考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
用矩阵的初等变换求逆矩阵_百度文库.
用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。
即4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E，其中E为与A 同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E 的位置变换为我们所要求的,即三，讲解例题1. 求逆矩阵方法的应用之一例解：四，知识拓展2．求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。
例解：而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）对一般的矩阵方程求解，我们可以先求，然后求X＝B。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利用初等行变换，即其中的B即为所求矩阵方程的X。
例解：。
逆矩阵的几种求法与解析（很全很经典）
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容矩阵是线性代数的主要内容,,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷..逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, , , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一要内容之一..本文将给出几种求逆矩阵的方法本文将给出几种求逆矩阵的方法..1.利用定义求逆矩阵定义定义: : : 设设A 、B B 都是都是都是n n n 阶方阵阶方阵阶方阵, , , 如果存在如果存在如果存在n n n 阶方阵阶方阵阶方阵B B B 使得使得使得AB= BA = E, AB= BA = E, AB= BA = E, 则称则称则称A A 为可逆矩阵可逆矩阵, , , 而称而称而称B B 为A A 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵..下面举例说明这种方法的应用下面举例说明这种方法的应用. .例1 求证求证: : : 如果方阵如果方阵如果方阵A A A 满足满足满足A k= 0, A k= 0, A k= 0, 那么那么那么EA EA EA是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵, , , 且且（E-A E-A））1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为因为E E E 与与A A 可以交换可以交换可以交换, , , 所以所以所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,= 0 ,于是得于是得于是得(E-A)(E-A)（（E+A+A 2+…+…+A +A 1-K ）=E =E，，同理可得（同理可得（E + A + A E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E (E-A)=E，，因此因此E-A E-A E-A是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵,,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明同理可以证明(E+ A)(E+ A)(E+ A)也可逆也可逆也可逆,,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（+…+（-1-1-1））1-K A 1-K .由此可知由此可知, , , 只要满足只要满足只要满足A A K =0=0，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵，就可以利用此题求出一类矩阵E E ±A 的逆矩阵的逆矩阵. .例2 设 A =úúúúûùêêêêëé0000300000200010,求 E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .分析 由于由于由于A A 中有许多元素为零中有许多元素为零, , , 考虑考虑考虑A A K 是否为零矩阵是否为零矩阵, , , 若为零矩阵若为零矩阵若为零矩阵, , , 则可以则可以采用例采用例2 2 2 的方法求的方法求的方法求E-A E-A E-A的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵. .解 容易验证容易验证容易验证A 2=úúúúûùêêêêëé0000000060000200， A 3=úúúúûùêêêêëé0000000000006000， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,)=E,所以所以所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=úúúûùêêêëé1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法常用初等变换法常用初等变换法..如果如果A A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵等变换，化为单位矩阵I I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s pp p 21A=I A=I，用，用，用A A 1-右乘上式两端，得：右乘上式两端，得： （（2）s p p p 21I= A 1- 比较（比较（11（）（22）两式，可以看到当）两式，可以看到当A A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵矩阵I I 作同样的初等变换，就化为作同样的初等变换，就化为A A 的逆矩阵的逆矩阵A A 1-.用矩阵表示（用矩阵表示（A I A I A I））¾¾¾®¾初等行变换为（为（I A I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法它是实际应用中比较简单的一种方法..需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换等变换..同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. .例1 求矩阵求矩阵A A 的逆矩阵的逆矩阵..已知已知A=A=úúúûùêêêëé521310132.解 [A I]®úúúûùêêêëé100521010310001132®úúúûùêêêëé001132010310100521® úúúûùêêêëé--3/16/16/1100010310100521®úúúûùêêêëé-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=úúúûùêêêëé-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道在事先不知道n n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法..