(完整word版)逆矩阵的求法
逆矩阵的三个基本公式
逆矩阵的三个基本公式逆矩阵是矩阵理论中重要的概念之一，它在线性代数、计算机图形学、物理学等领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论逆矩阵的三个基本公式，包括逆矩阵的定义、逆矩阵的计算方法以及逆矩阵的性质。
1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B使得它们的乘积等于单位矩阵I，即 AB = BA = I，则称B为A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵可以看作是原矩阵在矩阵乘法下的“倒数”。
2. 逆矩阵的计算方法对于一个n阶方阵A要求其逆矩阵，有以下两个常用的计算方法：2.1 初等变换法（高斯-约旦消元法）通过对A做初等变换，将矩阵A化为n阶单位矩阵I，此时经过一系列初等变换得到的矩阵B 就是逆矩阵A^-1。
具体做法是将矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，然后利用行变换将矩阵A转化为单位阵I，此时变换后的单位阵就是逆矩阵。
2.2 公式法（伴随矩阵法）设A为一个可逆矩阵，其伴随矩阵记作adj(A)，则逆矩阵A^-1可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式。
伴随矩阵adj(A)的计算方法是，将A的元素的代数余子式组成的矩阵转置得到。
3. 逆矩阵的性质逆矩阵具有以下几个重要的性质：3.1 逆的逆仍为原矩阵如果矩阵A有逆矩阵A^-1，那么A^-1的逆矩阵是A，即(A^-1)^-1 = A。
3.2 乘积的逆等于逆的乘积对于可逆矩阵A和B，(AB)^-1 = B^-1 * A^-1。
简单来说，如果两个矩阵的乘积是可逆矩阵，那么它们的逆矩阵是分别取逆然后交换顺序。
3.3 逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵对于可逆矩阵A，(A.T)^-1 = (A^-1).T。
即逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的逆矩阵。
逆矩阵在矩阵理论中具有重要的地位，它不仅可以帮助我们解决线性方程组的求解问题，还可以应用于矩阵的分解、特征值计算和矩阵的变换等许多领域。
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B， 其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
T -1 2
解
令
( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) =D
D= ( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) = (4 E + A) T (4 E - A) -1 (4 E - A)(4 E + A) = (4 E + A)(4 E + A) T = (4 E + A) . 虽然题目中出现了（4E-A） -1 .但是经过化简之后不再出现此式，因此得 D= 4 E - A =22500. 例2 证明 已知 n阶矩阵A满足A 2 +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
5.恒等变形法
4
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论 推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA -1 =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1
é 1 0 0ù ú 计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A= ê ê- 1 2 0ú ê ë 1 4 1ú û
初等行变换 用矩阵表示（A I） ¾¾ ¾¾® 为（I A -1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，
求矩阵逆矩阵的常用方法
求矩阵逆矩阵的常用方法求矩阵逆矩阵是线性代数中的一个重要问题。
在实际应用中，常常需要对矩阵进行逆矩阵的计算，以便进行某些后续操作。
以下是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法:1. 伴随矩阵法：如果矩阵 A 可逆，则其伴随矩阵 A^(-1) 也是存在的。
实际上，A^(-1) = A^(-T),其中 A^(-T) 表示 A 的逆矩阵的转置矩阵。
伴随矩阵法简单易行，但是要求矩阵 A 必须可逆。
2. 初等行变换法：对于任意矩阵 A，可以通过初等行变换将其化为行简化梯矩阵的形式。
如果左边子块是单位矩阵 E，则矩阵 A 可逆，且其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[E - (A^T)A]。
这里，(A^(-T))[E - (A^T)A] 表示将 A 的逆矩阵插入到单位矩阵 E 和 A 的伴随矩阵A 之间的矩阵。
初等行变换法适用于大多数矩阵，但是需要对矩阵进行多次行变换，因此计算效率较低。
3. 列主元消元法：对于矩阵 A，可以通过列主元消元法将其化为行阶梯形式。
如果矩阵 A 的行主元不为 0，则其逆矩阵为 A^(-1) = (A^(-T))[(A^T)A - EE^T]。
