齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解；](2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；$若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦@显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；`令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解.?1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。

其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系，0η为AX = b 的特解，【定理1】 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解，α是其导出组AX=0的一个解，则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解。

【定理2】如果0η是非齐次线性方程组的一个特解，α是其导出组的全部解，则αη+0是非齐次线性方程组的全部解。

由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解，r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系。

【例题3】判断下列命题是否正确, A 为mn 矩阵.(1)若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因r (A )=n , r (A )= n = r (A |b )@(2)若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因r (A )<n , r (A )= r (A |b )(3)若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, r (A )= r (A |b ) =n. (4)若AX =0有非零解,则A T X=0也有非零解. 答:错,A 为mn , r (A )=m <n , r (A T )=m , 这时A T X=0只有零解. 例如A 为34, R (A )=3 <4, r (A T )=3=m .(5)若r (A )=r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,r (A )=r =m= r (A |b ) . (6)若r (A )=r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m n ,当mn 时, 可以r (A |b ) =n +1.⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解【例题4】 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩ 解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦))332311(224(3r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 《可见()()3r A r A ==，则方程组有唯一解，所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现100r d +=≠，则原方程组无解）【例题5】解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，可见()3()2r A r A =≠=，所以原方程组无解.⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2321221(1)101520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()24r A r A ==<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ （其中3x ,4x 为自由未知量）/令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩（其中3x ,4x 为自由未知量）令31x =，40x =，得121,2x x =-=；令30x =，41x =，得125,7x x ==-，于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

所以，原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++（1k ，2k R ∈）.【例题7】 求线性方程组：12341234123421,22,2 3.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 的全部解. 解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23r r ↔−−−→ 121120112103333-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 23212(3)(2)(1)r r r r r ⨯-+⨯-+⨯-−−−−→ 103340112100636⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦33331()3123()212r r r r ⨯-⨯⨯-⨯−−−−→310012301002100112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()34r A r A ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为$14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（其中4x 为自由未知量） 令40x =，可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩（其中4x 为自由未知量）令42x =-（注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得1233,3,1x x x ==-=，于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以，原方程组的通解为 X k ηξ=+ （k R ∈）.【例题8】求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解。