优美的非齐次线性方程组解的逆向问题
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
线性代数中的反问题
(A 3)
- 1
及 (A 3)
- 1
+ E .
| A| 解 A 3 的特征值为 ξ = λ ( 其中 λ 为 A 的特 征值 , 且 A = λ 1λ 2λ 3 = - 2) ξ 故 1 = - 2 ,ξ 2 = - 2 ,λ 0 =1 设属于特征值 ξ 1 =ξ 2 = - 2 的特征向量是 η =
1 0 0 0 则有 P1 A P2 = B 或 A = P1- 1 B P2- 1 . 5 方阵的对角化方面的反问题
λ 2 =λ 3 = 1 , 对应 λ 1 的特征向量 ξ 1 = 1 ,求 A . 1 λ λ 解 设属于特征值 2 = 3 = 1 的特征向量为 ξ= ( x1 , x 2 , x 3 ) T , 因为 A 为实对称矩阵 , 所以不同
1+ c- a - 2- b = - 1+ c- a | A|
例 设 A= 后得到的矩阵为 :
a21 B= a31 a11
a21 a31
λ 0
α
T
= - 1, 把 α = ( - 1, - 1, 1) 1 - 1
代入得
a22 + ka23 a32 + ka33 a12 + ka13
求可逆矩阵 P1 , P2 , 并 说 明 A , P1 , P2 , B 之 间 的 关系 .
- 1
=
© 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
0 - 1 - 1
第12讲非齐次线性方程组解的结构 15页
常用的线性方程组 示的 法表 还有
n
aijxj bi (i1,2, ,m)。
j1
齐次线性方程组 a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n 0 , a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n 0 , (2) a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m x n n0 。
它的矩阵形式为 AX B, 其中,
a11 a12 a1n
A a21
a22
a2n ,
am1 am2 amn
x1
X
x2
xn
,
b1
B
b
2
.
bm
也可用向量来表 次示 线非 性齐 方程组。
一. 非齐次线性方程组解的基本性质 二. 非齐次线性方程组的通解
一. 非齐次线性方程组解的基本性质
非齐次线性方程组
右端不全为程 零组 的称 线为 性非 方程 齐组 :次线
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1 , a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2 , (1 ) a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m x n n b m 。
x 1 5 x 2 9 x 3 8 x 4 x 5 0 。
解
1 1 2 1 1 1 r3 r1 1 1 2 1 1 1 A3 1 1 4 3 4 r23r1 0 4 7 7 0 1
1 5 9 8 1 0
非齐次线性方程组解的判定
非齐次线性方程组解的判定
非齐次线性方程组是一类常用的数学模型，它们有不同的解法，以决定一组参数的唯一值。
本文将讨论非齐次线性方程组的解的判定，其中包括非齐次线性方程组的存在性、唯一性和极值等。
首先，从非齐次线性方程组判定解存在性来看，它有两种情况：第一种情况是非齐次线性方程组存在一个可行解，有无数多个，那么它便是有解的方程组; 第二种情况是方程组中存在一个或多个约束条件，如果约束条件得不到满足，则此方程组就是无解的方程组。
其次，从非齐次线性方程组的唯一性判定来看，如果它的系数矩阵是可逆的，就说方程组有唯一解；如果它的系数矩阵是不可逆的，就说方程组有无数多个解。
最后，从非齐次线性方程组的极值判定来看，如果满足系数矩阵的列向量，使该系数矩阵的行列式的值为0，即该非齐次线性方程组有极值。
综上所述，从非齐次线性方程组解的判定上可以看出，非齐次线性方程组满足存在性、唯一性和极值的情况，都可以更好的反映出模型的实际情况，帮助我们更准确的判断出模型的解法。
通过对非齐次线性方程组的解的判定来总结，可以更准确的判定非齐次线性方程组的存在性、唯一性和极值。
进而可以辅助决策者指定模型参数和其解法，以及决定下一步采取的行动。
非齐次状态方程的解
sI A1 1、e L
At 1
2、 (0) e0 I
2
3、 (t ) A (t ) (t ) A ①A (t ) (t ) A 可交换相乘 ② (0) A, 可用来从 (t )求A : (t ) (t ) (0) A
e1t 1 2 ，有 (t ) 对角形系统 A n n t e
e2t
对于约当形系统 A t e 1 1 ，有 (t ) 1 tet et 1 2 t t e 2 tet t n 1 t e ( n 1)! t n 2 t e (n 2)! t te et
an 1 A an I 0
又如：An 1 AAn A( a1 An 1 a2 An 2 an 1 A an I ) a1 An a2 An 1 an 1 A2 an A a1 (a1 An 1 a2 An 2 an 1 A an I ) a2 An 1 an 1 A2 an A (a12 a2 ) An 1 (a1a2 a3 ) An 2 (a1an 2 an 1 ) A2 (a1an 1 an ) A a1an I
2
2
2 1 ， 2 2 1
利用归纳法证明，设 f ( A) 代表任一幂级数，则有
f ( ) f(A)
f ( ) f ( )
1 f ( ) 2! f ( )
1 f ( ) 3!
