用矩阵的初等变换求逆矩阵
矩阵求逆初等变换法
矩阵求逆初等变换法矩阵求逆是在线性代数中一个非常重要的概念，它可以用于解决大量的问题。
在实际的应用中，我们通常采用初等变换法来求逆矩阵，这样可以极大地简化计算并且提高效率。
本文主要介绍矩阵求逆初等变换法的基本概念和具体实现方法。
一、矩阵求逆的定义和概念矩阵求逆的本质是寻找一个矩阵A的逆矩阵B，使得A 与B的乘积等于单位矩阵I，即AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。
矩阵A的逆矩阵可以表示为A^-1。
对于方阵，如果其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵。
而对于非方阵，则不能直接求逆矩阵，需要通过一些方法先将其转化为方阵，再进行求逆操作。
二、矩阵求逆初等变换法初等变换是线性代数中的一种操作，它可以用来变换矩阵的形式，进而使得矩阵的某些性质更加明显。
初等变换包括以下三种：（1）交换矩阵的两行或两列（2）将矩阵的一行或一列乘以非零常数（3）将矩阵的一行或一列乘以非零常数加到另一行或另一列上去根据初等变换的性质，我们可以使用一组初等变换将任何一个方阵化为一个单位矩阵，进而得到其逆矩阵。
具体实现方法如下：（1）首先，将矩阵A增广为一个n*2n的矩阵（即在A的右边增加一个n* n的单位矩阵I）；（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U；（3）继续通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I；（4）此时矩阵A的右半部分就是其逆矩阵B。
下面，我们通过一个例子来具体说明这个过程：设矩阵为A=[1, 2, 3; 0, 1, 4; 5, 6, 0]（1）将A增广为一个2n* n的矩阵[A，I]=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R2-R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R3-5R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→-R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→R3+4R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, -11, 1, -4, 1]→-R3/11→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2+R3→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→-R1-2R2+3R3→[1, 0, 0, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]得到上三角矩阵U为U=[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0,3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]（3）通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2-3R3→[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R1-2R2-3R3→[1, 0, 0, 7/11, -2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]此时得到的右半部分就是矩阵A的逆矩阵B，即B=[7/11, -2/11, -1/11; 3/11, -1/11, 2/11; -1/11, 4/11, -1/11]三、总结矩阵求逆是线性代数中一个基本的操作，而初等变换法则可以很有效地简化求解的过程。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。
本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。
首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。
然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。
最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。
方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。
方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。
例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。
以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。
在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
初等列变换求可逆矩阵
初等列变换求可逆矩阵1. 什么是初等列变换？初等列变换是矩阵运算中的一种操作，通过对矩阵的列进行变换，可以改变矩阵的形状和性质。
初等列变换包括三种操作：交换两列的位置、用一个非零常数乘以某一列、将某一列的倍数加到另一列上。
2. 可逆矩阵的定义在矩阵理论中，可逆矩阵也称为非奇异矩阵或满秩矩阵。
一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
3. 初等列变换与可逆矩阵的关系初等列变换可以改变矩阵的形状和性质，包括矩阵的秩。
对于一个n阶矩阵A，如果通过一系列的初等列变换可以将A变为单位矩阵I，那么矩阵A就是可逆的。
证明：假设矩阵A经过一系列的初等列变换可以变为单位矩阵I，即存在一系列的初等矩阵P1, P2, …, Pn，使得Pn * … * P2 * P1 * A = I。
我们知道，初等矩阵的逆矩阵也是一个初等矩阵，所以可以将上式变为Pn * … * P2 * P1 * A * (Pn * … * P2 * P1)^-1 = I * (Pn * … * P2 * P1)^-1。
由于单位矩阵乘以任何矩阵等于该矩阵本身，并且任何矩阵乘以单位矩阵等于该矩阵本身，所以上式可以进一步简化为 A * (Pn * … * P2 * P1)^-1 = I。
因此，A的逆矩阵等于(Pn * … * P2 * P1)^-1，即矩阵A是可逆的。
4. 初等列变换的具体操作4.1 交换两列的位置交换矩阵A的第i列和第j列的位置，可以用一个初等矩阵Pij来表示。
初等矩阵Pij是一个单位矩阵I，将第i列和第j列交换位置后得到的矩阵。
例如，对于一个3阶矩阵A，交换第1列和第2列的位置，可以用初等矩阵P12来表示：P12 = [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]则有 P12 * A = B，其中B是将A的第1列和第2列交换位置后得到的矩阵。
4.2 用一个非零常数乘以某一列用一个非零常数k乘以矩阵A的第i列，可以用一个初等矩阵Pi(k)来表示。
用矩阵的初等变换求逆矩阵_百度文库.
