非齐次线性方程组解的结构性质

3-5线性方程组解的结构 -2

cr ,r 1
1
,2
cr,r 0
2
,L
,nr
cr 0
n
12
nr
0
1
0
便是方程组(3-14)
M 0
M 0
M 1
的一个基础解系.
由于初等变换是同解变换，故方程组（3-14）
x1 c1r1xr1 L c1n xn
x2
c2r1 xr1 L LL
c2n xn
量，故有 A1 0, A2 0
于是
A(k11 k22 ) k1 A1 k2 A2 k1 0 k2 0 0
所以 k11 k22 也是（3-2）解向量. 一般地，若 1,2,L ,m 是线性方程组的解向量，则 k11 k22 L kmm 也是解向量.
3 基础解系若齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷
（3-17）的解，因此存在数 k1, k2 ,L , knr ，使
' k11 +k22 L kn r nr 即 ' k11 +k22 L knr nr
由定理3.18可知，求一个非齐次线性方程组
的通解时，只需求出它的某一个特解和对应的
齐次线性方程组的通解即可.
例3 求下列非齐次线性方程组的通解
且任一基础解系中解向量的个数为 n r.
第一步：对方程组AX=0的系数矩阵A作初等行
变换，化A为行最简形．不妨设
1 0 L 0 c1,r1 L c1n
0
A初等行变换
L 0
L00
1L
LL 0L
0L LL 0L
0
L 1
0 L 0
c2,r1 L LL cr,r1 L 0L LL 0L
c2n L

4-3.非齐次线性方程组PPT

1 1 2 1 1 0 0 2 4 0 0 3 t 5 1 2 3
(k1 , k2 R)
练习 k为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 x2 2 x3 2 x4 6 x5 k
有解，并在有解时求通解.
解
1 A 3 0 1 r2 3r1 0 0
唯一解 x1 d1 , x2 d 2 , xn d n
x1 c1r 1 xr 1 c1n xn d1 x c x c x d 2 2 r 1 r 1 2n n 2 xr crr 1 xr 1 crn xn d r 其中 xr 1 ,, xn 为自由变量，故方程组有依赖于
4-2=2个独立参量的无穷多解
1 1 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2 . 0 0 0 0 0
所以方程组的通解为
同解方程组为 x1 x2 x4 1 2 x2 x2 2 x4 1 2 x3 x4 x4
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B 3 1 p 15 3 1 5 10 12 t
2 3 1 1 1 4 2 2 0 2 ~ 0 4 p6 6 0 0 6 12 9 t 1
n-r 个独立参量的无穷多解.
例1 设有线性方程组

(1 ) x1 x2 x3 0, x1 (1 ) x2 x3 3, x x (1 ) x . 3 1 2
问取何值时，此方程组（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解.

第三节非齐次线性方程组非齐次线性方程组的概念

11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.

非齐次线性方程组解的结构

两个解向量．
原方程组的同解方程组为
x1 x2
x4 x5 1， 6 ，其中， x4 ，x5 为自由未知量．
x3 x4
2，
令自由未知量
x4 x5
1 0
， 10
，得到导出组的一个基础解系为
1 1
1
0
1
，
2
0
0
．
1
0
0
1
非齐次线性方程组解的结构
例题
令自由未知量
x4 x5
0
0
，得到原方程组的一个特解
1
6
2
0
，故原方程组的通解为
0
1 1 1
0
0
6
x
k11
k22
k1
1
k2
0
2
，
1 0 0
0 1 0
其中， k1 ，k2 为任意常数．
非齐次线性方程组解的结构
例题
例3
x1
x3 ，
x4
x5 3，的通解．
x1 3x2 4x3 3x4
x5 11
解：对增广矩阵 A 施行初等行变换，即
2 1 1 1 2 6
1 1 2 1 1 3
A
1
1
2
1 3 4
1 1
3
r2 r1
2
1
1
1
2
6
3 1 11
1 3 4 3 1 11
1 1 2 1 1 3
1 0 1 2 1 3
3x4 x4
13，，的通解．
x1 3x2 3x3 7x4 7
解：对增广矩阵 A 施行初等行变换，即
1 1 1 1 1

3-6 非齐次线性方程组解的结构

T T
(1, b , c ) ，试问：当 a , b , c 满足什么条件时，
T
(1) 可由 1 , 2 , 3 线性表示，且表示唯一 ? (2 ) 不能由 1 , 2 , 3 线性表示 ? (3 ) 可由 1 , 2 , 3 线性表示 , 但表示不唯一 ?
2
x x
1
1 1 及 , 0 2 3
1 1 , 0 0 1 0 , 2 1
即得对应的齐次线性方程组的基础解系

