线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法来源：文都教育在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。
初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。
下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。
一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法1、用初等行变换求逆矩阵1A -：对(,)A E 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1(,)(,)rA E E A -→，由此即求得1A -；2、用初等列变换求逆矩阵1A -：求1A -也可用初等列变换，对A E ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1c A E E A -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此即求得1A -；3、用初等行变换求1A B -：对(,)A B 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1A B -，即1(,)(,)rA B E A B -→，由此即求得1A B -；4、用初等列变换求1BA -：对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1BA -，，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此1BA -此即求得1BA -.上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取B E =即得1）和2）。
下面只要证明3）和4）即可。
证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等行变换得到单位矩阵E 相当于A 左乘一个可逆阵P ，使PA E =，这时1P A -=，1(,)(,)(,)(,B)P A B PA PB E PB E A -===，即1(,)(,)rA B E A B -→；4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等列变换得到单位矩阵E 相当于A 右乘一个可逆阵P ，使AP E =，这时1P A -=，1A AP E P B BP BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.二、典型实例例1.设011111112A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求1A -.解：作初等行变换：011100111010(,)111010011100112001021011r rA E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1111010100312011100010111(,)001211001211rr E A -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故1312111211A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.例2.解矩阵方程211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭.解：记上面的方程为XA B =，因为0A ≠，所以A 可逆，1X BA -=，对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换得：211121100210120101111111130113113132432342325c cc A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→→--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1001001001100101101010*******1221123282352355333c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→→-⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故122182533X BA --⎛⎫⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭. 矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方法，大家一定要熟练掌握。
初等行变换求逆矩阵的原理
初等行变换求逆矩阵的原理一、引言矩阵是线性代数中非常重要的概念，而矩阵的逆也是一个重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵方程，而求解矩阵方程往往需要使用到矩阵的逆。
初等行变换求逆矩阵就是一种有效的方法，本文将详细介绍初等行变换的原理以及如何利用初等行变换求逆矩阵。
二、初等行变换的定义初等行变换是指对矩阵进行一系列的行变换操作，可以将一个矩阵变换为其它特定形式的矩阵。
初等行变换主要包括以下三种操作：1.交换两行：将矩阵中的两行进行交换；2.乘以非零常数：将矩阵中的某一行的元素全部乘以一个非零常数；3.两行相加（或相减）：将矩阵中的某一行的元素与另一行的元素进行加法（或减法）运算。
三、初等行变换对矩阵的影响初等行变换对矩阵的影响主要体现在矩阵的行空间和列空间上。
1.交换两行对矩阵的行空间和列空间不产生影响，只是改变了矩阵的行的顺序；2.乘以非零常数会使矩阵的行空间和列空间缩放；3.两行相加（或相减）会使矩阵的行空间发生线性组合改变，但不会改变列空间。
四、初等行变换求逆矩阵的原理逆矩阵是指对于一个方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
矩阵A存在逆矩阵的充分必要条件是A是可逆矩阵，也就是行列式不为零。
对于可逆矩阵A，我们可以通过初等行变换的方式来求解其逆矩阵。
