逆矩阵的几种常见求法
逆矩阵求解方式
逆矩阵求解方式简介在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要的概念。
一个方阵A的逆矩阵记作A-1，满足A·A-1=I，其中I是单位矩阵。
求解逆矩阵的方法有多种，本文将介绍几种常用的方法。
具体方法1. 初等行变换法初等行变换法是一种常用的求解逆矩阵的方法。
具体步骤如下：1.将待求逆矩阵A和单位矩阵I合并成一个增广矩阵(A|I)。
2.对增广矩阵进行初等行变换，使得(A|I)变为(I|B)。
3.如果A存在逆矩阵，则B就是它的逆矩阵。
初等行变换包括以下三种操作：•交换两行：将第i行与第j行互换。
•数乘某一行：将第i行所有元素都乘以一个非零常数k。
•某一行加上另一行的k倍：将第j行所有元素都加上第i行对应元素的k倍。
通过多次进行这些操作，可以将增广矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右半部分就是原矩阵的逆矩阵。
2. 初等变换法初等变换法是一种与初等行变换法类似的方法。
具体步骤如下：1.将待求逆矩阵A和单位矩阵I合并成一个增广矩阵(A|I)。
2.对增广矩阵进行初等变换，使得(A|I)变为(I|B)。
3.如果A存在逆矩阵，则B就是它的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：•交换两列：将第i列与第j列互换。
•数乘某一列：将第i列所有元素都乘以一个非零常数k。
•某一列加上另一列的k倍：将第j列所有元素都加上第i列对应元素的k倍。
通过多次进行这些操作，可以将增广矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的左半部分就是原矩阵的逆矩阵。
3. 公式法对于一个二维方阵A，如果其行列式不为零，则可以通过公式求解其逆矩阵。
公式如下：A-1 = (1/|A|)·adj(A)其中，|A|表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算方法如下：•对于A的每个元素aij，计算它的代数余子式Aij。
•将所有的代数余子式按照一定规律填入一个新的矩阵，这个新矩阵就是伴随矩阵adj(A)。
对于高维方阵来说，公式法求解逆矩阵会比较复杂，涉及到更多的行列式和代数余子式的计算。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。
本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。
首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。
然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。
最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。
方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。
方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。
例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。
以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。
在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。
求矩阵的逆的方法
求矩阵的逆的方法矩阵的逆是一种非常重要的数学运算，在数学的各个领域都有许多重要的应用。
例如，在线性代数中，求矩阵的逆是解决线性方程组、矩阵方程的关键步骤，在各种计算机科学领域中也被广泛应用，如图形处理、数据挖掘、网络优化等。
因此，学习并掌握如何求矩阵的逆是非常有必要的。
本文将介绍三种常见的求矩阵的逆的方法：行列式法、伴随矩阵法和高斯消元法。
一、行列式法求矩阵的逆有时可以使用行列式法。
行列式法需要先求出矩阵的行列式，再求出矩阵的伴随矩阵，最后将伴随矩阵除以行列式就可以得到矩阵的逆。
先来看如何求一个 2x2 的矩阵的逆。
设矩阵 $A = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$，则矩阵$A$ 的逆为：$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix} $$其中，$ad-bc$ 不能为零。
如果该式成立，则 $AA^{-1} = A^{-1} A = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。
对于一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$，它的逆可以通过行列式法来计算。
如果 $A$ 可逆，即 $det(A) \neq 0$，其中 $det(A)$ 表示 $A$ 的行列式，则 $A$ 的逆为：$$ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A) $$其中 $adj(A)$ 表示 $A$ 的伴随矩阵，$adj(A)$ 的元素 $A_{ij}$ 等于 $A$ 的代数余子式 $A_{ij}$ 的符号变号：$$ adj(A)=\begin{bmatrix}A_{11} & -A_{21}&\cdots & (-1)^{1+n}A_{n1}\\ -A_{12} & A_{22}&\cdots & (-1)^{2+n}A_{n2} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ (-1)^{n+1}A_{1n} & (-1)^{n+2}A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} $$然后，如果 $det(A)=0$，表示矩阵 $A$ 不可逆，我们称之为奇异矩阵。
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B， 其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
