667e+16 -4.9333e+16 2.4667e+16-1.2333e+16 2.4667e+16 -1.2333e+162. 使用pinv函数在matlab中，还可以使用pinv函数来求解逆矩阵。
其使用方法为：pinv(A)，其中A为原矩阵。
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
用矩阵的初等变换求逆矩阵_百度文库.
用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。
即4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E，其中E为与A 同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E 的位置变换为我们所要求的,即三，讲解例题1. 求逆矩阵方法的应用之一例解：四，知识拓展2．求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。
例解：而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）对一般的矩阵方程求解，我们可以先求，然后求X＝B。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利用初等行变换，即其中的B即为所求矩阵方程的X。
例解：。
求矩阵逆的方法
求矩阵逆的方法
方法一，伴随矩阵法。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不为0，那么A就是可逆的。
我们可以通过求解伴随矩阵来得到A的逆矩阵。
首先，我们计算A的伴随矩阵Adj(A)，然后用行列式的倒数乘以伴随矩阵即可得到A的逆矩阵。
方法二，初等变换法。
初等变换法是通过一系列的行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵变换为A的逆矩阵。
这种方法在计算机求解中比较常见，可以通过高斯消元法来实现。
方法三，分块矩阵法。
对于某些特殊的矩阵，我们可以通过将其分解成若干个子矩阵，从而简化逆矩阵的求解过程。
例如，对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等都有相对简单的逆矩阵求解方法。
方法四，特征值分解法。
对于对称正定矩阵，我们可以通过其特征值和特征向量来求解其逆矩阵。
通过特征值分解和特征向量矩阵的转置，我们可以得到原矩阵的逆矩阵。
方法五，数值逼近法。
对于大型矩阵或者特殊结构的矩阵，有时候我们无法通过解析的方法求解其逆矩阵，这时可以通过数值逼近的方法来计算其逆矩阵。
例如，利用迭代法或者矩阵分解等方法来近似求解逆矩阵。
总结：
以上是几种常见的求解矩阵逆的方法，不同的方法适用于不同类型的矩阵。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解矩阵的逆，以便更好地解决实际问题。
希望本文能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
线性代数课件-逆矩阵与矩阵的初等变换
0 1 A . 1 2
1
定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 1 1 A A, A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆，即有A1使AA 1 E .
故 A A1 E 1,
所以 A 0.
当 A 0时,
当 A 0时,
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
1 A 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
定义
,使得
对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵 B
AB BA E ,
1
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A .
例
1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2
对n阶单位矩阵E分别施行上述三种初等变换后，所 得之矩阵称为初等矩阵．相应的三种初等矩阵分别是
（1） 互换E的 i，j 两行(两列)所得之矩阵
（2） 用（ 0）乘E的第i行（列）所得之矩阵
将E的j行（i列）的倍加到i行（j列）上去（ i j）所得之矩阵 （3）
引理：对矩阵 A (aij )mn 施行某一初等行（列）变换，其结果等于对A左 （右）乘一个相应的m阶（n阶）初等矩阵。
例3
1 2 3 1 3 2 1 , C 2 0 , 设 A 2 2 1 , B 5 3 3 4 3 3 1
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法来源：文都教育在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。
初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。
下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。
一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法1、用初等行变换求逆矩阵1A -：对(,)A E 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1(,)(,)rA E E A -→，由此即求得1A -；2、用初等列变换求逆矩阵1A -：求1A -也可用初等列变换，对A E ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1c A E E A -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此即求得1A -；3、用初等行变换求1A B -：对(,)A B 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1A B -，即1(,)(,)rA B E A B -→，由此即求得1A B -；4、用初等列变换求1BA -：对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1BA -，，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此1BA -此即求得1BA -.上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取B E =即得1）和2）。
下面只要证明3）和4）即可。
证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等行变换得到单位矩阵E 相当于A 左乘一个可逆阵P ，使PA E =，这时1P A -=，1(,)(,)(,)(,B)P A B PA PB E PB E A -===，即1(,)(,)rA B E A B -→；4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等列变换得到单位矩阵E 相当于A 右乘一个可逆阵P ，使AP E =，这时1P A -=，1A AP E P B BP BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.二、典型实例例1.设011111112A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求1A -.解：作初等行变换：011100111010(,)111010011100112001021011r rA E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1111010100312011100010111(,)001211001211rr E A -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故1312111211A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.例2.解矩阵方程211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭.解：记上面的方程为XA B =，因为0A ≠，所以A 可逆，1X BA -=，对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换得：211121100210120101111111130113113132432342325c cc A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→→--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110010110101001103121221123282352355333c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→→- ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故122182533X BA --⎛⎫⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭. 矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方法，大家一定要熟练掌握。
