逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
第二章 2.3、2.4逆矩阵和线性方程组的矩阵解法(唐忠明版)
11
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
a11 a12 … a1n
x1
b1
设A =
a21 a22 … a2n …………
,
x=
x2 …
, b=
b2 …
,
am1 am2 … amn
xn
bm
未知量
常数项
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1
x1 3x2 12x3 6x4 14
x1 3x2 6x3 4x4 6
x1
3x2
2 x3
4 x4
6
x1 3x2 5x3 2x4 3
24
第二章 矩阵
例4. 设线性方程组:
§2.4 线性方程组的矩阵解法
(x11(1)
(3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时
1 1 1+
1 1 2 3
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
= 0 3 00
3 0
6 0
( 13)
1 1 2 3
1 0 1 1
0 1 1 2 (1) 0 1 1 2
00 0 0
00 0 0
例1. 设方阵 A,B,C 满足 ABC = E, 则必有（ ）
(A) ACB = E
(B) CBA = E
(C) BAC = E
(D) CAB = E
5
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例2. 设方阵A满足A2 A 2E = O,
第二章 2.1、2.2矩阵定义和运算(唐忠明版)
24
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
1. 定义 A = [aij]ms与B = [bij]sn的乘积是一个
mn矩阵C = [cij]mn , 其中
s
cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = aikbkj.
k=1
1
3
1 3
2 1
1
1
0 03 3 0 1 4 0 1
0
1
9
3 2 3
4 1 3
3 2 5
10 2 6
27
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
例4.
设矩阵
A
2 1
4 2
丁 180 150 150
ABC 总价(元) 18000 总重(Kg)
20200 +50100 +30150 +25180 = 18000 18
第二章 矩阵
§2.2矩阵的代数运算
二. 矩阵的乘积
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
数量(箱)
产品 甲 乙 丙 丁 产品 A B C
第二章 矩阵
§2.2 矩阵的代数运算
二. 矩阵的乘积
某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品.
数量(箱)
产品 甲 乙 丙 丁 产品 A B C
单价(元/箱)20 50 30 25 重量(Kg/箱)16 20 16 16
甲 乙 丙
200 180 190 100 120 100 150 160 140
用逆矩阵求解线性方程组的方法-Read
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
也是方程组的 1 解.
例 1.16 解线性方程组
x1 3 x2 7 x3 2 2 x1 4 x2 3 x3 1 3 x 7 x 2 x 3 1 2 3
1 2 2 3
1, M 5
1 0
0, M 6
0 0
0 1
0 4 D M 1 A1 M 2 A2 M 3 A3 M 4 A4 M 5 A5 M 6 A6
0
由拉普拉斯定理知
3 13 1 4 43
由此可见，当选出的行（列）中所组成的k阶子式 大部分为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值 比较简单.
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,, Anj 依次乘方程组1的n个方程, 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
解： 系数行列式 1 3 7 D 2 4 3 196 3 7 2
由于系数行列式不为零， 所以可以使用克拉默法则， 方程组有唯一解。此时
1 D 2 3
3 4 7
7 3 196 2
2 D1 1 3
1
3 4 7
线性代数_唐忠明_答案05
第五章 向量组与解空间 p.100~1045. 设 α1, α2, α3线性无关， β1 = 3α1 – α2 + α3， β2 = 2α1 + 3α2 – α3， β3 = 5α1 + 6α2 + 2α3， 证明: β1, β2, β3也线性无关.证 考虑齐次线性方程组 k 1β1 + k 2β2 + k 3β3 = 0，即 k 1(3α1 – α2 + α3) + k 2(2α1 + 3α2 – α3) + k 3(5α1 + 6α2 + 2α3) = 0 也即 ( 3k 1 + 2k 2 + 5k 3)α1 + (–k 1 + 3k 2 + 6k 3)α2 + ( k 1 – k 2 + 2k 3)α3 = 0 (2) 因为α1, α2, α3线性无关，所以(2)式中3个括号都必须为0， 即 3k 1 + 2k 2 + 5k 3 = 0 –k 1 + 3k 2 + 5k 3 = 0 k 1 – k 2 + 2k 3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = 211631523--= 42 ≠ 0,所以，k 1, k 2, k 3必全为0，故 β1, β2, β3线性无关.