求解可逆矩阵的逆矩阵可以遵循以下步骤：1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向合并，得到增广矩阵[A|I]；2.通过一系列的初等行变换将矩阵[A|I]变换为[I|B]，其中B为A的逆矩阵；3.得到矩阵B，即为矩阵A的逆矩阵。
五、初等行变换求逆矩阵的算法步骤利用初等行变换求解逆矩阵的算法步骤如下：1.初始化矩阵[A|I]，其中A为原矩阵，I为单位矩阵；2.对矩阵[A|I]进行初等行变换，直到得到[I|B]为止；3.得到矩阵B，即为矩阵A的逆矩阵。
具体的初等行变换操作可以根据具体的矩阵来决定，常用的初等行变换操作包括：1.交换两行；2.乘以非零常数；3.两行相加（或相减）。
用初等变换求矩阵的逆矩阵原理
用初等变换求矩阵的逆矩阵原理用初等变换求矩阵的逆矩阵原理1. 引言在线性代数中，矩阵的逆矩阵是一个非常重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵可以将其与原矩阵相乘得到单位矩阵。
然而，直接求一个矩阵的逆矩阵可能会非常繁琐。
初等变换提供了一种简单而有效的方法来求解矩阵的逆矩阵。
本文将详细介绍初等变换求矩阵的逆矩阵原理。
2. 初等变换初等变换是指通过一系列特定操作将矩阵变换为特定形式的操作。
一般来说，初等变换包括三种操作：•交换矩阵的两行或两列•用非零常数乘以矩阵的某一行或某一列•用一个数乘以矩阵的某一行或某一列，加到另一行或另一列上这些操作可以通过在矩阵的相应位置进行计算来实现。
3. 逆矩阵的定义一个矩阵A的逆矩阵记作A^-1，满足以下条件：A * A^-1 = A^-1 * A = I其中，I表示单位矩阵。
求解逆矩阵可以用初等变换的方法。
4. 求逆矩阵的步骤以下是使用初等变换求解逆矩阵的步骤：步骤1：矩阵扩展将待求逆的矩阵与单位矩阵进行左右拼接，得到一个扩展矩阵。
步骤2：进行初等变换通过一系列的初等变换操作，将扩展矩阵变换为形如[I|B]的形式。
其中，B为原矩阵的逆矩阵。
步骤3：提取逆矩阵从步骤2得到的扩展矩阵中提取出逆矩阵B，即为原矩阵的逆矩阵。
5. 举例说明让我们通过一个例子来说明初等变换求矩阵的逆矩阵的过程。
假设有一个2x2的矩阵A:A = [[1, 2], [3, 4]]我们可以将A与单位矩阵进行扩展：[A|I] = [[1, 2, 1, 0], [3, 4, 0, 1]]接下来，通过一系列的初等变换操作，将扩展矩阵变换为形式[I|B]:[[1, 2, 1, 0] => [1, 0, -2, 1] [3, 4, 0, 1] [0, 1, , -]] 从变换后的矩阵中提取出逆矩阵B：B = [[-2, 1], [, -]]因此，矩阵A的逆矩阵为B:A^-1 = [[-2, 1], [, -]]6. 总结初等变换提供了一种便捷的方法来求解矩阵的逆矩阵。
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
1
1
1
1 A) 。 A
0
a2n
a n 2 a nn
0 0 1 0 0 0 1
【注】上面介绍的方法中，只能用行变换，不能用列变换。
16
例2 设
1 1 1 A 1 1 1 1 1 1
PP t t 1
1 P ( A , E ) ( E , A ) 1
1
15
或
初等行变换 ( A, E ) ( E, A1 )
即对矩阵 ( A, E ) 作初等行变换，当把
A 化为 E
时，
E 就化成了 A ( A
a11 a 21 a n1 a12 a 22 a1n
求 A 1 。 解
( A, E )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 r r2 r1 +r3 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 0 2 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1
所以
A 1
1 2 1 2 0
1 2 0 1 2
0 1 2 1 2
18
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
逆矩阵。这时，对
2n n
An 阶矩阵 E 进行初等列变换， n
1
当上半子块化为 En 时，A可逆，且下半子块就是 A 。即
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。Ei (k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
2
（3）以数
初等行变化求逆矩阵原理
初等行变化求逆矩阵原理
逆矩阵是指对于一个n阶矩阵A，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，且矩阵B是矩阵A的逆矩阵。
对于初等行变化，包括以下三种操作：
1. 互换两行；
2. 用非零数乘某一行；
3. 某一行乘以一个非零数加到另一行。
对于一个n阶矩阵A，我们可以通过一系列初等行变换将其变为一个阶梯形矩阵。
这个过程可以表示为：EA = B，其中E 为初等变换矩阵，B为阶梯形矩阵。
当A能够通过初等行变换变为一个单位矩阵I时，我们可以找到一个矩阵C，使得EC = B，即CA = B。
这意味着C是A的逆矩阵，即A是可逆的。
因此，通过初等行变换求逆矩阵的原理就是，将矩阵A通过一系列初等行变换变为阶梯形矩阵B，然后将B通过相同的初等行变换变为单位矩阵I，这时的初等变换矩阵即为A的逆矩阵。
需要注意的是，不是所有的矩阵都可以通过初等行变换求逆矩阵，只有当矩阵满足一定的条件时，才存在逆矩阵。
求逆矩阵知识点总结
求逆矩阵知识点总结一、定义矩阵的逆是指存在一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。
具体来说，如果矩阵A的逆矩阵存在，我们用A^-1来表示它，那么矩阵A的逆矩阵定义为满足下式的矩阵B：A *B = B * A = I其中，I是单位矩阵。
二、求解方法1. 初等变换法利用行初等变换把矩阵A转换为单位矩阵，所做的初等行变换同时作用于一个相同次序的单位矩阵，然后将单位矩阵转换得到的矩阵即是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法对于n阶方阵A，它的伴随矩阵定义为其每个元素的代数余子式。
