(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵求解方式
逆矩阵求解方式简介在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要的概念。
一个方阵A的逆矩阵记作A-1，满足A·A-1=I，其中I是单位矩阵。
求解逆矩阵的方法有多种，本文将介绍几种常用的方法。
具体方法1. 初等行变换法初等行变换法是一种常用的求解逆矩阵的方法。
具体步骤如下：1.将待求逆矩阵A和单位矩阵I合并成一个增广矩阵(A|I)。
2.对增广矩阵进行初等行变换，使得(A|I)变为(I|B)。
3.如果A存在逆矩阵，则B就是它的逆矩阵。
初等行变换包括以下三种操作：•交换两行：将第i行与第j行互换。
•数乘某一行：将第i行所有元素都乘以一个非零常数k。
•某一行加上另一行的k倍：将第j行所有元素都加上第i行对应元素的k倍。
通过多次进行这些操作，可以将增广矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右半部分就是原矩阵的逆矩阵。
2. 初等变换法初等变换法是一种与初等行变换法类似的方法。
具体步骤如下：1.将待求逆矩阵A和单位矩阵I合并成一个增广矩阵(A|I)。
2.对增广矩阵进行初等变换，使得(A|I)变为(I|B)。
3.如果A存在逆矩阵，则B就是它的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：•交换两列：将第i列与第j列互换。
•数乘某一列：将第i列所有元素都乘以一个非零常数k。
•某一列加上另一列的k倍：将第j列所有元素都加上第i列对应元素的k倍。
通过多次进行这些操作，可以将增广矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的左半部分就是原矩阵的逆矩阵。
3. 公式法对于一个二维方阵A，如果其行列式不为零，则可以通过公式求解其逆矩阵。
公式如下：A-1 = (1/|A|)·adj(A)其中，|A|表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算方法如下：•对于A的每个元素aij，计算它的代数余子式Aij。
•将所有的代数余子式按照一定规律填入一个新的矩阵，这个新矩阵就是伴随矩阵adj(A)。
对于高维方阵来说，公式法求解逆矩阵会比较复杂，涉及到更多的行列式和代数余子式的计算。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。
本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。
首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。
然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。
最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。
方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。
方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。
例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。
以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。
在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
求矩阵逆矩阵的常用方法
求矩阵逆矩阵的常用方法求矩阵逆矩阵是线性代数中的一个重要问题。
在实际应用中，常常需要对矩阵进行逆矩阵的计算，以便进行某些后续操作。
以下是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法:1. 伴随矩阵法：如果矩阵 A 可逆，则其伴随矩阵 A^(-1) 也是存在的。
实际上，A^(-1) = A^(-T),其中 A^(-T) 表示 A 的逆矩阵的转置矩阵。
伴随矩阵法简单易行，但是要求矩阵 A 必须可逆。
2. 初等行变换法：对于任意矩阵 A，可以通过初等行变换将其化为行简化梯矩阵的形式。
如果左边子块是单位矩阵 E，则矩阵 A 可逆，且其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[E - (A^T)A]。
这里，(A^(-T))[E - (A^T)A] 表示将 A 的逆矩阵插入到单位矩阵 E 和 A 的伴随矩阵A 之间的矩阵。
初等行变换法适用于大多数矩阵，但是需要对矩阵进行多次行变换，因此计算效率较低。
3. 列主元消元法：对于矩阵 A，可以通过列主元消元法将其化为行阶梯形式。
如果矩阵 A 的行主元不为 0，则其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[(A^T)A - EE^T]。
这里，EE^T 表示矩阵 A 的列主元部分，(A^(-T))[(A^T)A - EE^T] 表示将矩阵 A 的逆矩阵插入到行阶梯形式的矩阵 A 的列主元和主元部分之间的矩阵。
列主元消元法适用于矩阵 A 为非方阵的情况，但是要求矩阵 A 的行主元不为 0。
以上是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法。
不同的矩阵可以通过不同的方法来求其逆矩阵，选择适合该矩阵的方法可以有效地提高计算效率。
此外，对于一些特殊的矩阵，可能存在更高效的算法。
学年论文逆矩阵的几种求法与解析
逆矩阵的几种求法与解析王红斌指导教师:袁晓红(河西学院数学与应用数学专业2012级3班32号, 甘肃张掖734000)摘要矩阵在线性代数中有很重要的地位,矩阵理论具有十分丰富的内容,它是学习数学与其他学科的基础,为了更便捷地解决矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法,并对部分进行了简要论证.关键词逆矩阵;分块矩阵;初等变换;伴随矩阵中图分类号O151.21Several ways of solution and analysis of Inverse MatrixWang Hongbin Instructor Yuan Xiaohong(No.32 class 3 of 2012, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, He Xi University, Zhangye,Gansu 734000)Abstract:In order to solve the inverse matrix more convenient, This paper according to the different characteristics of different matrix which simply introduced several methods, there are definition method, adjoint matrix method, elementary transformation method, as well as a brief argumentation on it partly. Keywords: Inverse matrix ;Partitioned matrix;Elementary transformation;Adjoint matrix1 引言矩阵是高等代数的主要研究对象之一,在自然科学、工程技术乃至社会科学中均广泛应用.