秩与线性方程组的解
应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则并列举克拉默法则的应用
１绍兴文理学院数学专业论文应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则并列举克拉默法则的应用院系：数理信息学院专业：数学与应用数学（师范）2012级曹炼壹 陈楚群 陈杭宇 陈瑶 陈羽白指导老师：何济位目录一、摘要及关键词 (3)二、克拉默法则介绍 (3)三、克拉默法则的局限与推广 (4)四、应用矩阵秩与线性方程组解的关系推导克拉默法则（1）矩阵秩与线性方程组解的关系关系 (5)(2)应用关系推导克拉默法则 (6)五、克拉默法则的应用 (8)六、结束语 (11)七、参考文献 (12)２３一、摘 要：线性代数是代数学的一个重要组成部分,广泛应用于现代科学的许多分支,其核心问题之一就是线性方程组的求解问题,对此,通常有两种解决方法,即消元法与克拉默法则。
而克拉默法则正是应用行列式解决线性方程组的问题,其简洁、优美的表述方式堪称符号化的一个典范。
本文描述了克拉默法则产生的背景与局限，归纳了克拉默法则及其推广及其证明方法，并用典型例题说明了克拉默法则的应用。
关键词：克拉默法则；线性方程组；矩阵秩；克拉默法则的应用二、克拉默法则介绍克拉默法则（Cramer's Rule ），也称克莱姆法则，是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
线性代数是代数学的一个重要的组成部分，广泛地应用与现代科学的许多分支。
其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。
对此通常有两种方法，即消元法和克拉默法则。
在中古代，《九章算术》的成书年代就已经将消元法运用自如了，它与现代的矩阵初等变换法则非常相似，而在西方，类似的方法到1826年才被高斯（1777-1855）发现并创建，因而称之为高斯消元法。
至于克拉默法则，它是瑞士数学家克拉默（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的，它是按行列式形式来求解线性方程组的，它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，其简洁、优美的表述方式堪称数学学科符号化的一个典范。
线性方程组与矩阵秩的若干问题
引理4 对任意 ( AB)、( BC )，有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中，对任意 ( AB) 、
( BC )，有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出 版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版 社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技 大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式：
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式：
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题：
在这两个不等式中等号成立的条件是什么？
即以下等式成立的条件分别是什么？
这样， L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0
向量的秩与线性方程组解的结构
所以向量组
α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4
α α
3 4
= (0,0,0,5 )
= (0,0,0,0 ) 的秩为3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 4⎟ β1 = ⎜ ⎟ , β 2 = ⎜ ⎟ , β 3 = ⎜ ⎟ , β 4 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ 7 1 而 可以验证 β 1 , β 2 , β 4 线性无关， β 3 = β 1 − β 2 + 0 β 4 2 2 所以向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 的一个极大无关组是 β 1 , β 2 , β 4
知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它 的基础解系.
3. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个 列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
⎛1 ⎜ ⎜ ⎜0 B = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝ 0 1 b 11 br1 b 1 ,n − r ⎞ ⎟ ⎟ b r,n − r ⎟ ⎟, 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x1 ⎞ ⎛ − b 11 ⎞ ⎛ − b 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− b ⎟ ⎜−b xr r1 r2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x r +1 ⎟ = c1 ⎜ 1 ⎟ + c 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 1 xr+2 ⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0
⎛x1 ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b,n−r ⎞ 11 12 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ , ,⎜ ⎜x ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎝ r ⎠ ⎝ r1⎠ ⎝ r2 ⎠ ⎝ r,n−r ⎠
系数矩阵的秩和基础解系的关系
系数矩阵的秩和基础解系的关系
系数矩阵的秩和基础解系的关系可以通过以下定理说明。
定理：设一个齐次线性方程组的系数矩阵为A，其秩为r，则原方程组的解空间的维数为n-r，其中n为未知数的个数。
根据这个定理，可以得到系数矩阵的秩和基础解系的关系：
1. 当秩r=n时，方程组的解空间的维数为n-r=0，即方程组只有零解，此时基础解系为空集。
2. 当秩r=n-1时，方程组的解空间的维数为n-r=1，即方程组有一个自由变量，此时基础解系中只包含一个解向量。
这个解向量可以视为解空间的一组基。
3. 当秩r<n-1时，方程组的解空间的维数为n-r>1，即方程组有多个自由变量，此时基础解系中包含多个解向量。
这些解向量线性无关，并且可以视为解空间的一组基。
综上所述，系数矩阵的秩决定了解空间的维数，同时也决定了基础解系中解向量的个数。
线性方程组的解与秩的关系
线性方程组的解与秩的关系
线性方程组的解与秩的关系如下：
如果该行列式为一个n阶行列式，那基础解系的解向量为n减去秩的数量，简单的说解向量的个数为零行数。
对有解方程组求解，并决定解的结构。
这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n 时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。
当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。
但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有，即不一定有解。
将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。
当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。
代入消去法就是先利用其中一个方程，将含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数。
然后代入另一个方程，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程式的方法。
在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。
组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。
且方程
中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。
线性方程组有解的判定条件
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 B =3
−2 −1
3 5
−1 −3
1 2
r2 r3
− −
2r1r1
1 0
−2 5
3 −4
−1 0
1 − 1
2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 05 −04 0 12
显然，R( A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
λx1 + x2 x1 + λx2
+ +
x3 x3
= =
1
λ
x1 + x2 + λx3 = λ2
问λ取何值时,有解?有无穷多个解 ?
