非齐次线性方程组
3.5 非齐次线性方程组
2.设1 (1,3,0,5)T , 2 (1,2,1,4)T , 3 (1,1,2,3)T ,
(1, a,3, b) .
T
（ ）a, b取何值时能用1，2，3线性表示？表示式为？ 1
（2）a, b取何值时不能用1，2，3线性表示？
设 x11 x22 x33 x1 (1 , 2 , 3 ) x2 AX x 3
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
复习
非齐次线性方程组Am×nX=b有解 增广矩阵(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵“无尾巴”
阶梯矩阵法
一、非齐次线性方程组有解的条件 定理 非齐次线t; 秩( A) 秩( A, 秩( A,b) b)=
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
A b, A O A( ) b
2. 非齐次线性方程组的结构式通解 定理 设A是一个 m n矩阵，b是一个m维列向量，
证明： Am×n X = b 有解
秩法
x 11 + x2 2+ … + xnn = b 有解
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1
非齐次线性方程组
2 6
4x1 5x2 3x3 3x4 x5 4
对方程组的增广矩阵作初等行变换，得
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2
1
2
0
0
4
2
r2 r1
r3 r1 0 r4 4r1
1
1 1 5 4
1 0 2 2 6 6
r2 r1
1
r3 r1 0
0
1
1 1
1 1 2
2
2
1
3
1 r3r1 0
0
1
1
0
1 2 2
2
2
1
3
2
1 1
非齐线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
形如
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
(1) 的方程组
若b1,b2,,bm不全为0 称为非齐次线性方程组
证明: 由 A( ) A A b 0 b
知 X 是AX b的解
定理
对非齐次线性方程组 AX b
若 R（A）=R (B) r n 且已知 1 ,2 ,nr
是对应齐次线性方程组 AX 0 的基础解系，
0 是 AX b 的某个已知解，则 AX b 的通解为
对应齐次线性方程组的同解方程组为
x1 x2
2x3 2x4 x3 x4
第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念
11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
非齐次线性方程组
非齐次线性方程组Ax=b一、基本理论线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩.非齐次线性方程组的解集结构：若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ).解非齐次线性方程组的方法：通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解.二、Matlab 实现调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b .三、例子例1. 求解线性方程组1234524512345123512345343226333434222026231x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪---=-⎪⎪-++-=⎨⎪++-=⎪-+-++=⎪⎩A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]A1 =3 -4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1rref(A1)ans =1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0化为方程组32415510x x x x x x ++=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以解为15233354555311000001100011010x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++例2. 设函数2y axbx c =++经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a , b , c .解1422930a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩输入系数矩阵A 和右端项bA=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);增广矩阵1A A1=[A b]A1 =[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]利用rref 求解 R=rref(A1)R =[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]即解为311,,322a b c =-==-解二判断方程组是否有解, 即系数矩阵A 的秩是否等于增广矩阵1A 的秩. rank(A)==rank(A1)ans = 1 有解.判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A 是否等于A 的列数n .[m,n]=size(A); rank(A)==nans = 1A 的秩等于列数n , 有唯一解.直接用A 左除 b 求解 x=A\bx = -3/2 11/2 -3例 3. 设三种食物中每100g 中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.三种食物用量各为多少才能保证所需营养？解. 设脱脂牛奶用量为1x , 大豆面粉用量为2x , 乳清用量为3x .12312312336 51 133352 34 74450 7 1.13x x x x x x x x x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]A =36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)R =1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332所以脱脂牛奶的用量为27.72g ，大豆面粉的用量为39.19g ，乳清的用量为23.32g 。