而矩阵的逆矩阵在矩阵理论中又有着重要地位,由于其解法灵活,综合性较强,能力要求较高,解决这类问题,要掌握各数学分支知识,并能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.在数学上,灵活运用从特殊到一般的思想,可以使很多难以解释的问题得到很好的解决.关于矩阵的逆,在高等代数和线性代数的学习中就有了一定的认识,如何求逆矩阵一直是研究者探讨的问题.本文重点总结了常见的几种求逆矩阵的方法,并对其原理和应用范围进行简单的说明.不同矩阵的逆矩阵可用不同的方法来求,从而达到简便易求的目的.2 预备知识2.1 几个定义定义1[1] 设A 是一个n 阶矩阵,如果存在n 阶矩阵B ,使得AB BA E ==,则称矩阵A 是可逆矩阵,并称B 是A 的逆矩阵.定义2[4] 通常用若干条纵线和横线将矩阵A 分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为A 的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例如11122122702010141500506A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎪-⎝⎭, 其中四个分块分别是117001A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,12203415A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()21=0,0A ,()225,0,6A =-.定义3[9] 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调矩阵的两行(对调,i j 两行,记为i j r r ↔);(2)以数0k ≠乘某一行中的所有元素(第i 行乘k ,记为i r k ⨯);(3)把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去(第j 行的k 倍加到第i 行上,记为i j r kr +).把定义中的“行”换成“列”,即得到矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r ”换成“c ”).矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换. 2.2 几个定理定理1[4] n 阶矩阵()ij a A =为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且1121111222212 (1)...............n n n n nn A A A A A A A A A A A -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭, 其中ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式.矩阵112111222212.....................n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ 称为矩阵A 的伴随矩阵,记作*A ,于是有1*1A A A-=. 定理2[6] 如果n 阶矩阵1112111222120=000n n n n nn t t t t t t t T t --⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭可逆,那么它的逆矩阵是111111121211111111112221212200000n n n n n n n n t t a t a t a t t a t a T ------------⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中()111111,2,,1ii i i ii a t t i n -++++=-⨯=-,()111,2,,2,3,4,,ij jj jj kj ik kki k ja t t a tti n j n --<<=-⨯-=-=∑.3 求逆矩阵的几种方法3.1 用定义法求逆矩阵例1[8] 求证如果方阵A 满足=0K A ,那么E A -是可逆矩阵,且()121K E A E A A A ---=++++.证明 因为E 与A 可以交换, 所以()()21K K E A E A A A E A --++++=-,因0K A =,于是得()()21K E A E A A A E --++++=,同理可得()()21K E A AA E A E -++++-=,因此E A -是可逆矩阵,且()121K E A E A A A ---=++++,同理可以证明()E A +也可逆,且()()1121+--1K K E A E A A A ---=+++.由此可知, 只要满足0K A =,就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设0100020000030000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求E A -的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零,考虑K A 是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例1的方法求E A -的逆矩阵.解 容易验证20020000600000000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,3006000000000000A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭,40A = 而()()23E A E A A A E -+++=,所以()1231126012600130001E A E A A A -⎛⎫⎪⎪-=+++= ⎪⎪⎝⎭.3.2 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵,特别是在方阵阶数较高时,常用初等变换法.如果A 可逆,则A 可通过行初等变换,化为单位矩阵I,即存在初等矩阵S P P P ,,21 使12s =I PP P ⋅⋅⋅, (1)用1A -右乘上式两端,得112sI=A PP P -⋅⋅⋅. (2) 比较(1)、(2)两式,可看到当A 通过行初等变换化为单位矩阵的同时,对单位矩阵I 作同样的初等变换,就化为A 的逆矩阵1A -.用矩阵表示()()1A I I A -−−−−→初等行变换,就是求逆矩阵的初等行变换法. 例3[5] 已知矩阵231013125A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求-1A .解 由()314|100014|130100|010100|010215|001015|021001|151001|151100|010100|010015|121010|5234100|010010|5234001|151A I ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭， 于是1010=5234151A -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭.在事先不知n 阶矩阵是否可逆的情况下,也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0,则意味着A 不可逆,则说明A 不可逆,即0A =,则不存在.例4 求123456789A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解()123100123100=4560100364107890010612701123100036410000121A I ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪-⎝⎭，由于左端矩阵中有一行元素全为0,于是它不可逆,因此A 不可逆.注意:上面是用作行初等变换求逆矩阵;同样只用初等列变换也可以求逆矩阵,但在计算时单位矩阵I 不放在A 的右边,而是放在A 的下面.用矩阵表示:1A I I A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换.就是求逆矩阵的初等列变换法.3.3 用伴随矩阵去求逆矩阵用伴随矩阵求逆矩阵法,主要是求出矩阵的行列式以及它的伴随矩阵. 例5 判断矩阵123221343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 是否可逆?若可逆,求出1A -.解 因为20A =≠所以A 可逆. 又1112132122233132332,32,66,2452A A A A A A A A A ==-===-==-==-，，，，，，所以1*26411365222213235=3.22111A A A --⎛⎫ ⎪==-- ⎪⎪-⎝⎭-⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭用此方法求逆矩阵,对于小型矩阵,特别是二阶方阵求逆既方便、快捷,又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵,只需要将主对角线元素的位置互换,次对角线的元素变号即可.3.4 分块矩阵求逆矩阵法命题1[5] 设,,,A D C 分别是m m n n n m ⨯⨯⨯，，矩阵,,A D 均可逆,则1111100A A C D D CAD -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 证明 由m 1n 0000EA A CA E C D D -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,两边求逆得11m 1n 00-E A CAE C D ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=0A D --⎛⎫⎪⎝⎭, 即11m11n 0000E A A CAE C D D ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=11110A D CA D ----⎛⎫⎪-⎝⎭. 同理可求出0,,00A C A CA D D C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的逆矩阵,故对大型且可划分为以上的分块矩阵.可用此法求逆矩阵.例6[5] 设500031021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求1A -.解1250000310021A A A ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭, ()15A =,()115A -=; 23121A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121123A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭;所以111221005011023A A A ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==-⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭. 命题2 设0000A B M EC D ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中A E 、、D 分别为n 阶、m 阶、s 阶方阵,B C 、分别为n s ⨯和s n ⨯矩阵,设A E 、可逆,则M 可逆1D CA B -⇔-可逆. 这时()()()()11111111111111100A AB D CA B CA A B D CA B M E D CA B CA D CA B ---------------⎛⎫+--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭. 证明 考虑1100000000000n nm m s s I A B I A B I E I CA I C D I --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11100000000000|00|0,00|A BI A B E I D CA B I A E D CA B ---⎛⎫-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪= ⎪---- ⎪-⎝⎭故,A B 可逆,M 可逆1D CA B -⇔-可逆()()()1111111111111111111110000000000000000000000000000n nm m s s nm s I A B A I M I EI I D CA B CA I A A B D CA B I E I D CA B CA I A A B D CA B CA A B D CA B E D C ---------------------⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭+---=--()()11111.0A B CA D CA B -----⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭例7 求矩阵1100112010003000102110011M ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解 分析:这个矩阵经过仔细观察,它正好可以写成命题2中M 的形式,故可将M 分块为11|0|0112|0|1000|3|0001|0|2110|0|11⎛⎫⎪⎪ ⎪------- ⎪ ⎪ ⎪------- ⎪⎪ ⎪⎝⎭可以表示为0000A B M EC D ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭型. 因为11211,,113A E ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭令1211112111221T D CA B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭可逆,所以也M 可逆.