这里，EE^T 表示矩阵 A 的列主元部分，(A^(-T))[(A^T)A - EE^T] 表示将矩阵 A 的逆矩阵插入到行阶梯形式的矩阵 A 的列主元和主元部分之间的矩阵。
列主元消元法适用于矩阵 A 为非方阵的情况，但是要求矩阵 A 的行主元不为 0。
以上是几种常见的求矩阵逆矩阵的方法。
不同的矩阵可以通过不同的方法来求其逆矩阵，选择适合该矩阵的方法可以有效地提高计算效率。
此外，对于一些特殊的矩阵，可能存在更高效的算法。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
矩阵的逆的特殊求法doc
方法七 “和化积”法有时遇到这样的问题：要求判断方阵之和A+B 的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B 直接化为E C B A =+)(，由此有A+B 可逆，且C B A =+-1)(，或将方阵之和A+B 表为若干个已知的可逆阵之积，再有定理2知A+B 可逆，并可得出其逆矩阵。
例1证明：若0=k A ，则A E -是可逆阵，并求1)(--A E 。
证明： E A A A E A E k =++++--))((12∴ E-A 是可逆矩阵且121)(--++++=-k A A A E A E 总之，矩阵可逆性的判断及求逆矩阵的方法很多，不仅仅只是以上列举的几种方法，大家在做题过程中，可根据题目的需要灵活选用方法来求解。
方法六 利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵法哈密尔顿—凯莱定理 设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A A f n n nn n 。
如果A 可逆，则A 的特征多项式的常数项0)1(≠-=A a n n ，由定理知 0)(111=++++=--E A A A A f n n n n ααα 于是 E A E A A n n n n=⨯+++----)(11211ααα因此得 )(112111E A A A n n n n----+++-=ααα )(*此式给出了1-A 的多项式计算方法。
例2已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A ，求1-A 。
解：矩阵A 的特征多项式为： 254)(23-+-=-=λλλλλA E f 因023≠-=α，所以矩阵A 可逆，由)(*式知)54(2121E A A A +-=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11302802621方法五 分块求逆法当一个可逆矩阵的阶数较大时，即使用初等变换求它的逆矩阵仍然计算量较大。
如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵，则能减少计算量。
逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
-1
0 ù A22 ú û
两边求逆得
é I - A11-1 A12 ù é A11 ê ú ê I ë0 û ë0
A12 ù é A11-1 =ê A22 ú û ë 0 0 ù ú A22 -1 û 0 ù ú A22 -1 û
所以
é A11 ê0 ë
A12 ù é I - A11-1 A12 ù é A11-1 =ê úê A22 ú I û ë0 ûë 0 é A11 -1 =ê ë 0
其中A ij 是 A 中元素a ij 的代数余子式.
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú ... ... ú ú ... Ann û
é A11 ê A 矩阵 ê 12 ê ... ê ë A1n
证明
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú 1 称为矩阵A的伴随矩阵，记作A 3 ，于是有A -1 = A3. A ... ... ú ú ... Ann û
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n阶矩阵A可逆，则A A -1 =E，于是A -1 的第i列是线性方程组AX=E的解， i=1,2,…,n,E是第i个分量是I的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B， 其中B=（b 1 ,b 2 ,…,b n ） T , 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 ,…,b n 分别用 E 1 =（1,0,0,…,0）， E 2 =（0,1,0,…,0）， ……，
0 ù é 1 0 ... 0 ù ú 0 ú ê 0 1 ... 0 ú ú =I =ê ... ú ê... ... 1 ...ú ú ê ú A û ë 0 0 ... 1 û
同理可证BA=I. 由此可知，若A可逆，则A -1 =
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的求法
1 n1 A a1 An2 an1E an
1
因此 A 方法9
1 n 1 A a1 An 2 an 1E an
三角矩阵的一种求逆法：
t11 t12 0 t22 定理：如果n阶矩阵 T 0 0
t1n 1 t2 n 1 0 0
α
n
, 其中α
1
i
= (α
i1
,α
n
i2
, ⋯,α in),(i =1 , 2 , ⋯, n),由定理1 得:α i=Σ aijε j(i = 1 , 2 , ⋯, n) .
