非齐次线性方程组
3.5 非齐次线性方程组
2.设1 (1,3,0,5)T , 2 (1,2,1,4)T , 3 (1,1,2,3)T ,
(1, a,3, b) .
T
（ ）a, b取何值时能用1，2，3线性表示？表示式为？ 1
（2）a, b取何值时不能用1，2，3线性表示？
设 x11 x22 x33 x1 (1 , 2 , 3 ) x2 AX x 3
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
复习
非齐次线性方程组Am×nX=b有解 增广矩阵(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵“无尾巴”
阶梯矩阵法
一、非齐次线性方程组有解的条件 定理 非齐次线t; 秩( A) 秩( A, 秩( A,b) b)=
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
A b, A O A( ) b
2. 非齐次线性方程组的结构式通解 定理 设A是一个 m n矩阵，b是一个m维列向量，
证明： Am×n X = b 有解
秩法
x 11 + x2 2+ … + xnn = b 有解
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1
第三节 非齐次线性方程组
1
43 R(A)=R(B)=3 <5
4 3
方程组有
2
无穷多个解
x1
1 2Biblioteka x41 4x5
1 4
有
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 4
x3
x4
1 2
x5
3 2
1
43
取x4=x5=0, 得方程组的一个特解:
*
4 3
对应齐次方程组
x1
1 2
x4
1 4
x5
的同解方程组为:
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 x1
x2
p
x3
15 x4
3,
x1 5 x2 10 x3 12 x4 t
当p, t取何值时,方程组无解?有唯一解?
有无穷多解?在方程组有无穷多解的情
况下,求出一般解.
32
返回
解
1 1 2 3 1
B
1 3
3 1
6 p
1 3 15 3
1 5 10 12 t
1 1 0 2
2
3 1
(2). 当 1时,
1 1 1 1
B 0 0 0 0 . 0 0 0 0
R( A) R(B) 1.
因此方程组有无穷多个解.
(n r 3 1 2. 有两个任意常数).
26
返回
(3). 当 2 时,
1 1 2 4 B [ A,b] 0 3 3 6.
0 0 0 3
1、非齐次方程组的求解步骤
(1) 写出B，并将B化为行阶梯形；从而求出 R( A)与 R(B)以判 断是否有解;
非齐次线性方程组
2 6
4x1 5x2 3x3 3x4 x5 4
对方程组的增广矩阵作初等行变换，得
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2
1
2
0
0
4
2
r2 r1
r3 r1 0 r4 4r1
1
1 1 5 4
1 0 2 2 6 6
r2 r1
1
r3 r1 0
0
1
1 1
1 1 2
2
2
1
3
1 r3r1 0
0
1
1
0
1 2 2
2
2
1
3
2
1 1
非齐线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
形如
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
(1) 的方程组
若b1,b2,,bm不全为0 称为非齐次线性方程组
证明: 由 A( ) A A b 0 b
知 X 是AX b的解
定理
对非齐次线性方程组 AX b
若 R（A）=R (B) r n 且已知 1 ,2 ,nr
是对应齐次线性方程组 AX 0 的基础解系，
0 是 AX b 的某个已知解，则 AX b 的通解为
对应齐次线性方程组的同解方程组为
x1 x2
2x3 2x4 x3 x4
3-6.非齐次线性方程组
ïï í ï
x2 x3
= =
x2
2x4 + 1 2
ïîx4 =
x4
çæ x1 ÷ö çæ 1÷ö çæ 1÷ö çæ1 2÷ö
ç ç ççè
x2 x3 x4
÷ ÷ ÷÷ø
=
k1
ç ç
ççè
1÷ 00÷÷÷ø
+
k2
ç ç
ççè
0÷ 12÷÷÷ø
+
ççççè1002÷÷÷÷ø.
(k1, k2 Î R)
例2 求解非齐次线性方程组
ú ú
êë0 0 0 0 0 k -3úû
ìx1 = x3 + x4 + 5x5 - 2
得
ï ïï í
x2 x3
= =
-2 x3 x3
-
2x4
-
6 x5
+
3
ï ï
x4
=
x4
ïîx5 =
x5
通解 为
é 1 ù é 1 ù é 5 ù é- 2ù
êê- 2úú
êê- 2úú
êê- 6úú
ê ê
3
ú ú
x
x = k1x1 + L + kn-rxn-r + h * .