并且112552155T -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,由命题2,得111111111110000A A BT CA A BT M E T CA T -----------⎛⎫+- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 又1111117122155551174215555A A BT CA ----⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1131554355T CA --⎛⎫- ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,1134551355A BT --⎛⎫- ⎪-=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭, 1123405555211305555100003311205555432105555M -⎛⎫-- ⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪=⎪⎪⎪-⎪ ⎪--⎪⎝⎭.对矩阵分块时,应知道是按行分块还是按列分块. 3.5 三角矩阵的一种求逆法三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角线元素非零,且其逆矩阵仍为同结构的三角矩阵.其主对角线元素为为原主对角线元素的倒数.例8 求上三角阵1314012200120002A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵. 解 根据上定理可求得111222122333233,2a t t a t t --=-⨯=-=-=-,111333132312225a t t a t t --=--=,13444341a t t -=-=-, 112444242423331a t t a t t --=--=, ()1111444142412223413334a t t a t t a t t ---=--+=-,因此113540121001110002A ---⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭.如果A 是下三角矩阵,则T A 为上三角矩阵.根据逆矩阵的性质:()()11TTA A --=,再根据定理3可求三角矩阵A 的逆矩阵.3.6 利用线性方程组求逆矩阵若n 阶矩阵A 可逆,则1AA E -=,于是1A -的第i 列是线性方程组1AX X =[7]的解,1,2,,i n =,1X 是第i 个分量是1的单位向量.因此,我们可以去解线性方程组AX B =,其中()12,,,Tn B b b b =,然后把所求得的解的公式中的12,,,n b b b 分别用()1=1,0,00X ，，,()20,1,0,,0X =,,()0,0,0,,1n X =代替,便可以求得1A -的第1,2n ，，列,这种方法在某些时候可能比初等变换法求逆矩阵稍微简一点.下面例子说明该方法的应用.例9[1] 求矩阵310000310000310********3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵. 解 设()1,2345,,,TX x x x x x =,()12345,,,,TB b b b b b =解方程组AX B =,即121232343454553,3,3,3,3.x x b x x b x x b x x b x b +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪=⎪⎩解得543212345112345123454321234223452345321233345345212445451553(3333)33333,3(333)3333,3(33)333,3(3)33,3.x b b b b b b b b b b x b b b b b b b b x b b b b b b x b b b b x b -------------------⎧=-+-+=-+-+⎪=-+-=-+-⎪⎪=-+=-+⎨⎪=-=-⎪⎪=⎩ 然后把()12345,,,,B b b b b b =列,分别用()1=1,0,0,0,0ε,()2=0,1,0,0,0ε,()3=0,0,1,0,0ε,()4=0,0,0,1,0ε,()5=0,0,0,0,1ε代入,得到矩阵1A -的第1,2,3,4,5列,分别为()113,0,0,0,0Tx -=,()2123,3,0,0,0Tx --=--,()32133,3,3,0,0Tx ---=-,()432143,3,3,3,0Tx ----=--,()5432153,3,3,3,3Tx -----=--,123451234112312133333033330033300033003A ----------------⎛⎫-- ⎪-- ⎪ ⎪=- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.这种方法特别适用于线性方程组AX B =比较容易求解的情形.4 小结以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识,也许有很多的不当之处,我希望我的这篇文章能给大家带来帮助,能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时,它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识,认真掌握它,可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.致谢 感谢袁晓红老师的精心指导.参 考 文 献[1]北京大学数学系.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社,2004.[2]李林署,施光燕.大学数学(线性代数)[M].中央广播电视大学出版社,2002. [3]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1999. [4]王永葆.线性代数[M].长春:东北大学出版社,2001.[5]杨子胥.高等代数习题集[M].济南:山东科学技术出版社,1984.[6]陈逢明.分块矩阵的初等变换及其应用[J].福建商业高等专科学校学报,2005,4(5).[7]杨明顺.三角矩阵求逆的一种方法[J].渭南师范学院学报.2003[8]丘维声.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2001.[9]赵树原.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,1997.. ..。
12-逆矩阵的求法3-4
方法二： 初等变换法。
A可逆 A 可逆, A
1
1
P 1P 2 P s
P 1P 2 P sA E 1 P 1P 2 P sE A
( A E ) ( E A )
行变换
1
方法三：用定义求。 定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使
E Ak E
练 习
设 A，B 为 n 阶方阵，且 E AB 与 E BA 均可逆， 证明 ( E BA)1 E B( E AB)1 A.