如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着则意味着A A 不可逆，因为此时表明A =0=0，，则A 1-不存在不存在. .例2 求A=úúúûùêêêëé987654321.解 [A E]=úúûùêêëé100987010654001321®úúûùêêëé------1071260014630001321® úúúûùêêêëé----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为由于左端矩阵中有一行元素全为00，于是它不可逆，因此，于是它不可逆，因此A A 不可逆不可逆. .3.伴随阵法定理 n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=[a A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是A A 非奇异非奇异..且A 1-=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............ (212221212111)其中其中A A ij 是A 中元素中元素a a ij 的代数余子式的代数余子式. .矩阵úúúúûùêêêêëénn nn n n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵称为矩阵A A 的伴随矩阵，记作的伴随矩阵，记作A A 3，于是有，于是有A A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I =I，，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ¹0，即A 为非奇异为非奇异. .充分性：充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵为非奇异，存在矩阵B=A 1úúúúûùêêêêëénn nnn n A A A A A A A A A (21222)1212111， 其中其中AB=úúúûùêêêëénn n n n n a a a a a aa a a ............... (2)12222111211´A 1úúúûùêêêëénn nnn n A A A A A A A A A ............... (212)221212111=A 1úúúúûùêêêêëéA A A A ...00.........0...00...0=úúúúûùêêêêëé1...00...1......0...100 (01)=I同理可证同理可证BA=I. BA=I.由此可知，若由此可知，若A A 可逆，则可逆，则A A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循规律可循..因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，只需要将主对角线元素的位置互换，次对次对角线的元素变号即可角线的元素变号即可. .若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或个或99个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错出现符号及计算的差错..对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I =I来检验来检验来检验..一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查旦发现错误，必须对每一计算逐一排查. .4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且都是非奇异矩阵，且A A 11为n 阶方阵，阶方阵，A A 22为m 阶方阵阶方阵úûùêëé22110A A úûùêëé--12211100AA 证明 因为A =22110A A =11A 22A ¹0, 0, 所以所以所以A A 可逆可逆. . 设A 1-=úûùêëéW ZY X，于是有úûùêëéW ZY X úûùêëé22110A A =úûùêëém nI I 00,其中其中 X A X A 11=I n ， Y A 22=0=0，，Z A 11=0=0，，W A 22=I m .又因为又因为A A 11、A 22都可逆，用都可逆，用A A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0Y=0，，Z=0Z=0，，W= A 122-故 A 21= úûùêëé--1221110A A把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-úúúúûùêêêêëék A A A =úúúúúûùêêêêêëé---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有都是非奇异矩阵，则有1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122121111110A A A A A证明 因为因为úûùêëé2212110A A A úûùêëé--I A A I 012111=úûùêëé22110A A两边求逆得两边求逆得1121110--úûùêëé-I A A I 12212110-úûùêëéA A A =úûùêëé--12211100A A 所以所以 1221211-úûùêëéA A A =úûùêëé--I A A I 012111úûùêëé--12211100A A=úûùêëé-----122122121111110A A A A A同理可证同理可证12221110-úûùêëéA A A =úûùêëé-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. . . 是特殊方阵求逆的是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
对调I的两行
对调I的两列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行 （或列）的对应元上去.
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
返回
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积。
1.7（2）（5）
1.10
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
线性方程组的初等变换有三种： 1. 互换两个方程的位置； 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数； 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍.
矩阵的乘法及求逆运算 最终版
(1)
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
记
a11
A
a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
,
x1
x
x2 x3
,
b1
b
b2 b3
则方程组(1)可表示为 Ax b.