T -1 2
解
令
( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) =D
D= ( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) = (4 E + A) T (4 E - A) -1 (4 E - A)(4 E + A) = (4 E + A)(4 E + A) T = (4 E + A) . 虽然题目中出现了（4E-A） -1 .但是经过化简之后不再出现此式，因此得 D= 4 E - A =22500. 例2 证明 已知 n阶矩阵A满足A 2 +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
5.恒等变形法
4
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论 推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA -1 =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1
é 1 0 0ù ú 计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A= ê ê- 1 2 0ú ê ë 1 4 1ú û
初等行变换 用矩阵表示（A I） ¾¾ ¾¾® 为（I A -1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）= E + A + A +…+A 1-21-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A +…+ A )= E-A ,21-K K 因A = 0 ,于是得 K (E-A)（E+A+A +…+A ）=E ，21-K 同理可得（E + A + A +…+A ）(E-A)=E ，21-K 因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)= E + A + A +…+A .1-21-K 同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)= E -A + A +…+（-1）A .1-21-K 1-K 由此可知, 只要满足A =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.K ±例2 设 A =,求 E-A 的逆矩阵.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以K 采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A =， A =， A =02⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000000600002003⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006004而 (E-A)(E+A+ A + A )=E,所以23(E-A)= E+A+ A + A =.1-23⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10003100621062112.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵使S P P P ,,21 （1）A=I ，用A 右乘上式两端，得：s p p p 211- （2） I= A s p p p 211-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A .1-用矩阵表示（A I ）为（I A ），就是求逆矩阵的初等行变换法，−−−→−初等行变换1-它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A =.1-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明=0，则A 不存在.A 1-例2 求A=.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321 .→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且ij A =1-A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A 是中元素a 的代数余子式.ij A ij 矩阵称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A ，于是有A = A .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A AA A A (2122212)1211131-A 13证明 必要性：设A 可逆，由A A =I ，有=，则=，所以1-1-AA I A 1-A I A0，即A 为非奇异.≠充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=，A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111===I A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1...00...1......0...100...01同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A =A .1-A13用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA =I 来检验.一1-旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，且A 为n 阶方阵，A 为m 阶方阵11221122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为==0, 所以A 可逆.A 22110A A 11A 22A ≠设A =，于是有=,1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00其中 X A =I ， Y A =0，Z A =0，W A =I .