证 因为
( E BA 〔 ) E B( E AB) 1 A〕
E BA ( E BA) B( E AB) A E BA ( B BAB )( E AB) A
方法三：用定义求。 对n阶方阵A，只需找到一个n阶矩阵B，使 AB=E或者BA=E就行了。
行变换
1
方法四：用定义证明B为A的逆。
也就是证明等式AB=E成立或者BA=E成立。
E BA B( E AB)( E AB) 1 A
1
1
E BA BA E
故 ( E BA) 1 E B( E AB) 1 A.
方法二： 初等变换法。
逆阵的求法 1 1 方法一： 用A 求。 A A A
( A E ) ( E A )
解 由 2 A( A E ) A3，得
A3 2 A2 2 A 0,
所以
从而有
(A3 E ) (2 A2 2 A) E,
( E A)( A2 A E ) E.
即
( E A) A A E.
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是一个矩阵的逆操作，即找到一个矩阵，与原矩阵相乘后得到单位矩阵。
逆矩阵在线性代数中具有重要的应用，比如求解线性方程组、计算矩阵的行列式等。
在实际应用中，常用的求解逆矩阵的方法包括：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
第一种方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它存在逆矩阵。
首先计算矩阵A的伴随矩阵，记作Adj(A)，然后用伴随矩阵除以原矩阵A的行列式，即可得到逆矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式det(A)；2. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中第i行第j列的元素等于原矩阵A的代数余子式Aij的行列式乘以(-1)^(i+j)；3. 将伴随矩阵Adj(A)的每个元素除以原矩阵A的行列式det(A)，得到逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/det(A)。
第二种方法是初等变换法。
利用矩阵的初等行变换和初等列变换来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个增广矩阵[A,I]；2.对增广矩阵进行行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，同时单位矩阵I经过相同的行变换得到逆矩阵A^(-1)；3.若矩阵A无法通过行变换变为单位矩阵I，则矩阵A不可逆。
第三种方法是分块矩阵法。
将原矩阵A按照其中一种方式进行分块，然后通过对分块矩阵进行运算来求解逆矩阵。
常见的分块矩阵法有Schur补法和Sherman–Morrison公式法，这里以Schur补法为例进行说明。
1.将原矩阵A分解为分块矩阵，例如A=[B,D;E,F]；2.利用矩阵分块的性质求解逆矩阵，A^(-1)=[B^(-1)+B^(-1)D(X-F^(-1)E)B^(-1),-B^(-1)DF^(-1);-F^(-1)EB^(-1),F^(-1)+F^(-1)EHF^(-1)]，其中X=(F-EF^(-1)D)^(-1)；3.若分块矩阵的逆存在，即B可逆、F可逆且B-DF^(-1)E可逆，那么原矩阵A也存在逆矩阵。
求逆矩阵知识点总结
求逆矩阵知识点总结一、定义矩阵的逆是指存在一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。
具体来说，如果矩阵A的逆矩阵存在，我们用A^-1来表示它，那么矩阵A的逆矩阵定义为满足下式的矩阵B：A *B = B * A = I其中，I是单位矩阵。
二、求解方法1. 初等变换法利用行初等变换把矩阵A转换为单位矩阵，所做的初等行变换同时作用于一个相同次序的单位矩阵，然后将单位矩阵转换得到的矩阵即是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法对于n阶方阵A，它的伴随矩阵定义为其每个元素的代数余子式。
A的伴随矩阵记作Adj(A)，则有A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A)，其中det(A)是A的行列式。
3. 初等矩阵法对于矩阵A，构造一个n阶单位矩阵In，然后对In进行一系列的乘法和加减操作所得到的新矩阵记为B，如果B=A^-1，则B就是矩阵A的逆矩阵。
三、性质1. 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵A有逆矩阵，那么这个逆矩阵是唯一的。
也就是说，如果存在矩阵B和C，使得A*B=I和A*C=I，那么B=C。
2. 若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且有(A*B)^-1=B^-1*A^-13. (A^-1)^-1 = A4. (A^T)^-1 = (A^-1)^T5. 行列式为0的矩阵没有逆矩阵。
四、应用求逆矩阵在实际应用中有着广泛的作用，其中包括但不限于以下几个方面。
1. 线性方程组求解线性方程组Ax=b时，如果A是可逆矩阵，则可以直接用逆矩阵求解：x=A^-1*b。
2. 信号处理在信号处理领域中，矩阵的逆可以用来解决信号的解耦、滤波等问题。
3. 机器学习矩阵的逆在机器学习中也有重要的应用，比如用于参数的最小二乘估计以及矩阵分解等问题。
4. 几何变换在计算机图形学和几何变换领域，矩阵的逆可以用来表示坐标点的逆向变换。
总结求逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，有着广泛的应用。
本文从定义、求解方法、性质和应用等方面对求逆矩阵的知识点进行了总结，希望能帮助读者更好地理解和应用这一概念。