用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。
即4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E，其中E为与A 同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E 的位置变换为我们所要求的,即三，讲解例题1. 求逆矩阵方法的应用之一例解：四，知识拓展2．求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。
例解：而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）对一般的矩阵方程求解，我们可以先求，然后求X＝B。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利用初等行变换，即其中的B即为所求矩阵方程的X。
例解：。
初等列变换求可逆矩阵
初等列变换求可逆矩阵【原创实用版】目录1.初等列变换与可逆矩阵的关系2.初等列变换的定义和性质3.如何使用初等列变换求可逆矩阵4.举例说明初等列变换求可逆矩阵的过程5.总结正文一、初等列变换与可逆矩阵的关系初等列变换是指对矩阵进行行或列的操作，使其变为一个新的矩阵，但保持原矩阵与新矩阵的行列式相等。
可逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵，即满足 A * A^-1 = I（I 为单位矩阵）。
初等列变换与可逆矩阵有着密切的关系，因为通过初等列变换可以将一个可逆矩阵转化为单位矩阵，从而求出该矩阵的逆矩阵。
二、初等列变换的定义和性质初等列变换主要包括以下两种操作：1.行变换：将矩阵的行进行交换或翻转，以达到将矩阵化为上三角矩阵或简化矩阵的目的。
2.列变换：将矩阵的列进行交换或翻转，以达到将矩阵化为上三角矩阵或简化矩阵的目的。
初等列变换具有以下性质：1.初等列变换不改变矩阵的行列式值。
2.初等列变换不改变矩阵的秩。
3.初等列变换可以将可逆矩阵化为单位矩阵。
三、如何使用初等列变换求可逆矩阵假设有一个可逆矩阵 A，我们要通过初等列变换将其化为单位矩阵。
具体的操作步骤如下：1.计算矩阵 A 的行列式值，判断矩阵 A 是否可逆。
2.如果矩阵 A 可逆，则计算矩阵 A 的逆矩阵 A^-1。
3.通过初等列变换，将矩阵 A 化为单位矩阵。
具体操作为：将矩阵 A 的某一列（或行）作为变换的依据，通过交换或翻转其他列（或行）以使得矩阵 A 变为单位矩阵。
四、举例说明初等列变换求可逆矩阵的过程假设有一个可逆矩阵 A = [1 2; 3 4]，我们要通过初等列变换将其化为单位矩阵。
1.计算矩阵 A 的行列式值：|A| = 1 * 4 - 2 * 3 = -22.计算矩阵 A 的逆矩阵：A^-1 = [4 -3; -2 1]3.通过初等列变换，将矩阵 A 化为单位矩阵：- 将第二列减去第一列的 2 倍：A" = [1 2; 3 -4]- 将第二行减去第一行的 2 倍：A"" = [1 -4; 3 2]- 将第三行减去第二行的 1 倍：A""" = [1 -4; 0 2]- 将第四行减去第三行的 2 倍：A"""" = [1 -4; 0 0]通过以上初等列变换，可逆矩阵 A 最终被化为单位矩阵。
求矩阵的逆矩阵的方法
求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆矩阵是线性代数中的重要概念，它在解线性方程组、计算行列式和求解线性变换等问题中具有重要的应用价值。
在实际问题中，我们经常需要求解矩阵的逆矩阵，因此掌握求解逆矩阵的方法对于深入理解线性代数具有重要意义。
本文将介绍几种常用的求解矩阵逆的方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
方法一，代数余子式法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式|A|不等于0，则矩阵A是可逆的，即存在逆矩阵A^(-1)。
我们可以通过代数余子式的方法来求解矩阵的逆矩阵。
首先，我们需要计算矩阵A的伴随矩阵adj(A)，然后利用公式A^(-1) = adj(A)/|A|来求解逆矩阵。
这种方法在理论上是可行的，但在实际计算中可能会比较复杂，尤其是对于高阶矩阵来说，计算量会非常大。
方法二，初等变换法。
初等变换法是一种比较直观和简单的方法，它通过一系列的初等行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵通过相同的初等行变换变换为逆矩阵。
这种方法在实际计算中比较方便，并且适用于各种情况，但是需要进行大量的计算，对于高阶矩阵来说，计算量也会比较大。
方法三，矩阵分块法。
矩阵分块法是一种比较灵活和高效的方法，它将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后通过一定的变换将原矩阵变换为单位矩阵，再将单位矩阵变换为逆矩阵。
这种方法在理论上和实际计算中都比较方便，尤其适用于特殊结构的矩阵，如对称矩阵、三对角矩阵等。
但是对于一般的矩阵来说，可能会比较繁琐。
方法四，Gauss-Jordan消元法。
Gauss-Jordan消元法是一种经典的求解逆矩阵的方法，它通过一系列的行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵变换为逆矩阵。
这种方法在实际计算中比较高效和方便，尤其适用于计算机程序实现。
但是对于特殊结构的矩阵，可能会存在一些特殊情况需要处理。
综上所述，求解矩阵的逆矩阵有多种方法，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来求解逆矩阵，以达到高效、准确地计算的目的。
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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。
李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。
作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。