证2 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ), C = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211631523由题意 ( β1 β2 β3 ) = ( α1 α2 α3 )C ，因为 | C | = 42 ≠ 0, 所以C 可逆，所以 ( α1 α2 α3 ) = ( β1 β2 β3 )C –1即 α1, α2, α3可以由 β1, β2, β3线性表出，(所以两个向量组等价.) 由p.89命题5.3.2，rank(α1, α2, α3) ≤ rank(β1, β2, β3)因为α1, α2, α3线性无关，所以，rank(α1, α2, α3) = 3, 所以rank(β1, β2, β3) ≥ 3, 而 β1, β2, β3只有3个向量，秩最大为3，所以rank(β1, β2, β3) = 3， 故 β1, β2, β3线性无关.6. 假设 α1, α2, α3线性无关，问λ为何值时， α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3， 也线性无关.解 考虑齐次线性方程组k 1(α1 + 2α2) + k 2(3α1 – λα2) + k 3(α1 + α2 + λα) = 0，即 ( k 1 + 3k 2 + k 3)α1 + (2k 1 – λk 2 + k 3)α2 + (λk 3)α3 = 0 (2) 因为α1, α2, α3线性无关，所以(2)式中3个括号都必须为0， 即 k 1 + 3k 2 + k 3 = 0 2k 1 – λk 2 + k 3 = 0 λk 3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = λλ0012131-= λ(–λ – 6),因为 α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3 线性无关 ⇔ | A | ≠ 0， 所以，λ ≠ 0且 λ ≠ –6时α1 + 2α2，3α1 – λα2，α1 + α2 + λα3 线性无关.7. 已知向量组(I) α1 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, α2 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110, α3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101; (II) β1 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001, β2 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, β3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111; 证明：向量组(I)与(II)等价. 证1 易知 β1 = (α1 – α2 + α3)/2, β2 = α1,β3 = (α1 + α2 + α3)/2; 且 α1 = β2, α2 = –β1 + β3, α3 = β1 – β2 + β3;即向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价. 证2 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ),则3个线性方程组 x 1α1 + x 2α2 + x 3α3 = βk , k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | A | =110011101= 2 ≠ 0, 所以方程组都有(唯一)解，即方程组(II)可以由(I)线性表出;而3个线性方程组 x 1β1 + x 2β2 + x 3β3 = αk , k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | B | =100110111= 1 ≠ 0, 所以方程组也都有(唯一)解，即方程组(I)可以由(II)线性表出;综上，向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价. 证3 记 A = ( α1 α2 α3 ), B = ( β1 β2 β3 ),则 | A | =110011101= 2 ≠ 0, 且 | B | =100110111= 1 ≠ 0,所以向量组(I)与(II)都是线性无关的;因为dim(R 3) = 3, 而向量组(I)与(II)中的向量都是3维向量， 所以向量组(I)与(II)都是的R 3基，所以向量组(I)与(II)等价.13. 证明：向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出的充要条件是向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等. 进而证明：向量组 α1, α2, , αs 与向量组 β1, β2, , βt 等价的充要条件是这两个向量组的秩都与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等.证 必要性: 向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出 ==>向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等. 