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逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1 计算（A+4E ）T （4E-A ）1-（16E-A 2）的行列式，其中 A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-141021001 解 令 )16()4()4(21A E A E E A T --+-=DD=)16()4()4(21A E A E E A T --+- =)4)(4()4()4(1A E A E A E A E T +--+-=T A E A E )4)(4(++=2)4(A E +.虽然题目中出现了（4E-A ）1-.但是经过化简之后不再出现此式，因此得D=24A E -=22500.例2 已知 n 阶矩阵A 满足A 2+2A-3E=0.求证：A+4E 可逆并求出A+4E 的逆. 证明 把A 2+2A-3E=0变形为A 2+2A-8E=5E ，即（A+4E ）（A-2E ）=-5E ，可得（A+4E ）（-A/5+2E/5）=E ，所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使（A+4E ）B=E ，由定义得A+4E 可逆，且（A+4E ）1-=B=-A/5+2E/5.另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而不必急于求出逆矩阵.6．利用线性方程组求逆矩阵若n 阶矩阵A 可逆，则A A 1-=E ，于是A 1-的第i 列是线性方程组AX=E 的解，i=1,2,…,n,E 是第i 个分量是I 的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B ， 其中B=（b 1,b 2,…,b n ）T , 然后把所求的解的公式中的b 1,b 2,…,b n 分别用E 1=（1,0,0,…,0）， E 2=（0,1,0,…,0），……，E n =(0,0,0, (1)代替，便可以求得A 1-的第1，2，…n 列，这种方法在某些时候可能比初等变换法求逆矩阵稍微简一点.下面例子说明该方法的应用.例 求矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3000013000013000013000013的逆矩阵.解 设X=（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）T ,B=(b 1,b 2,b 3,b 4,b 5)T 解方程组 AX=B ，即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+5545434323212133333b x bx x b x x b x x b x x 解得： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=-+-=+-+-=-----51554245432335432234254322314513)3(3)33(3)333(3)3333(3b x b b x b b b x b b b b x b b b b b x 然后把B=（b 1,b 2,…,b n ）列，分别用E 1=（1,0,0,…,0）， E 2=（0,1,0,…,0），……，E n =(0,0,0, (1)代入，得到矩阵A 1-的第1，2 ，3，4，5列，分别用x 1=(13-,0,0,0,0)T , x 2=(32-,13-,0,0,0)T , x 3=(33-,32-,13-,0,0)T ,x 4=(34-,33-,32-,13-,0)T , x 5=(35-,34-,33-,32-,13-)TA 1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------------1213214321543213000033000333003333033333. 这种方法特别适用于线性方程组AX=B 比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法.以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.参 考 文 献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2001.[2] 杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法[J ]. 渭南师范学院学报, 2003. [3] 丘维声. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001.[4] 杨子胥. 高等代数习题集[M] . 济南:山东科学技术出版社,1984. [5] 赵树原. 线性代数[M] . 北京:中国人民大学出版社,1997. [6] 李宗铎. 求逆矩阵的一个方法[ J ] . 数学通报,1983.[7] 贺福利等. 关于矩阵对角化的几个条件[J ] . 高等函授学报(自然科学版) ,2004 , (1)[8] 张禾瑞.郝炳新.高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社.1999. [9] 王永葆. 线性代数[M].长春：东北大学出版社.2001.[10] 同济大学遍.线性代数（第二版）. 北京: 高等教育出版社，1982. [11] 王萼芳，丘维声编，高等代数讲义. 北京大学出版社，1983. [13] 华东师范大学数学系编.数学分析.人民教育出版社，1980[14] 杜汉玲 求逆矩阵的方法与解析 高等函授学报(自然科学版) 第17卷第4期2004年8月[15] 苏敏逆矩阵求法的进一步研究河南纺织高等专科学校学报，2004 年第16卷第2 期。