1

2
于是所求通解为

x x x x
1
1 1 1 2 1 0 0 2 , k1 k 2 0 2 1 2 3 0 1 0 4
1
3
A ( 1 2 ) A 1 A 2 O
故 1 2 也是 A X o的解 .
性质2
若 0方程组（ 3.16）的解，是其导出组（ 3.17）的任意一个解，则 0 仍是方程组（ 3.16）的解。
证因为 A 0 ,
1
5
由性质1 1 0 一定是导出组（3.17）的解因此必定可由导出组（3.17）的基础解系线性表出即存在常数
k1 , k 2 , , k n r
，使得
1 0 k 1 1 k 2 2 k n r n r
于是
1 k 1 1 k 2 2 k n r n r＋ 0
由 R A R B ,知方程组有解 . 又 R

线性方程组解的结构

xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.

线性代数非齐次线性方程组解的结构(1)

⏹非齐次线性方程组解的性质⏹非齐次线性方程组解结构定理设n 元非齐次线性方程组其中A =(a ij )m ×n 为系数矩阵, A X b（1）X = (x 1, x 2, …,x n )T ,b = (b 1,b 2, …,b n )T .在(1)中,令b =0,得到的齐次方程组AX =0称为方程组(1) 的导出组,或称为方程组(1) 的对应齐次线性方程组.性质1设X1,X2是非齐次线性方程组AX=b的任意两个解向量，向量.则X1-X2是其导出组AX=0的解设X1 ，X2为AX=b的两个解向量,则有AX1=b, AX2=b ,因为A(X1−X2)即X1−X2为方程组AX=0的解向量.=AX1−AX2=0，证性质2非齐次线性方程组AX =b 的某一个解向量X 0与其导出组的任意一个解向量a 之和仍为AX =b的解向量.设X 0为AX =b 的一个解向量,则有AX 0=b , A a =0,因为A (X 0+a )即X 0+a 为方程组AX =b 的解向量.=AX 0+A a =b ，证a 为AX =0的一个解向量,定理2量,满足,X 0是它的一个解向设非齐次线性方程组AX =b则方程组AX =b 的通解可表为a 1,a 2, …,a n -r 是它的导出组AX =0的一个基础解系, ()()R A R A r n 其中k 1,k 2, …,k n -r 为任意常数.01122n r n r X X k k k证设X是方程组AX=b的任意一个解向量, 由非齐次线性方程组的解向量的性质1, X−X0是其导出组AX=0的解向量, 于是它可由其基础解系a 1,a 2, …,a n -r 线性表出,即从而有01122n r n rX X k k k 证毕.01122n r n r X X k k k定理2表明,非齐次线性方程组AX =b 通解(也称为全部解或一般时,()()R A R A r n 当解)可以表示为它的某个已知解向量(特解)加上它的导出组AX =0的通解.。

解的结构

A(kξ1 ) = kA(ξ1 ) = k 0 = 0.
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
η1 ,η 2 ,⋯ ,η t 称为齐次线性方程组 Ax = 0的基础
解系, 如果
(1)η 1 ,η 2 , ⋯ ,η t 是 Ax = 0的一组线性无关的解 ;
( 2 ) Ax = 0的任一解都可由 η 1 ,η 2 , ⋯ ,η t 线性表出.
⋯ ⋯
0 1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
b11 ⋯ b1,n− r x1 ⋯ ⋯ ⋯ x 2 br 1 ⋯ br ,n− r ⋮ = 0 ⋯ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ 0 x n
x1 = − b11 xr +1 − ⋯ − b1 ,n− r xn ⇔ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ x = −b x − ⋯ − b r 1 r +1 r ,n− r xn r
下面证明 ξ1 ,ξ 2 ,⋯ ,ξ n− r 是齐次线性方程组解空间的一个基．间的一个基．
(1)证明ξ1,ξ2 ,⋯,ξn 线性无关 .
由于 n − r 个 n − r 维向量
1 0 ⋮ , 0
0 0 1 0 ⋮ , ⋯, ⋮ 0 1
线性无关，线性无关，亦线性无关. 所以 n − r 个 n 维向量 ξ1 ,ξ 2 ,⋯ ,ξ n− r 亦线性无关
(2)证明解空间的任一解都可由 ξ1 ,ξ2 ,⋯,ξn−r − . 线性表示
λ r +1 ⋯ λ n ) 为上述方程组的一个解 . 再作 ξ1 ,ξ 2 ,⋯ ,ξ n− r 的线性组合 ,
故ξ = η .