又因为A 、A 都可逆，用11n 221122m 1122A 、A 分别右乘上面左右两组等式得：111-122-X= A ，Y=0，Z=0，W= A 111-122-故 A = 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：=121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 、A 都是非奇异矩阵，则有1122=12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 证明 因为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得=1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 =1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A 同理可证=12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA =E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
求矩阵逆矩阵的常用方法
求矩阵逆矩阵的常用方法求矩阵逆矩阵是线性代数中的一个重要问题。
在实际应用中，常常需要对矩阵进行逆矩阵的计算，以便进行某些后续操作。
以下是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法:1. 伴随矩阵法：如果矩阵 A 可逆，则其伴随矩阵 A^(-1) 也是存在的。
实际上，A^(-1) = A^(-T),其中 A^(-T) 表示 A 的逆矩阵的转置矩阵。
伴随矩阵法简单易行，但是要求矩阵 A 必须可逆。
2. 初等行变换法：对于任意矩阵 A，可以通过初等行变换将其化为行简化梯矩阵的形式。
如果左边子块是单位矩阵 E，则矩阵 A 可逆，且其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[E - (A^T)A]。
这里，(A^(-T))[E - (A^T)A] 表示将 A 的逆矩阵插入到单位矩阵 E 和 A 的伴随矩阵A 之间的矩阵。
初等行变换法适用于大多数矩阵，但是需要对矩阵进行多次行变换，因此计算效率较低。
3. 列主元消元法：对于矩阵 A，可以通过列主元消元法将其化为行阶梯形式。
如果矩阵 A 的行主元不为 0，则其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[(A^T)A - EE^T]。
这里，EE^T 表示矩阵 A 的列主元部分，(A^(-T))[(A^T)A - EE^T] 表示将矩阵 A 的逆矩阵插入到行阶梯形式的矩阵 A 的列主元和主元部分之间的矩阵。
列主元消元法适用于矩阵 A 为非方阵的情况，但是要求矩阵 A 的行主元不为 0。
以上是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法。
不同的矩阵可以通过不同的方法来求其逆矩阵，选择适合该矩阵的方法可以有效地提高计算效率。
此外，对于一些特殊的矩阵，可能存在更高效的算法。
矩阵运算 求逆
矩阵求逆是线性代数中的一个重要概念，通常指的是对于一个给定的方阵，找到一个同样大小的矩阵，使得两者相乘得到单位矩阵。
以下是几种常见的求逆矩阵的方法：
1. 高斯消元法：这是一种通过行变换将矩阵转换为行阶梯形矩阵，然后通过回代求解未知数的方法。
如果矩阵可逆，最终可以通过回代得到其逆矩阵。
2. LU分解法：这种方法将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
如果这样的分解存在，那么矩阵的逆可以表示为U的逆和L的逆的乘积。
3. SVD分解法：奇异值分解（SVD）是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法。
如果矩阵是可逆的，那么它的逆可以通过对分解得到的矩阵进行相应的逆运算得到。
4. QR分解法：这种方法将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。
如果矩阵可逆，那么其逆可以表示为R的逆和Q的转置的乘积。
5. 伴随矩阵法：这是通过计算矩阵的伴随矩阵和行列式的倒数来求逆的方法。
适用于小矩阵或者行列式容易计算的情况。
6. 初等变换法：通过对矩阵进行一系列的初等行变换或列变换，将其转换为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的变换，最终得到的就是原矩阵的逆。
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逆矩阵的几种常见求法潘风岭摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较.关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换．1． 相关知识1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ．定义2 设()ij n n A a ⨯=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为A 的伴随矩阵，记为A *.伴随矩阵有以下重要性质AA *= A *A=A E.注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理设A 是数域P 上的一个n n ⨯矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式，则11122()10n n nnn f A A a a a A A E -=-+++++-=（）（）(证明参见[1]）． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）;1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）；1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）；1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）；1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ⨯矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ⨯初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ⨯初等矩阵.（证明参见[1]）2．矩阵的求逆2.1 利用定义求逆矩阵对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.事实上只需证AB E =或BA E =即可，若AB E =，则ABA A BA E =⇒=，同样可由BA E =得到AB E =.例1 设n 级矩阵A 满足方程220A A E --=，证明2A E +可逆.并求它的逆矩阵()12A E -+.证明 由220A A E --=，得()()3240A E A E E -++=， 即()()1324A E A E E ⎡⎤--+=⎢⎥⎣⎦或()()1234A E A E E ⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦由定义可知，2A E +可逆，且()()11234A E A E -+=--. 例2 设A ，B 是n 级方阵，若A+B 与A-B 可逆，试证明A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，并求其逆矩阵．证明 令A B D B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由假设知0,0A B A B +≠-≠，那么00A B A B B A BBD A B A B B A B A A A B++====+-≠+-， 即D 可逆. 再令12134D D D D D -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由1DD E -=，即123400D D A B ED D B AE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得()1313242410(2)0(3)(4)AD BD E BD AD AD BD BD AD E +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩由（1）+（2）和（1）-（2） 可解得()113113(5)()(6)D D A B D D A B --+=+-=-由（5），（6）解得()()()()11111311,22D A B A B D A B A B ----⎡⎤⎡⎤=++-=+--⎣⎦⎣⎦ 类似由（3），（4）可解得2341,.D D D D ==()()()()()()()()1111111112A B A B A B A B A B B A A B A B A B A B --------⎡⎤++-+--⎛⎫⎢⎥∴= ⎪⎢⎥+--++-⎝⎭⎣⎦. 2.2 利用伴随矩阵*A 求逆矩阵例3 已知112,.10A A -⎛⎫= ⎪⎝⎭求解 因为*02211A A -⎛⎫==- ⎪-⎝⎭，， 所以*011122A A ⎛⎫ ⎪==⎪-⎝⎭-1A2．3 利用初等变换求逆矩阵1A E E A -−−−−→初等行变换（，）（，），（其中E 为单位阵） 有一系列初等矩阵12,,,m P P P ，使得21,mP P PA E = 12121mm A P P P P P PE -∴==把A ，E 这两个n n ⨯矩阵凑在一起，作成一个2n n ⨯矩阵（A ，E ），按矩阵分块的乘法1212121(,)(,)(,)m m mP P P A E P P PA P P PE E A -==. 所以我们在求1A -时，可将A 与E 写成一个n 行2n 列的矩阵只进行初等行变换，当A 化为E 时，E 化为1A -.读者可类似的得出1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换． 例4 设A D C ，，分别是,,m m n n n m ⨯⨯⨯A D 矩阵，，均可逆，则111100A A C D D CA D ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-1=． 证明1111111000000.00m mmn nnA E E A E A C D E D CE D E D CA D -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1111100.A A C D D CAD -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2．4 利用等价标准形求逆矩阵命题 设A 是n 级可逆矩阵，A 的秩等于n ，则存在可逆矩阵B C 与，使11CAB E A C B --==，，故1A BC -=．证明 首先构造矩阵220n nA E D E ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，然后对D 进行有限次初等行变换或列变换后，D 可化为00A E E C D E B ⎛⎫⎛⎫=−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行或列变换，则存在初等矩阵1212m t P P P Q Q Q ，，，，，， 使得21122112mt m t P P PAQQ Q E P P P C QQ Q B ===，，，则11CAB E A C B --==，，.所以1A BC -=.例5 求可逆矩阵131251001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解 构造矩阵得131100100100251010010211001001001001100000131000010000010000001000001000⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1131100532010211211.001001001A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪∴=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．