若向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出，则向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 也可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出 由p.89命题5.3.2，rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ) ≤ rank(β1, β2, , βt ) 而则向量组β1, β2, , βt 是α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的部分组 所以 rank(β1, β2, , βt ) ≤ rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt ) 所以 rank(β1, β2, , βt ) = rank(α1, α2, , αs , β1, β2, , βt )充分性: 向量组 β1, β2, , βt 的秩与向量组α1, α2, , αs , β1, β2, , βt 的秩相等 ==> 向量组 α1, α2, , αs 可以由向量组 β1, β2, , βt 线性表出设向量组 β1, β2, , βt 的秩为r ，前r 个向量 β1, β2, , βr 是它的极大线性无关组。
线性方程组的解法与矩阵求逆
线性方程组的解法与矩阵求逆线性方程组是数学中的重要概念，它可以描述多个线性方程的关系。
解线性方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是矩阵求逆。
本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵求逆的原理和步骤。
一、线性方程组的解法线性方程组可以用矩阵形式表示。
比如，我们有如下的线性方程组：```2x + 3y = 74x - 2y = 2```可以看出，这是一个二元一次线性方程组，其中未知数是x和y，常数项分别是7和2。
我们可以将方程组的系数写成一个矩阵A，未知数写成一个矩阵X，常数项写成一个矩阵B。
那么，上述线性方程组可以表示为下面的形式：```A*X = B```要求解这个线性方程组，可以使用消元法、代入法、剩余定理等多种方法。
在这里，我们将重点介绍矩阵求逆法。
二、矩阵求逆要使用矩阵求逆法解线性方程组，首先需要知道矩阵的逆。
一个n阶方阵A的逆矩阵记作A^-1，具有以下性质：```A * A^-1 = I```其中，I是n阶单位矩阵。
如果我们将线性方程组的系数矩阵A进行求逆操作，再将方程组的常数项矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵，就可以得到未知数矩阵X的值。
具体求解步骤如下：1. 计算系数矩阵A的行列式D。
如果D=0，则矩阵A没有逆矩阵，线性方程组无解。
2. 计算A的伴随矩阵Adj(A)，即将A的每个元素的代数余子式组成的矩阵取转置。
3. 计算A的逆矩阵A^-1，使用如下公式：```A^-1 = (1/D) * Adj(A)```其中，D为A的行列式。
4. 将矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵A^-1，即得到未知数矩阵X：```X = A^-1 * B```通过以上步骤，我们可以求解出线性方程组的未知数矩阵X。
需要注意的是，如果A的行列式D为0，则方程组无解或者有无穷解。
三、示例我们以一个三元一次线性方程组为例，来演示矩阵求逆法的求解过程：```2x + y - z = 7x - 3y + 2z = -113x + y - 4z = 5```首先，将系数矩阵A和常数项矩阵B写成矩阵形式：```A = | 2 1 -1 || 1 -3 2 || 3 1 -4 |B = | 7 ||-11 || 5 |```然后，按照矩阵求逆法的步骤进行计算：1. 计算A的行列式D，有D = -42。
求逆矩阵的方法总结
求逆矩阵的方法总结
求逆矩阵是线性代数中常用的一种技术，可以帮助我们快速求解线性方程组，并解决很多实际问题。
下面我们就来总结一下求逆矩阵的方法。
首先，我们要判断矩阵是否可逆，也就是看它是否可秩为n（n为矩阵的阶数）。
只有当矩阵可秩为n时，才能求出它
的逆矩阵。
其次，我们要用行列式法求解矩阵的逆矩阵。
即求出矩阵的行列式，如果行列式的值不为
0，则此矩阵可逆，我们就可以继续求解其逆矩阵。
行列
式的值为0时，表示此矩阵不可逆，此时无法求解矩阵的逆矩阵。
接下来，我们要用逐元分解法求解矩阵的逆矩阵。
将矩阵A分解为n个方程，其中每一个方程由矩阵A的某一列（列
向量）和某一列（行向量）组成。
把n个方程分别转换成n个线性方程组，求解出n个未知数，将这些未知数按行组成新的矩阵，此矩阵即为矩阵A的逆矩阵。
最后，我们还要使用矩阵的乘法法求解矩阵的逆矩阵。
即用矩阵A乘以它的逆矩阵，得到单位矩阵。
根据乘法的性质，如果A乘以B得到单位矩阵，则B就是A的逆矩阵。
以上就是求逆矩阵的方法总结。
求逆矩阵是一种常用的技术，它可以帮助我们快速求解线性方程组，解决实际问题。
不过，在求逆矩阵的时候，我们要注意矩阵的可逆性，因为只有可逆矩阵才能求出逆矩阵。
此外，还要注意矩阵的计算过程，确保结果的准确性。
第二章 、逆矩阵和线性方程组的矩阵解法 ppt课件
1
第二章 矩阵
2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 线性方程组的矩阵解法
2
第二章 矩阵
§2.3 可逆矩阵
数的乘法满足交换律 abba，且当 ab 1
时，有 ba1,ab1.