线性代数-非齐次线性方程组
充分性:若r(A)=r(A|b) ，即d r+1 =0,则（*）有解。
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n r个作为自由未知量,
即可得方程组的一个解． 并令 n r 个自由未知量任意取值，
定理1更常用的描述是：
此乃第三章的 精华所在
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
Ch3 矩阵的秩与线性方程组
第 二节
(非)齐次线性方程组
一、线性方程组有解的 判定
二、线性方程组的解法
对于m个方程n个未知数的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 ........................................... a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
2 当 1时,
1 1 2 A ~ 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 2 ~ 0 1 1 0 0 ( 2 ) 1 2
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一 对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，
A 1 1
1
非齐次线性方程组解的结构
(I)
x1 x1
x2 1.01x2
2 1
(II)
x1 x1
x2 1.01x2
2 1
(I) 的解为 x1 302, x2 300
(II)的解为 x1 0.5075, x2 1.482
2. 把 1.015舍入为 1.02，得
(I) (II)
x1 x1
x2 1.02x2
2 1
k3(1, 0, 1, 0) k4 (0, 1, 0, 1)
即
k1(1, 1, 0, 0) k2(0, 0, 1, 1) k3(1, 0, 1, 0) k4(0, 1, 0, 1)
因向量组 (1, 1, 0, 0)，(0, 0, 1, 1)，(1, 0, 1, 0)，(0, 1, 0, 1)
例 考虑方程组
(I)
x1 x1
x2 1.015 x2
2 1
(II)
x1 x2 2
x1
1.015 x2
1
在只能处理3位有效数字的计算机上讨论它的解。
讨论 首先
方程组(I)的理论解为 x1 202, x2 200 方程组(II)的理论解为 x1 0.5111, x2 1.489
1. 把 舍入为 1.01，得
x1 x1
x2 1.02x2
2 1
(I) 的解为 x1 152, x2 150
(II) 的解为 x1 0.5148, x2 1.485
上述讨论可得，方程组(Ⅰ)的系数的一个极小变 化对解产生很大影响，称这样的方程组为病态的。 而方程组(Ⅱ)则无此现象，相应称之为良态的。
例（投入产出问题）假设有三户人家，其中一户 有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一 人是水管工。三家约定合作修理他们的住房。他们 共同制订了一个修理计划：
非齐次线性方程组
x5为任意实数 .
返回
n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性
方程组无解 R( A) R( A, b) 方程组有解 R( A) R( A, b)
方程组有唯一解 R( A) R( A, b) n 方程组有无穷多组解 R( A) R( A, b) n
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容.
④ 可写成:
AX = b
⑥
相应的齐次方程组: AX = 0
⑦
性质3. 若1,2是⑥的解,则1 2是⑦的解.
性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解,
则 是⑥的解.
定理:若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解
返回
下面四种提法可互为充要条件:
(1). 方程组④有解.
(2). b 可由1, , n 线性表示.
(3). 向量组1, , n与 向量组1, , n ,b等价.
(4). R(A) = R(B) .
显然
显然
证明: (1) (2) (3).
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
R(A)=R(B).
返回
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
设秩同为 r,
1, , r 是1, , n 的一个最大无关组. 1, , r ,b 线性相关, 否则与秩为 r 矛盾! 1, , r也是 1, , n,b的一个最大无关组.
1, ,n与1, ,n,b等价. 证毕.
定理二. (非齐次线性方程组④有解的判别定理)
(iii) 令这 n–r 个自由未知量分别为基本单位向量1,L ,nr ,
可得相应的 n–r 个基础解系 1 , ,nr ; (iv) 写出通解 k11 k22 L knr nr ,其中k1, k2,L , knr为任意实数
4-4非齐次线性方程组解
1 0 2 , 2 1
于是所求通解为
x1 1 1 1 2 x2 1 0 0 x 3 c1 0 c 2 2 1 2 , (c1 , c 2 R ). 0 1 0 x4
x1 x 2 x4 1 2 , x 3 2 x4 1 2 . 1 取 x 2 x4 0, 则 x1 x 3 , 即得方程组的一个特解 2 1 2 0 . 12 0 x1 x 2 x 4 , 在对应的齐次线性方程 组 中, 取 2 x4 x3
3 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 2 0 1 0 0 0 0 0 2
2 1 方程组*有无穷多解，通解为 X k 1 2 . 1 0 可由1 , 2 , 3表示为 2k 11 k 2 2 k 3 , k为任意实数.
法2：利用Cramer法则
k 1 1 2 D 3 2 k ( k 1)( k 3) 0 1
当 D 0 时，即 k 1 且 k 3 时，方程组有唯一解。 当k
1 1 1 5 1 0 1 3 ( A, b) 3 2 1 13 0 1 2 2 0 1 2 2 0 0 0 0
的秩相等.