下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。
用矩阵的初等变换求逆矩阵
一、问题提出
在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃）
二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）
我们已学习了矩阵初等变换的性质，如
1.定理
2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。
即
4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）
由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么
（2）
由（1）式 代入（2）式左边，
上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即
21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P
P P P EQ Q Q Q R R R ----------=⇒=∆11121m R R R A E ---=111121m R R R A ----=()()122n n n n
A E E A -⨯⨯−−−−−→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()()111121m R R R A E E A ----=
三，讲解例题
1. 求逆矩阵方法的应用之一
例 解：
四，知识拓展
2．求逆矩阵方法的应用之二
利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置不能变换为单位阵E ，那么A 不可逆。
例 解：
而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A 不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三
利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”）
1112120,113A A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭设求。
112100120010113001A E ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
（）2131r r r r +-112100032110001101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭110302030312001101⎛-⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭
132322r r r r --30211012010133001101⎛⎫- ⎪−−→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭313r 1423310012010133001101⎛⎫-- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭12r r -11423312133101A -⎛⎫-- ⎪ ⎪⇒=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112122145,41211111A A ----⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
设求。
12121000214501004121001011110001A E ⎛---⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（）12121000036921000969401001231001⎛---⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭12121000000011030969401001231001⎛---⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求1A - ，然后求X ＝1A -B 。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1A -就是求解矩阵方
程 的解，而对一般的矩阵方程
只要将 中的E 换成B ，然后利用初等行变换，即
其中的1A -B 即为所求矩阵方程 的X 。
例
解：
五、小结
1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、 解矩阵方程
2.思考：若XA=B ，如何用初等变换法求X?
贺建辉 2007-11-21
AX E =AX B =AX B =()A E ()()
122n n n n A B E A B -⨯⨯−−−−−→ AX B =123252213134343A B AX B X ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，若，求。
123252213134343A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）1232502519026212⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪----⎝⎭102140251900113⎛--⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪---⎝⎭100320204600113⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪---⎝⎭100320102300113⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭132X 2313A B -⎛⎫ ⎪⇒==-- ⎪ ⎪⎝⎭。