例1 求解非齐次方程组的通解
ì ï í
x1 x1
-
x2 x2
+
x3 x3
+ -
x4 = 0 3x4 = 1
注意书写格式
ïî x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = - 1 2
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念
11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
如何求解非齐次线性方程组
如何求解非齐次线性方程组非齐次线性方程组是数学中一类常见的求解问题，它指在一组方程中，有一个或多个方程的项数（次数）比其它方程的项数（次数）少，而且每个方程的项数（次数）都是非零的。
解决非齐次线性方程组的方法有很多，最常用的有矩阵消元法、列主元消元法、广义逆矩阵法和全选主元消元法等。
矩阵消元法是最常用的解决非齐次线性方程组的方法之一。
它的基本思想是：将非齐次线性方程组写成矩阵形式，然后采用消元的方法，将矩阵逐行变换为上三角形式，从而求出方程的解。
根据具体情况，可以采用上三角形式或者下三角形式进行消元，一般都是采用上三角形式，因为它可以使矩阵变换得更简单。
列主元消元法是矩阵消元法的一种变形，它的基本思想是：将非齐次线性方程组写成矩阵形式，在矩阵中，从第一列开始，每一列都选择一个非零元素作为主元，然后将其它元素消元到零，最后求出方程的解。
广义逆矩阵法是另一种解决非齐次线性方程组的方法，它的基本思想是：将非齐次线性方程组写成矩阵形式，然后求出该矩阵的广义逆矩阵，最后将广义逆矩阵与方程组右侧的值相乘，求出方程的解。
全选主元消元法是另一种解决非齐次线性方程组的方法，它的基本思想是：将非齐次线性方程组写成矩阵形式，在矩阵中，从第一行开始，每一行都选择一个非零元素作为主元，然后将其它元素消元到零，最后求出方程的解。
总的来说，解决非齐次线性方程组的方法有很多，具体该采取哪种方法要根据具体情况而定，一般来说，如果要求解的方程组较为简单，可以采用矩阵消元法或者列主元消元法，而如果要求解的方程组较为复杂，则可以采用广义逆矩阵法或者全选主元消元法。
在实际应用中，不同的方法解决非齐次线性方程组可以得到不同的解，因此，在实际应用中，要根据实际情况结合各种方法来求解方程组的解。
非齐次线性方程组
非齐次线性方程组Ax=b一、基本理论线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩.非齐次线性方程组的解集结构：若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ).解非齐次线性方程组的方法：通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解.二、Matlab 实现调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b .三、例子例1. 求解线性方程组1234524512345123512345343226333434222026231x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪---=-⎪⎪-++-=⎨⎪++-=⎪-+-++=⎪⎩A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]A1 =3 -4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1rref(A1)ans =1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0化为方程组32415510x x x x x x ++=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以解为15233354555311000001100011010x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++例2. 设函数2y axbx c =++经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a , b , c .解1422930a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩输入系数矩阵A 和右端项bA=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);增广矩阵1A A1=[A b]A1 =[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]利用rref 求解 R=rref(A1)R =[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]即解为311,,322a b c =-==-解二判断方程组是否有解, 即系数矩阵A 的秩是否等于增广矩阵1A 的秩. rank(A)==rank(A1)ans = 1 有解.判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A 是否等于A 的列数n .[m,n]=size(A); rank(A)==nans = 1A 的秩等于列数n , 有唯一解.直接用A 左除 b 求解 x=A\bx = -3/2 11/2 -3例 3. 设三种食物中每100g 中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.三种食物用量各为多少才能保证所需营养？解. 设脱脂牛奶用量为1x , 大豆面粉用量为2x , 乳清用量为3x .12312312336 51 133352 34 74450 7 1.13x x x x x x x x x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]A =36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)R =1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332所以脱脂牛奶的用量为27.72g ，大豆面粉的用量为39.19g ，乳清的用量为23.32g 。
非齐次线性方程组
1 9
3 7
6 3 6
( k1, k2 任意常数)
解
A~
1 a
a 1
1 1
a 1