5 利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵设f E A λλ-（）=是A 的特征多项式，若A 可逆，则0A ≠,由11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-=可得1112210n nnn A A a a a E A-⎡⎤-+++++-=⎣⎦n-2（）A （）， 进而可求1A -．例6 设()f x 是x 的复系数多项式，n 级复矩阵A 的特征根都不是()f x 的零点，试证 ()f A 为满秩矩阵，且()f A 的逆矩阵可表示为A 的多项式．证明 设A 的n 个特征根为1,,n λλ，所以()f A 的n 个特征根为1(),,()n f f λλ，由假设可知12()()()()0,n f A f f f λλλ=≠()f A ∴可逆.112110()(())(())(())n n n n E f A f f f b b b λλλλλλλλλλ---=---=++++其中0(1)()0n b f A =-≠，由哈密尔顿—凯莱定理[][]1110()()()0,n n n f A b f A b f A b E --++++=[][]12110001()()()n n n b b f A f A f A E E b b b ---⎧⎫∴----=⎨⎬⎩⎭[][][]11211001()()()n n n b b f A f A f A E b b b ----∴=---- 令1211001()[()][()]n n n b b g x f x f x b b b ---=----即()f A 的逆矩阵可表为A 的多项式()g x .例7 设224232111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，求1A -.证明 A 的特征多项式为32()4710f E A λλλλλ=-=-+-，由哈密尔顿—凯莱定理知32()47100f A A A A E =-+-=因此可得()125216114702410105010A A A E ---⎛⎫⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭.3．总结第一种方法属于一种验证的方法，适用于抽象矩阵A （n 级）的求逆，首先证明存在一个n 级矩阵B 使得AB=E 或BA=E ，则A 可逆，且1A B -=，如例1，对于分块矩阵也可用此方法求逆，不过此时需首先把逆矩阵设出，然后通过解方程组得出B ，如例2.但对于有限级数字矩阵一般不用此方法因为此方法需要首先找到B ，再验证AB=E 或BA=E 是否成立，或首先用待定系数法把1A B -=设出通过解方程组求出B 的所有元素，这样很烦琐且易出错，一般不采用此方法.但对于一些特殊矩阵此方法还是适用的，如求100020003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵，可令110010021003B -⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有AB=E ，则1A B -=．第二种方法只对低级矩阵（特别是2级矩阵）利用伴随矩阵进行计算.对高级矩阵用此方法求逆矩阵，不仅计算量大而且易出错，一般不用此方法，而对于抽象矩阵的求逆一般也不用此方法，因为一般情况下伴随矩阵根本无法求出．第三种方法简单易懂且容易计算，是一种常用方法，但要注意计算时只能进行初等行变换或初等列变换，不能二者同时进行.此方法多用于三级及三级以上的矩阵求逆，对于三级以下的矩阵虽可用此方法，但有时候用伴随矩阵的方法可能会更简单.对于分块矩阵求逆同样可用此方法，不过此时进行的是广义初等变换，如例4.当然也可以先设出逆矩阵E F B G H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用AB E =解方程组得出B ，显然这样有些麻烦，但这种方法也不能解决所有问题，像例1此方法就不适用了．第四种求逆方法在一般教材中很少提到，同时采用初等行和列变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，前面提到的第三种方法只是利用初等行变换或列变换，此方法是第三种方法的推广和延伸.用此方法求逆未必比第三种方法简单，但至少有理论上的意义.第三种方法和第四种方法都是从等价标准形的角度求逆矩阵的.第五种方法对于不超过4级的数字可逆矩阵可用此方法求解，若级数较大则不易计算A 的方幂及前面的系数，故级数较大的一般不用此方法，分块矩阵的求逆一般不用此方法.如证明某一矩阵的逆矩阵可表示另一矩阵的多项式时，一般用此方法，如例6．以上讨论了矩阵求逆的几种常用方法，具体用哪种方法视具体情况而定，对于低级数字矩阵和分块矩阵的求逆，我们首先想到的是利用初等行变换或列变换的方法，即第三种方法，第三种方法是求逆矩阵的最常用的方法.但对于2级数字矩阵用第二种方法较为简单.第一种方法中体现着一种验证的思想，它首先需要找到B ，然后验证AB=E ，才能得出1A B -=，此方法对于数字矩阵的求逆不太方便，但对于某些抽象矩阵的求逆是很方便的.第五种方法利用哈密尔顿—凯莱定理，对于某些特殊矩阵或低级数字矩阵还是可以的，但对于高级矩阵或抽象矩阵的求逆就显得麻烦或根本无法求出，此方法在抽象矩阵的证明中有着广泛的应用.一般情况下我们不采用第四种方法求逆矩阵，其既涉及到了初等行变换又涉及到了初等列变换，最后还要计算两个矩阵的乘积，有些麻烦且易出错．参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编（第二版），高等代数，高等教育出版社，1998．[2] 扬子胥编，高等代数习题解，山东技术出版社，2001．[3] 钱吉林编，高等代数题解精粹，中国民族大学出版社，2002．[4] 徐仲，陆全，张凯院编，高等代数导教导学导考，西北工业大学出版社，2004．[5] 王萼芳编，高等代数教程，清华大学出版社，2002.。