数学模型中的反问题逆问题
数学模型中的反问题向下运动向上运动风筝数学模型竟赛中有很多涉及反问题。
如2010国赛中A题和2011年美赛中A题都涉及反问题。
顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。
正问题的定义为：按着自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。
自然顺序的定义为：不受任何限制和约定俗成的顺序，一般地都认为他们是自然而然的，无须多加解释的。
在一般地语境下，认为这些顺序都是是前提条件的。
如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。
纯粹的自然顺序的例子是第一，第二，第三这种升序；或者反过来的倒序；约定俗成的例子是上北下南左西右东。
反问题的定义为：根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。
可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。
但相对正问题，反问题求解难大，计算量大。
许多人知道求解问题的思路，但由于选用计算方法不适当，在几天内求不出计算结果，失去获奖机会。
尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。
在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。
这些都可以提出为某种形式的反问题。
可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。
现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。
简单的概括不足以说明问题，我们下面具体介绍一些常见的反问题类型，希望大家能够对它有一个概括的了解.第一节反问题的例子例1 物体下落距离L与时间T，正问题是：已知物体的高度，测量下落时间，即t=t(x). 反问题是：已知物体下落时间，求物体的高度,即x=x(t)。
当人们不知道自由落体运动规律x=0.5gT2之前，能用时钟测量物体下落时间，但反过来，给定下落时间，测量物体高度比较难。
关于非齐次线性方程组的几种解法
关于非齐次线性方程组的几种解法作者：李华灿李群芳李师煜来源：《科教导刊·电子版》2020年第12期摘要非齐次线性方程组是线性代数的核心知识点。
文中从一道非齐次線性方程组的求解出发，从克莱姆法则、逆矩阵以及初等行变换等三个方面浅谈非齐次线性方程组的三种不同解法。
关键词非齐次线性方程组克莱姆法则初等行变换逆矩阵中图分类号：O151.21 文献标识码：A0引言线性方程组的求解问题是线性代数课程的核心问题，包含齐次线性方程组和非齐次线性方程组。
由于非齐次线性方程组的非齐次项不全为零，故非齐次非线性方程组的求解相对较复杂，故文中选择下面的非齐次线性方程组为例。
例1：求解下面非齐次线性方程组。
记方程组（1）的系数矩阵为，，则方程组（1）等价于下列矩阵方程1利用克莱姆法则解非齐次线性方程组（1）克莱姆法则是求解非线性方程组的一种重要方法，关于其在方程组求解中的应用可参见文献[3-5]。
下面首先给出克莱姆法则：引理1（克莱姆法则）若n元非齐次线性方程组的系数行列式，则方程组的解唯一，且有其中为方程组的系数矩阵，是用非齐次线性方程组的常数项替代的第得到的一个新的矩阵。
例1的解法一：经计算可得故由引理1可知，方程组（1）的解唯一，且经计算可知，，故由克莱姆法则可得非齐次线性方程组（1）的解为2利用逆矩阵求解引理2 若n元非齐次线性方程组的系数行列式，则方程组的解唯一，且有.例1的解法二：由于方程组（1）的系数行列式，故可逆，且有3利用初等行变换求解线性方程组初等行变换是线性代数解决所有问题的重要技巧。
在求解线性方程组中利用初等行变换的解题步骤为：把方程组中的系数和常数项按照它在方程组中的次序构成增广矩阵B，然后对增广矩阵B施行一系列初等行变换变为行最简形，从而得到原方程组的同解方程组的最简单的形式，进而得到方程组的解;进一步地，若方程组的系数矩阵A（下转第195页）（上接第193页）为可逆矩阵，则可以由增广矩阵的最简形矩阵可直接写出原方程组的解。
非齐次线性方程组解的结构与解法
r3 - 3r1
0
-1
-2
- 2 -1
r4 - r1
0 0
-1 -2
6+ p -4
-2 -4
-t1
r3 - r2 1 1 - 2 3 0 r4 - 2r2 0 -1 - 2 - 2 -1
0 0
0 0
8+ p 0
0 0
2
0 +
t
(1)当2＋t≠０时，即t≠-2
D的r＋１阶子式等于零，则一定有（ ① ） .
① r(A)≥ r ; ② r(A) < r ;
③ r(A) = r ; ④ r(A) = r+1.
5．线设性向无量关组的a是１，（a③２，）a.３，线性无关，则下列向量组中，
① a１+a２，a２+a３，a３-a１ ② a１+a２，a２+a３，a１+2a２+a３ ③ a１+2a２，2a２+3a３，3a３+a１ ④ a１+a２+a３，2a１-3a２+2a３，3a１+5a２-5a３
初等行变换
增广矩阵(Ab)
阶梯形矩阵B
N
r(Ab)=r(A)
Y
初等行变换 N
Y
r(Ab)=n
行最简形矩阵C
确定自由未知量及约 束未知量,给出一般解
求AX=b的一个特解 求AX=o的基础解系
写出通解
方程组无解 唯一解
例4．解线性方程组
4x1 + 2x2 - x3 2
3x1 -1x2 + 2x3 10
3.3 非齐次线性方程组解的结构