二.矩阵的求逆
一、逆矩阵的概念 二、方阵可逆的判别定理 三、逆矩阵的基本性质 四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
0
1
5
逆矩阵求解方法七——恒等变形
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其
逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒 等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。
1
3
例 . 已知 A6 I，求 A11，其中 A 2
2
3 1
x1i
Xi
x2i
x3i
解得：
（i 1, 2,3）
1 3 2
A1
X
3
3
5
2
2
0 11 1
逆矩阵求解方法六——准对角矩阵
A11 0 L
定义：形如A
0
A22 L
L L L
0
0L
A称为准对角矩阵
0
0
0
1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0
0
0
1
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法来源：文都教育在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。
初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。
下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。
一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法1、用初等行变换求逆矩阵1A -：对(,)A E 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1(,)(,)rA E E A -→，由此即求得1A -；2、用初等列变换求逆矩阵1A -：求1A -也可用初等列变换，对A E ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1c A E E A -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此即求得1A -；3、用初等行变换求1A B -：对(,)A B 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1A B -，即1(,)(,)rA B E A B -→，由此即求得1A B -；4、用初等列变换求1BA -：对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1BA -，，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此1BA -此即求得1BA -.上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取B E =即得1）和2）。
下面只要证明3）和4）即可。
证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等行变换得到单位矩阵E 相当于A 左乘一个可逆阵P ，使PA E =，这时1P A -=，1(,)(,)(,)(,B)P A B PA PB E PB E A -===，即1(,)(,)rA B E A B -→；4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等列变换得到单位矩阵E 相当于A 右乘一个可逆阵P ，使AP E =，这时1P A -=，1A AP E P B BP BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.二、典型实例例1.设011111112A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求1A -.解：作初等行变换：011100111010(,)111010011100112001021011r rA E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1111010100312011100010111(,)001211001211rr E A -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故1312111211A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.例2.解矩阵方程211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭.解：记上面的方程为XA B =，因为0A ≠，所以A 可逆，1X BA -=，对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换得：211121100210120101111111130113113132432342325c cc A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→→--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110010110101001103121221123282352355333c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→→- ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故122182533X BA --⎛⎫⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭. 矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方法，大家一定要熟练掌握。
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考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
来源：文都教育
在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。
初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。
下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。
一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
1、用初等行变换求逆矩阵1A -：对(,)A E 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1
A -，即1(,)(,)r
A E E A -→，由此即求得1A -；
2、用初等列变换求逆矩阵1A -：求1A -也可用初等列变换，对A E ⎛⎫
⎪⎝⎭
作初等列
变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1
A -，即1c A E E A -⎛⎫⎛⎫
→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
由此即求得1A -；
3、用初等行变换求1A B -：对(,)A B 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1
A B -，即1(,)(,)r
A B E A B -→，由此即求得1A B -；
4、用初等列变换求1BA -：对A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵
E ，这时矩阵B 就变为1
BA -，，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫
→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由此1BA -此即求得1BA -.
上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取B E =即得1）和2）。
下面只要证明3）和4）即可。
证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等行变换得到单位矩阵E 相当于A 左乘一个可逆阵P ，使PA E =，这时
1
P A -=，1
(,)(,)(,)(,B)P A B PA PB E PB E A -===，即1(,)(,)r
A B E A B -→；
4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等列变换得到单位矩阵E 相当于A 右乘一个可逆阵P ，使AP E =，
这时1
P A -=，1A AP E P B BP BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
二、典型实例
例1.设011111112A -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
，求1A -.
解：作初等行变换：
011100111010(,)111010011100112001021011r r
A E --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
1111010100312011100010111(,)001211001211r
r E A -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→--→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
，故1312111211A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
.
例2.解矩阵方程211113210432111X -⎛⎫
-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭
.
解：记上面的方程为XA B =，因为0A ≠，所以A 可逆，1X BA -=，
对A B ⎛⎫
⎪⎝⎭作初等列变换得：21112110
021012010
11111
1113
011311313
243234232
5c c
c A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→→--- ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
1
001001
001100101101
010*******
122
112328235235533
3c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→→-
⎪ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---
- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭
，故12218253
3X BA --⎛⎫
⎪== ⎪-- ⎪
⎝⎭. 矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方法，大家一定要熟练掌握。
在上面计算1A B -和1BA -的方法中，我们分别通过初等行变换和列变换一次性求出其结果，这显然比先求出1A -然后求乘积
1A B -和1BA -要简捷方便，在考试中也能节省时间和提高解题速度。
最后祝愿各位考研成功。