解以ε
, ε
2
, ⋯, ε
为未知量的方程组,由于系数行列式D = | A| ≠0 (因为A 可逆),所以, 由克
莱姆法则可得唯一解: ε j=Dj/D= bj1α 1 + bj2α 2 + ⋯+ bjnα n(j = 1 , 2 , ⋯, n) .其中Dj是把行 列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α 1 ,α 2,⋯,α n而得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵),从而有A- 1 = B.其中B = (bij).下面举例说明这种方法. 方法7 用行列式：定理：若n阶矩阵A = ( Aij) 为满秩矩阵,则A可逆，且
方法 4
13 4 6 3 3 1 2 1 1 6 3
用分块矩阵求逆矩阵：设 A、B 分别为 P、Q 阶可逆矩阵，则：
1
A1 A1CB 1 A O A1 A C 1 1 B 1 D B O B O B DA O O A 1 B O A
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A(E- A )(E+A + A 2+…+ AK 1)= E-A K(E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E，逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 .1. 利用定义求逆矩阵定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且证明因为E与A可以交换，所以因A K= 0 ,于是得同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ，因此E-A是可逆矩阵，且(E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且E-A 的逆矩阵.(E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1.由此可知，只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵.例2 设 A =00 20 00 03,求0003 0000分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证00 2 00 0 0 6200 0 630 0 0 04A 2=■A 3=， A 4 =000 0 00 00 0000 00 0 0 0而 (E-A)(E+A+ A2+ A 3 )=E , 所以1 12 61230 12 6 (E-A)E+A+ A2+ A.0 0 1 30 00 12. 初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 •如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使（1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1右乘上式两端，得：（2） p 1 p 2 p s I= A 1比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1.用矩阵表示（ A I ）为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等变换 .同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵 .2 3 1例1 求矩阵A的逆矩阵•已知A= 0 1 31 2 52 3 1 1 0 0 1 2 5 0 0 1解[A I] 0 1 3 0 1 0 0 1 3 0 1 01 2 5 0 0 1 2 3 1 1 0 01 2 5 0 0 1 1 0 0 1/6 13/6 4/30 1 3 0 1 0 0 1 0 1/2 3/2 10 0 1 1/6 1/6 1/3 0 0 1 1/6 1/6 1/31/6 13/6 4/3故 A 1 = 1/2 3/2 11/6 1/6 1/3在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法•如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着A不可逆，因为此时表明A =0，则A 1不存在.1 2 3例 2 求 A= 4 5 6.7 8 91 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0解[A E]= 4 5 6 0 1 0 0 3 6 4 1 07 8 9 0 0 1 0 6 12 7 0 11 2 3 1 0 00 3 6 4 1 0 .0 0 0 1 2 1由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3. 伴随阵法定理 n阶矩阵A=[a j ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且A n1A n2矩阵A 21.A n1A 22...A 12称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1=-A A 3'' ''' )A 2n.A nnB=A n A 2n 由此可知，若A 可逆，则AA 3.其中A j 是A 中元素a j 的代数余子式.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1=I ，有AA 1 = l |，则A A 1 =|l |，所以A 0 , 即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩其中a11 a12 ...a 1nA 11 A21...A n1 a 21a22...a2 n1 A 12A22A n2 AB=... ... ...A・・・an1an2...a nnA 1nA2n...A nnA 0...0 1 0=丄oA ...0 =010 = -1=A ... ... A ...1T0 0...A0 01同理可证BA=I.用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有A|2nAiA2 A inAI2A 22A nn证明 因为A =A ii0 0A22其中X A ii A 11A ii0 A 22=A 1i | |A22An 0 0A 22 i0,所以A 可逆.YW ，于是有X Y A ii ZWA22I n 00 I m n， 丫 A22 =0， ZA ii =0，W A 22 I m .又因为A ii 、A 22都可逆，用22 i 分别右乘上面左右两组等式得:规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可•若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过 AA 1=I 来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4 .分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A il 、A 22都是非奇异矩阵，且A il 为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵iiX= A ii ，Y=0，Z=0，W= A 22A 2i =Aii0 A 22 i把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即:iA i iA2 A2i42准三角形矩阵求逆命题设A11、A 22都是非奇异矩阵，则有A11 1 1A12 A111A11 A12 A22 10 A22 0 A22 1证明因为A11 A12 I 1A11 A12 =An 0 0 A22 0 I 0 A22两边求逆得I A11 1 1A12 A1 1 A12 1= A11 100 I 0 A22 0 A22 所以A11A12 1 _ I A11 A12 A1 100 A22 0 I 0 A22 1=A11 11 1 A11 A12 A220 A22 1 同理可证A1110 A11 10A21 A221 1A11 A21 A22 A22 1此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵•是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用•5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA 1=E，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的几种求法与解析
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A K = 0, 那么E-A 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ，同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A *，于是有A 1-=A 1 A *.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111，其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1 A *. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡WZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00, 其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
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5．求具体矩阵的逆矩阵
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法．
方法1伴随矩阵法：．
注1对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵．注意元素的位置及符号．特别对于2阶方阵，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律．注2对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵．
方法2 初等变换法：
注对于阶数较高()的矩阵，采用初等变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便．在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换．
方法3 分块对角矩阵求逆：对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式
其中均为可逆矩阵．
例1已知，求．
解将分块如下：
其中，
而
，
从而
例2已知，且，试求．
解由题设条件得
例3 设4阶矩阵
且矩阵满足关系式，试将所给关系式化简，并求出矩阵．解由所给的矩阵关系式得到
，即
故．利用初等变换法求．由于
故
例4 设，则_________.
应填：.
分析在遇到的有关计算时，一般不直接由定义去求，而是利用的重要公式.如此题，由得，而，于是
=
例5已知，试求和．
分析因为，所以求的关键是求．又由知，可见求得和后即可得到．
解对两边取行列式得，于是
即，故
又因为，其中，又，可求得
，
故由得
例6 设，其中（），则____.
应填：.
分析法1.，其中，.
从而.又，，代入即得的逆矩阵.
法2.用初等变换法求逆矩阵.
=
故。