解 对增广矩阵 B = ( A,b) 作初等行变换，
λ 1 1 1 1 1 λ λ2
B=1 λ 1 λ ~1 λ 1 λ
1
1λ
λ2
λ
1
1
1
1 1
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax = b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R(A) < n.
证 必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解，
设R(A) = n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
3.2矩阵的秩与线性方程组有解的判定
2
5
4、 设 n 阶可逆矩阵 A，
A 0, A的最高阶非零子式为 A ,
R( A) n, 故 A的标准形为单位阵 , A ~ E . E
可逆矩阵的秩等于其阶 数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵.
一般地，若R( A) min(m , n), 则称A为满秩矩阵 , 若R( A) min(m , n), 则称A为降秩矩阵 .
1) 无解的充要条件R( A) R A, b ; 2) 有唯一解的充要条件R( A) R A, b n ;
3) 有无穷多解的充要条件 ( A) R A, b n . R
RA RB Ax b无解
RA RB n Ax b有唯一解
一矩阵秩的概念二矩阵秩的求法数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵称为矩阵阶行列式中所处的位置次序而得变它们在不改元素阵的秩等于零并规定零矩的秩记作称为矩阵的最高阶非零子式数称为矩阵那末全等阶子式如果存在的话且所有中有一个不等于设在矩阵定义子式的最高阶数中不等于零的显然有显然有
R( A) 2.
1 例2 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 0 1 5
计算A的3阶子式，
1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 , 0 2 1 00 2 3 2 , 1 3 0, 1 3 0, 0 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
例2 另解
1 3 2 2 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5
线性方程组有解的判定条件
非齐次线性方程组 Ax b RA RB n Ax b有唯一解;
RA RB n Ax b有无穷多解.
思考题
讨论线性方程组 x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1, x 1 3 x 2 6 x 3 x 4 3, 3 x1 - x 2 - p x 3 15 x 4 3, x1 - 5 x 2 - 10 x 3 12 x 4 t 当p, t取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解? 在方程组有无穷多解的 情 况下, 求出一般解.
例５ 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时, 有解? 有无穷多个解?
解 对增广矩阵 B ( A, b) 作初等行变换，
B 1 1
1
1 1
1
1 1 ~1 2
其余 n - r个作为自由未知量, 并令 n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
定义：含有个参数的方 程组的任一解，称为线 性 方程组的通解．
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩，
讨论线性方程组 Ax b 的解．
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R A n.
证 必要性. 设方程组元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
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例子3.2(续2)
方程组有唯一解.
方程组无解 (此时阶梯形方程组的第3个方程为``0 = 3''). 3) 当 a = 1时,
方程组有无穷多解 (此时阶梯形方程组的第2,3个方程均为``0 = 0'').
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例题 3.3
解法一: 先计算系数矩阵A的行列式:
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§3 线性方程组的解与秩
通过线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断 线性方程组的解的情况 几个结论
线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组有唯一解的充分必要条件 线性方程组有无穷多解的充分必要条件
应用
两直线的位置关系 直线与平面的位置关系
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线性方程组有解判别定理
定理 3.2 设线性方程组(3.1)有解.
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直线与平面的位置关系
两者的位置关系取决于下述线性方程组的解的情况
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定理 3.1的证明
则方程组(3.1)等价于向量的等式: 由此得到
线性方程组(3.1)有解
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定理 3.2 的证明
即方程组的解Байду номын сангаас一. 由此可得方程组有无穷多解.
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例题 3.3 (续)
解法二: 用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵.
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例题 3.3 (续2)
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例题 3.3 (续3)
解得
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两直线的位置关系
设两条直线都用一般方程表示, 即
它们的位置关系取决于下述方程组的解的情况
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两直线的位置关系（续）
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proof
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例子 3.1
解: 线性方程组(3.2)的增广矩阵为范德蒙德矩阵,
所以线性方程组(3.2)无解.
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例子 3.2
解法一: 方程的数目与未知量的数目相同. 先算出系数矩阵的行列式：
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无穷多解
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例子3.2(续)
解法二: 用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯矩阵