矩阵的乘法一般不满足交换律 ABBA
但当 A BB AE时，A 与 B 有什么关系
？ 例如：10
[A, b] =
a21 a22 … a2n …………
b2 …
为增广矩阵
am1 am2 … amn bm
13
第一章 线性方程组与消元法
§1.2 Gauss消元法
Gauss消元法(Gauss’ method)
2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3
2x1+2x2 6x3 = 2
r1
1
11 1 0
1 1
1
0
11 1 0
1
1
1 0
0 1
3
第二章 矩阵
§2.3 可逆矩阵
§2.3 可逆矩阵 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得
AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵.
2. 逆矩阵的唯一性 若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C.
注: A的逆矩阵记为A1.
☺ 结合律的妙用之二
4
第二章 矩阵
§2.3 可逆矩阵
注 ①对于方阵A, AB = E A可逆且A1 = B. BA = E A可逆且A1 = B.
例1. 设方阵 A,B,C 满足 ABC = E, 则必有（ ）
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解：
2 2 1 7
A,
b
1
1
1
2
1 1 3 0
r1 r2 1
[A,b] → 2
1
1 1 1 0 0 3 0 0 2
1 1 2
2 1
1 3
7 0
2r1
r2
→
,
r1
r3
2 3 2
2 3
r2
r3
→
1 0 0
1 0 0
1 3 0
2
3 B1 0
再作初等行变换 B1 又可以变为
23
第二章 矩阵
例3. 解线性方程组
§2.4 线性方程组的矩阵解法
x1 3x2 12x3 6x4 14
x1 3x2 6x3 4x4 6
x1
3x2
2 x3
4 x4
6
x1 3x2 5x3 2x4 3
24
第二章 矩阵
例4. 设线性方程组:
§2.4 线性方程组的矩阵解法
(x11(1)
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
(1) 当 0且 3时, 方程组有唯一解;
(2) 当 = 0时, 方程组无解;
(3) 当 = 3时, 方程组有无穷多解. 此时
1 1 1+
1 1 2 3
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+)
= 0 3 00
3 0
6 0
( 13)
1 1 2 3
1 0 1 1
(A+2E)1 = (A1 ) 2
6
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例3. 设方阵A满足2A3 A2 + E = O, 证明A + E可逆, 并求(A+E)1.
证明: 2A3 A2 + E = O
(A+E)(2A2 3A +3E) 2E = O
2A2 3A +3E
A+E 2A3 A2 + O + E 2A3 +2A2
3A2 + O 3A2 3A
3A + E
3A +3E
2E
7
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例3. 设方阵A满足2A3 A2 + E = O, 证明A + E可逆, 并求(A+E)1.
证明: 2A3 A2 + E = O (A+E)(2A2 3A +3E) 2E = O
(A+E)(2A2 3A +3E) = 2E
1/2
1 2
r3
对换变换 倍乘变换
倍加变换
x1+2x2 x3 = 3 2 (1)
2x13x2+4x3 = 4
2r1 r2, r1 r3
x1 + x2 3x3 = 1
x1+2x2 x3 = 3
x2+2x3 = 2 x22x3 = 2
r2 r3
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 0 = 0 14
[A, b] =
a21 a22 … a2n …………
b2 …
为增广矩阵
am1 am2 … amn bm
13
第一章 线性方程组与消元法
§1.2 Gauss消元法
Gauss消元法(Gauss’ method)
2x13x2+4x3 = 4 x1+2x2 x3 = 3
2x1+2x2 6x3 = 2
r1 r2
1 1 1+
1 1 1+ (1) 1 1+ 1 3 1+ 1 1 0
1 1 1+ (1 ) 0 3 1+ 1 1 0
1 1 1+
0
3 1
0 (2+ ) (1+ )
1 1 1+
0
3
0 0 (3+ ) (1)(3+ )
26
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
1 1 1+
0
1 2 1 3
0 1 2 2 1
0 1 2 2
r2 r3
1 2 1 3
0 1 2 2
00 0 0
16
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
x1+2x2 x3 = 3 2r2 r1 x1 5x3 = 1
x2+2x3 = 2 (2)
x2+2x3 = 2
0= 0
0=0
x1 = 5c + 1 x2 = 2c 2 x3 = c
？ 例如： 10
1 1
1
0
1 1
1 0
1 1
1
0
1
1
1 0
0
1
3
第二章 矩阵
§2.3 可逆矩阵
§2.3 可逆矩阵 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得
AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵.