四、思考与练习
思考题:
1 2 0 3 4 7 1 10 已知1 , 2 ,1 , , 0 1 1 b 2 3 a 4 问: （ 1 ）a , b取何值， 不能1 , 2 , 3由线性表示 （ 2 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3唯一线性表示 ; （ 3 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3线性表示但不唯一， 并写出表示式
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非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论摘要：本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题，虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组，这个解向量组线性无关。
并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。
最后，给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件，并给出了相应例题。
关键字：非零解，基础解系，线性无关，初等变换引言非其次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222222********* （Ⅰ）的矩阵形式为B AX =.取0=B ,得到其次线性方程组0=AX 称为非其次线性方程组B AX =的导出组。
我们知道非其次线性方程组B AX =的解有以下的一些性质：（1） 若1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，1v 是其导出组0=AX 的一个解，则11v u +也是0=AX 的一个解。
证明：因为1u 是非其次线性方程组B AX =的一个解，所以有B Au =1，同理有01=Av ，则由()B B Av Au v u A =+=+=+01111.所以11v u +是非其次线性方程组B AX =的解。
（2） 若21,v v 是非其次线性方程组的两个解，则21v v -是其导出组的解证明：由B Av =1,B Av =2,所以有()02121=-=-=-B B Av Av v v A ,故21v v -为其导出组的解。
2.定理（非其次线性方程组解的结构定理）若1v 是非其次线性方程组B AX =的一个解，v 是其导出组的通解，则11v v u +=是非其次线性方程组的通解。
证明：由性质（1）可知1u 加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解，所以只需证明，非其次线性方程组的任意一个解*v ，一定是1u 与其导出组某一个解1v 的和，取1*1u v v -=由性质（2）可知，1v 是导出组的一个解，于是得到11*v u v +=，即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。
由上面这个定理我们可以知道，一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示。
因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表示出一般方程组的一般解，如果0v 是方程组（Ⅰ）的一个特解，r n -ηηη,,21 是其导出组的一个基础解系，那么（Ⅰ）的任一个解都可以表示成：r n r n k k k u u --++++=ηηη 22110*3.由上面2的证明过程，我们可以知道其次线性方程组0=AX 的全部解可由基础解系r n -ηηη,,21 线性表示出（其基础解系含有r n -个解向量），即()r n r n r n k k k k k k ---+++ ,,212211ηηη为任意实数。
那么，当非其次线性方程组B AX =有解时，则B AX =至多有多少个线性无关的解向量？B AX =的全部解又如何表示？定理若其次线性方程组0=AX 的基础解系为r n -ηηη,,21 ，当非其次线性方程组0≠=B AX 有解时，则它至多且一定有1+-r n 个线性无关的解向量121,,,+--r n r n ξξξξ ，B AX =的通解可以表示为112211+-+---++++r n r n r n r n k k k k ξξξξ 为满足关系式1121=+++++--r n r n k k k k ，的任意实数。
证明：（ⅰ）若ξ是非其次线性方程组B AX =的解，则ξ为非零解向量，那么向量组ξ，r n -ηηη,,21 线性无关（否则ξ可由r n -ηηη,,21 线性表示，与ξ是B AX =的解矛盾）。
那么，易证r n r n -+-+=+=+==ηξξηξξηξξξξ123121,,, 都是B AX =的解，并且121,,,+--r n r n ξξξξ 线性无关。
这说明B AX =至少有1+-r n 个线性无关的解向量。
下面再证B AX =至多有1+-r n 个线性无关的解向量。
反证：若B AX =有2+-r n 个线性无关的解向量2121,,,+-+-r n r n ξξξξ ，那么易证212221,,+-+-+-+----r n r n r n r n ξξξξξξ 均为0=AX 的解，并且线性无关。
这样0=AX 具有1+-r n 线性无关的解向量矛盾，所以，B AX =至多且一定有1+-r n 个线性无关的解向量B AX =。