2_4_2等价矩阵、用初等行变换求逆矩阵
所以
11 7 6 6 1 3 X= 2 2 5 13 6 6
解法一 由AX=B可得X=A－1B, 所以
17 2 5 1 1 7 11 1 1 X 6 9 0 3 0 3 6 3 9 7 2 1 2 0 5 13
解法二 由AX=B可得X=A-1B,
11 1 2 1 1 1 r 2 r r 1 0 0 7 6 6 r2 ( 1) 3 r3 1 2 3 3 1 3 1 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 0 0 1 5 13 0 0 1 5 13 6 6 6 6
2－4－2 等价矩阵、
用初等行变换求逆矩阵
定义2.5 若矩阵A可以经过有限次初等变换化为矩阵
B, 则称矩阵A与矩阵B是等价的。
矩阵的等价性具有下列三个性质 （ⅰ）反身性: 任何矩阵都与自身等价; （ⅱ）对称性: 若矩阵A与B等价, 则B与A也等价; （ⅲ）传递性: 若矩阵A与B等价, 且B与C也等价, 则A 与C也等价. 推论 矩阵A与B等价的充分必要条件是存在有限个初 等矩阵P1, P2, …,Pl和Q1, Q2, …,Qt, 使得 A=Pl…P2P1BQ1Q2…Qt
1 1 2 0 1 6 3 r1 +r3 0 1 0 3 2 0 0 0 1 7 1 6 3 5 1 r 2r 1 0 0 17 6 3 6 1 2 3 1 1 0 1 0 0 2 2 2 1 0 0 1 7 1 1 6 6 3 6 1 6
所以有:
5 1 17 6 3 6 3 1 1 A 2 0 2 7 1 1 6 3 6
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用矩阵初等变换逆矩阵
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。
李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。
作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。
下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。
用矩阵的初等变换求逆矩阵
一、问题提出
在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃）
二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）
我们已学习了矩阵初等变换的性质，如
1.定理
2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。
即
4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）
由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么
（2）
由（1）式 代入（2）式左边，
上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置
变换为我们所要求的1
A -,即
21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P
P P P EQ Q Q Q R R R ----------=⇒=∆L L L L L 111
21m R R R A E
---=L 111121m R R R A ----=L ()
()
1
22n n
n n
A E E A -⨯⨯−−−−−→ 1*
1A A A -=(
)()()
1111A A E A A A E E A ----==1111
21m A R R R ----=L (
)()
1
111
21m R R R A E E A ----=L
三，讲解例题
1. 求逆矩阵方法的应用之一 例
解：
四，知识拓展
2．求逆矩阵方法的应用之二
利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置不能变换为单位阵E ，那么A 不可逆。
例
解：
而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A 不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三
利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”）
1
112120,113A A -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪
⎝⎭
设求。
112100120010113001A E ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
（）2131r r r r +-1121
000321
10001101⎛⎫
⎪−−→ ⎪
⎪-⎝⎭
110302030312001101⎛-⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭
132322r r r r --3021101201013
30011
1⎛⎫
- ⎪−−→- ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
31
3r 14233100
120101
33001101⎛⎫-- ⎪ ⎪→- ⎪
⎪- ⎪⎝
⎭
12
r r
-11423312133101A -⎛⎫--
⎪ ⎪⇒=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112122145,41211111A A ----⎛⎫
⎪
-
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
设求。
12121000214501004121001011110001A E ⎛---⎫ ⎪- ⎪=
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（）12121000036921000969401001231001⎛---⎫
⎪- ⎪→ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
12121000000011030969401001231001⎛---⎫
⎪
-
⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求1A - ，然后求X ＝1A -B 。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1A -就是求解矩
阵方程 的解，而对一般的矩阵方程 只要将 中的E 换成B ，然后利用初等行变换，即
其中的1A -B 即为所求矩阵方程 的X 。
例
解：
五、小结
1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、 解矩阵方程
2.思考：若XA=B ，如何用初等变换法求X?
贺建辉 2007-11-21
AX E =
AX B =AX B =()
A E ()
()
1
22n n
n n
A B E A B
-⨯⨯−−−−−→ AX B =123252213134343A B AX B X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设，，若，求。
123252213134343A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）1232502519026212⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪----⎝⎭102140251900113⎛--⎫
⎪
→---- ⎪
⎪---⎝⎭100320204600113⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪---⎝⎭100320102300113⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭
1
32X 2313A B -⎛⎫ ⎪⇒==-- ⎪
⎪⎝⎭。