2. 逆矩阵的唯一性 若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C.
(D) CAB = E
5
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
例2. 设方阵A满足A2 A 2E = O,
证明A，A + 2E可逆, 并求A1， (A+2E)1.
证明: A2 A 2E = O
A(A E) 2E = O
A(A E) = 2E
A 12 (A E) = E
A1
=
1 2
(A E).
线性代数
1
第二章 矩阵
2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 线性方程组的矩阵解法
2
第二章 矩阵
§2.3 可逆矩阵
数的乘法满足交换律 ab ba，且当 ab 1
时，有 b a1, a b1.
矩阵的乘法一般不满足交换律 AB BA
但当 AB BA E 时，A与 B 有什么关系
注: A的逆矩阵记为A1.
☺ 结合律的妙用之二
4
第二章 矩阵
§2.3 可逆矩阵
注 ①对于方阵A, AB = E A可逆且A1 = B. BA = E A可逆且A1 = B.
例1. 设方阵 A,B,C 满足 ABC = E, 则必有（ ）
(A) ACB = E
(B) CBA = E
(C) BAC = E
（1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零；
（2）、每个台 阶 只有一行，
1 1 2 1 4
0
3
3
1
6
0 0 0 1 3
0
0
0
0
0
台阶数即1是非1 零0行的0 行4数，阶梯线的竖线后面
的零注第 元意一 ．个00元素21 为00非零22元3，2 即不非是零行行的阶第梯一形个矩非阵!
00 0 0 4
2r1 r2, r1 r3
x1+2x2 x3 = 3
x2+2x3 = 2 1 轻
x22x3 = 2 x1+2x2 x3r2= r33
装 上 阵
x2+2x3 = 2
0= 0
2 3 4 4
1 2 1 3
2 2 6 2 1/2
1
2
r1 r2,
1 3
1 2
r3
2
(1)
2 3 4 4
1 1 3 1
2r1 r2, r1 r3
第一章 线性方程组与消元法
行阶梯形
§1.2 Gauss消元法
行最简形
x1+2x2 x3 = 3
x 2r2 r1 1 5x3 = 1
x2+2x3 = 2 (2)
x2+2x3 = 2
0=0
0= 0
由此可得原方程组的通解（一般解）:
x1 = 5x3+1
5c+1
x2 = 2x32 或写成向量形式 x = 2c2 ,
(A+E)
1 2
(2A2
3A
+3E)
=
E
(A+E)1
=
1 2
(2A2
3A
+3E).
8
第二章 矩阵
§2.2 可逆矩阵
注: ② AB = O AO
B = O,
AB = O
A可逆
B = O,
AB = AC AO
B = C,
AB = AC
A可逆
B = C,
③ AX = C且A可逆 X = A1C,
(1) 对换变换: ci cj, (2) 倍乘变换: ci k, (3) 倍加变换: kcj+ci.
初等行变换 初等变换
初等列变换
§2.4 线性方程组的矩阵解法
行row，列column
可逆变换！ 同解变换！
18
例1. 解线性方程组
2x12x2 x3 = 7 x1 x2 +x3 = 2 x1 x2 + 3x3 = 0
a21x1+a22x2+… +a2nxn = b2 …………………
Ax = b.
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
12
第二章 矩阵
§2.4 线性方程组的矩阵解法
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
为系数矩阵
am1 am2 … amn