（ⅱ）对于B AX =的任意一个解，一定可以表示成它的一个特解ξ与其导出组0=AX 的基础解系的线性组合，即()r n r n r n k k k k k k ---++++ ,,212211ηηηξ为任意常数 那么()()()()()13221121221121221111+--------++++----=+++++++----=++++r n r n r n r n r n r n rn r n k k k k k k k k k k k k k k k ηξξξηξηξηξαξηηηξ（r n k k k - ,,21为任意实数，且组合系数()r n r n k k k k k k ------ ,,,12121之和等于1.这说明，B AX =的任意解都可以表示成这样的形式。
另一方面，由于121,,,+--r n r n ξξξξ 都是B AX =的解，对于112211+-+---++++r n r n r n r n k k k k ξξξξ ，只要满足1121=+++++--r n r n k k k k 仍然是B AX =的解，所以，B AX =的通解可以表示成112211+-+---++++r n r n r n r n k k k k ξξξξ ，且121,,,+--r n r n k k k k 为满足关系式1121=+++++--r n r n k k k k ，的任意实数。
例2设0η是线性方程组的一个解，t ηηηη ,,,321是它导出组的一个基础解系，令010201,,ηηηη+===+t t r r r 。
证明：线性方程组的任一一个解112211+++++=t t r u r u r u ν，其中1121=++++t u u u 。
证明：由题可设方程组的任一解ν可以表示成t t u u ηηην1120++++= （12,+t u u 为常数） 令1211+---=t u u u ，则()0101201112011)()(ηηηηηηηην+++++=++++=+++t t tt t u u u u u u u 112211+++++=t t r u r u r u（1） 引理：设A 为m n ⨯矩阵，用初等行变换，把A 化为阶梯形矩阵，并使该梯形矩阵的每一个非零行的第一个非零元素（从左算起）为1，且该元素所在列的其他元素为零，这样的阶梯形矩阵的为A 的行简化阶梯形矩阵。
定理：非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件是，它的增广矩阵A 的秩()r A 与系数矩阵A 的秩()r A 相等，且A 的行简化阶梯型矩阵中每个非零行的非零元素个数大于或等于2.证明：必要性方程组有全非零解，则必须满足方程组的条件，因而，()()r A r A =.不妨设其秩为r 且A 的简化阶梯矩阵为：121,11,21,12,12,12,2,1,2100001000001000000000000n r r n r r n r r r r r r l l l d l l l d l l l d ++++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） 且其对应的方程组为11,111,221122,112,2222,11,22r r r r n n r r r r n n r r r r r r r rn n rx l x l x l x d x l x l x l x d x l x l x l x d ++++++++++++=----+=----+=----+若对某个r ()i i r ≤≤ 有,1,2,0i r i r i n i l l l d ++=====则0i x =，这和方程组（2）有全非零全部解矛盾，故对每个i （1,2,r n =），至少存在一个j （1r j n +≤≤）使0ij l ≠或0i d ≠，即（2）中第i （1,2,r r =）行至少有两个非零元素。
充分性：设N 是充分大的正数，令1n r r x N -+=，1n rr x N -+=，n x N =将其带入（2）得：1.1,2,n rn r i i r i r i N i x l Nl N l d --+++=----+（1,2,r r =），当0ij l =（1r j n +≤≤），0i d ≠时，显然成立；当上式右端至少存在一个非零系数，设第一个非零系数为(),1i r k l k n r +≤≤-，则1,,1,1,1,1,1n r k n r k i i r k i r k in in r k i r k i n i n r k i r k n r k i r k x l N l N l N d l N l N d l Nl N --+--+++--++--++--++=----+⎡⎤---+=-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因为,1,1,lim 0i r k n k r i n in r k N i r k l N l N d l N++----+→+∞+---+=-所以l i m iN x →+∞=∞，1,2,i r =，故存在充分大的正数i N ，使1,,10n r k n r ki i rki rki nix l NlN lN d --+--+++=----+≠（1,2,i r =）；取{}12max ,,r N N N N =，可使1,,10n r k n r k i i r k i r k in i x l N l N l N d --+--+++=----+≠（1,2,i r =）这样，就得到方程组的一个全非零解()112,,,,,,Tn r n r n r r x x x x N N N N ----=例1 方程组()()134512345123451245123452412626(1)03413251035x x x x x x x x x x x x x c x x x x c x x x x x c x ⎧+++=⎪-++-=⎪⎪-++--=⎨⎪+++-=⎪⎪-+++-=⎩ 有全非零解的充要条件？ 解:其增广矩阵A 的简化阶梯形矩阵为102411010221001032000000000000c ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故由上述定理可知，该方程组有全非零解的充要条件是c 为任意实数。