a1
1 0
0 1
1 a 1
a a2
a
1 1 a a2
0
0
a2
1
2a
a
2
1 0 0 a1,a2 0 1 0
1 a a2 1
a2
4 x4 5x4
15 22
x1 x2
5x4 9
解
1 0 1 2 1
A
0 0
1 0
1 0
3 8 0 0
0 0 0 0 0
齐次方程组 的基础解系
2
1
1 1
,
2
3 0
0
0
1
1 2a a2
a2
当 a 1,a 2 时，方程组存在唯一解
x1
1 a a2
x2
x3
1
a2 1 2a
a2
a2
当 a 1时
A~
1 0
1 0
1 0
1 0
0 0 0 0
方程组有无穷多组解
X k11 k22
1 1 1 k1 1 k2 0 0 0 1 0 ( k1, k2 任意常数)
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非齐次线性方程组解得结构得进一步讨论摘要:本文通过矩阵得初等变换及非齐次线性方程组得解得有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组得解得结构问题,虽然非齐次线性方程组得解向量得全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组得基础解系得解向量组,这个解向量组线性无关。
并且得任意一个解都可以由这个解向量组线性表示、最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解得充要条件,并给出了相应例题。
关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换
引言
非其次线性方程组(Ⅰ)
得矩阵形式为。
取,得到其次线性方程组称为非其次线性方程组得导出组。
我们知道非其次线性方程组得解有以下得一些性质:
（1）若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得一个解,则也就是得一个解。
证明:因为就是非其次线性方程组得一个解,所以有,同理有,则由。
所以就是非其次线性方程组得解。
（2）若就是非其次线性方程组得两个解,则就是其导出组得解
证明:由,,所以有,故为其导出组得解。
２。
定理
(非其次线性方程组解得结构定理)若就是非其次线性方程组得一个解,就是其导出组得通解,则就是非其次线性方程组得通解。
证明:由性质(1)可知加上其导出组得一个解仍就是非其次线性方程组得一个解,所以只需证明,非其次线性方程组得任意一个解,一定就是与其导出组某一个解得与,取
由性质(2)可知,就是导出组得一个解,于就是得到,即非其次线性方程组得任意一个解与其导出组得某一个解得与。
由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组得解得全体可以用基础解系来表示。
因此,根据定理我们可以用导出组得基础解系来表示出一般方程组得一般解,如果就是方程组(Ⅰ)得一个特解,就是其导出组得一个基础解系,那么(Ⅰ)得任一个解都可以表示成: 3。
由上面2得证明过程,我们可以知道其次线性方程组得全部解可由基础解系线性表示出(其基础解系含有个解向量),即为任意实数。
那么,当非其次线性方程组有解时,则至多有多少个线性无关得解向量?得全部解又如何表示?
定理
若其次线性方程组得基础解系为,当非其次线性方程组有解时,则它至多且一定有个线性无关得解向量,得通解可以表示为为满足关系式,得任意实数。
证明:(ⅰ)若就是非其次线性方程组得解,则为非零解向量,那么向量组,线性无关(否则可由线性表示,与就是得解矛盾)。
那么,易证都就是得解,并且线性无关。
这说明至少有个线性无关得解向量。
下面再证至多有个线性无关得解向量。
反证:若有个线性无关得解向量,那么易证均为得解,并且线性无关。
这样具有线性无关得解向量矛盾,所以,至多且一定有个线性无关得解向量。
(ⅱ)对于得任意一个解,一定可以表示成它得一个特解与其导出组得基础解系得线性组合,即为任意常数
那么
()()()()()1
3221121221121221111+--------++++----=+++++++----=++++r n r n r n r n r n r n r
n r n k k k k k k k k k k k k k k k ηξξξηξηξηξαξηηηξ (为任意实数,且组合系数之与等于1。
这说明,得任意解都可以表示成这样得形式、
另一方面,由于都就是得解,对于,只要满足仍然就是得解,所以,得通解可以表示成,且为满足关系式,得任意实数。
例２
设就是线性方程组得一个解,就是它导出组得一个基础解系,令。
证明:线性方程组得任一一个解,其中。
证明:
由题可设方程组得任一解可以表示成(为常数)
令,则
（1） 引理:设为矩阵,用初等行变换,把化为阶梯形矩阵,并使该梯形矩阵得每一个非零行得
第一个非零元素(从左算起)为1,且该元素所在列得其她元素为零,这样得阶梯形矩阵得为得行简化阶梯形矩阵。
定理:非齐次线性方程组存在全非零解得充要条件就是,它得增广矩阵得秩与系数矩阵得秩相等,且得行简化阶梯型矩阵中每个非零行得非零元素个数大于或等于2.
证明:必要性
方程组有全非零解,则必须满足方程组得条件,因而,。
不妨设其秩为且得简化阶梯矩阵为:
(2)
且其对应得方程组为
若对某个 有
则,这与方程组(2)有全非零全部解矛盾,故对每个(),至少存在一个()使或,即(2)中第()行至少有两个非零元素、
充分性:设N 就是充分大得正数,令,,
将其带入(2)得:(),当(),时,显然成立;当上式右端至少存在一个非零系数,设第一个非零系数为,则
因为
所以,,故存在充分大得正数,使();
取,可使()
这样,就得到方程组得一个全非零解
例1
方程组
有全非零解得充要条件?
解:其增广矩阵得简化阶梯形矩阵为
故由上述定理可知,该方程组有全非零解得充要条件就是为任意实数。
例2已知非齐次线性方程组有三个线性五官得解,
(Ⅰ)证明方程组系数矩阵得秩,
(Ⅱ)求得值及方程组得通解。
解:(Ⅰ)设就是非齐次线性方程组得三个线性无关得解,则就是导出组得线性无关解,所以,从而,显然矩阵中存在不为零得２阶子式,又有,从而秩。
(Ⅱ)对线性方程组得增广矩阵作为初等行变换,有
1
1111111114
35110115313101311
11110
115300424542A a
b a a b a a b b a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦
于就是故,又因为就是得解,且,就是得基础解系,所以方程组得通解为(为任意实数)。