A的伴随矩阵记作Adj(A)，则有A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A)，其中det(A)是A的行列式。
3. 初等矩阵法对于矩阵A，构造一个n阶单位矩阵In，然后对In进行一系列的乘法和加减操作所得到的新矩阵记为B，如果B=A^-1，则B就是矩阵A的逆矩阵。
三、性质1. 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵A有逆矩阵，那么这个逆矩阵是唯一的。
也就是说，如果存在矩阵B和C，使得A*B=I和A*C=I，那么B=C。
2. 若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且有(A*B)^-1=B^-1*A^-13. (A^-1)^-1 = A4. (A^T)^-1 = (A^-1)^T5. 行列式为0的矩阵没有逆矩阵。
四、应用求逆矩阵在实际应用中有着广泛的作用，其中包括但不限于以下几个方面。
1. 线性方程组求解线性方程组Ax=b时，如果A是可逆矩阵，则可以直接用逆矩阵求解：x=A^-1*b。
2. 信号处理在信号处理领域中，矩阵的逆可以用来解决信号的解耦、滤波等问题。
3. 机器学习矩阵的逆在机器学习中也有重要的应用，比如用于参数的最小二乘估计以及矩阵分解等问题。
4. 几何变换在计算机图形学和几何变换领域，矩阵的逆可以用来表示坐标点的逆向变换。
总结求逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，有着广泛的应用。
本文从定义、求解方法、性质和应用等方面对求逆矩阵的知识点进行了总结，希望能帮助读者更好地理解和应用这一概念。
逆矩阵的计算方法
逆矩阵的计算方法逆矩阵在线性代数中扮演着重要的角色，它在解线性方程组、求解线性变换的逆变换等方面具有重要的应用价值。
本文将介绍逆矩阵的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要明确什么是逆矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n 阶方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），那么我们称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的存在与否对于方阵的可逆性有着重要的意义。
接下来，我们将介绍逆矩阵的计算方法。
在实际应用中，我们通常采用以下两种方法来计算逆矩阵。
一、初等行变换法。
初等行变换法是一种常用的计算逆矩阵的方法。
我们可以通过对原矩阵进行一系列的初等行变换，将原矩阵变换成单位矩阵，此时原矩阵经过的一系列变换即为逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将原矩阵A与单位矩阵In拼接在一起，即构成一个2n阶的矩阵[A | In]。
2. 通过一系列的初等行变换，将矩阵[A | In]变换成[In | B]，此时B即为原矩阵A的逆矩阵。
需要注意的是，初等行变换包括三种操作，互换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
在进行初等行变换的过程中，需要保证每一步的变换都是可逆的，以确保得到的逆矩阵是正确的。
二、伴随矩阵法。
另一种常用的计算逆矩阵的方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式计算得到：A^-1 = (1/|A|)·adj(A)。
其中|A|为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算过程较为复杂，需要先求出原矩阵A的代数余子式矩阵，然后将其转置得到伴随矩阵。
需要注意的是，以上两种方法都要求原矩阵是可逆的，即其行列式不为0。
如果原矩阵不可逆，则不存在逆矩阵。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的计算方法。
初等行变换法适用于一般的矩阵求逆问题，而伴随矩阵法则在理论推导和证明中有着重要的作用。
总之，逆矩阵的计算方法是线性代数中的重要内容，它在解决线性方程组、求解线性变换的逆变换等问题中具有广泛的应用。
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初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
A1 E =A1
Q1Q2…Qm A= E
Q1Q2…QmE= A−1
A可以经过一系列初等 行变换化为E，即
行
AE
E可以经过一系列相同的初 等行变换化为A−1 ，即
初等列变换法求逆矩阵
线性代数
类似地
A−1= Q1Q2…Qm
AA1 E
EA1 =A1
A Q1Q2…Qm = E
EQ1Q2…Qm= A−1
A经过一系列初等列变 换化为E，即
列
AE
E经过一系列相同的初等列 变换化为A−1 ，即
E 列 A−1
A 初等列变换
E
E
A1
初等变换法求矩阵方程
线性代数
r1 r2 r3 2r2
1
0
0
0 1 0
3 2 2
1 0 2
1 1 2
0
0
1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
1 r3 ( 2)
1 0
0 1
3 2
1 0
1 1
0
0
0 0
1
1
1
1
2
r1 3r3 r2 2r3
1
0
0
4
2
3 2
0 1 0 2 1 1
0 0 1 1
1
1
2
A-1
E 行 A−1
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
1 1 1
例
设A
01ຫໍສະໝຸດ 2 ，判断A是否可逆，若可逆，求A1.
2 4 2
解
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
A
E
0
1
2
0
1
0
r3 2r1
0
1
2
0
1
0
2 4 2 0 0 1
0 2 2 2 0 1
若A可逆，且AX=B A−1= Q1Q2…Qm Q1Q2…Qm A= E
Q1Q2…Qm B= A−1B
若A可逆，且XA=C AQ1Q2…Qm = E
CQ1Q2…Qm = CA−1
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1B)
X= CA−1
初等列变换
E
CA1
初等变换法求矩阵方程
线性代数