齐次线性方程组解的结构(精)培训资料
4.5 线性方程组解的结构
0 Ax 0
1
br1
br
,nr
0
0 0
0
0
xn
x1
b11 xr1 b1,nr xn
xr br1 xr1 br ,nr xn
为什么要取下列n-r组数？因为我们要得到线性无关的解
现对 xr1 , , xn 取下列 n r 组数：
xr1 1
B的列向量组只是解向量全体的部分向量组，故
R(B) R 1 2 L s n r
于是有 R(A) R(B) n
例6 设A为n阶方阵，证明(可当结论记住直接用)
n, 当 R A n,
R
A*
1,
当 R A n 1,
0, 当 R A n 1.
证（1）当 R A n时， A 0,
2020/5/6
三、应用-求通解
解：根据非齐次线性方程组的解的结构，可知本题 中 C、E是正确的
例5 证明 当 Amn Bns O时，R(A)+R(B) ≤n
(做题时可直接当结论用)
证明 AB=0，将B按列分块，有：
B 1 2 L s
则B的每一列均是线性方程组Ax=0的解。 若R(A)=r, 解向量的全体为S，则R(S)=n-r.
n R( A)=未知量的个数－系数矩阵的秩
（2）齐次线性方程组基础解系的几个重要特征 基础解系即Ax=0解向量全体的一个最大无关组。 基础解系中的向量共有__n_-_R_(_A_)_个； 基础解系中的向量一定线性_无____关； 基础解系的向量一定是_非__零___向量。 任意n-R(A)个线性无关的满足Ax=0的非零解向量， 都可以构成一个基础解系。
且当 c1, c2 ,L , ck 为任意常数时，
齐次线性方程组解的结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：
,，
则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，
，(其右端的都是解向量：若取k
1
其余的k为0，即可看出ξ
为解向量，...。
)
1
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：
对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方
程组的通解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。
第二十一讲齐次线性方程组解的结构
2.基础解系的求法 求解 n元齐次线性方程组 Am×n x=0的基础解系
及通解的步骤（设 R(A)= r<n）：
1. 用初等行变换把 A 化成行最简形矩阵 B；
2. 写出 A的行最简形矩阵 B所对应的方程组 Bx=0；
3. 令 n - r 个自由未知量分别取如下 n-r组值：
1，0，…，0； 0，1，…，0；
? ?
????????????
??am 1x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0
（1）
若记
?? a11
A
?
? ?
a21 ?
a12
a22 ?
? ? ?
a1n ??
a2n ?
??,
???am1 am 2 ? amn ???
?? x1 ??
x
?
? ?
x2 ? ??
??? xn ???
3
例1 求齐次线性方程组
? x1 ? x2 ? x 3 ? x 4 ? 0,
? ?
2
x
1
?
5x2 ?
3x3 ?
2 x4
?
0,
?? 7 x1 ? 7 x 2 ? 3 x 3 ? x 4 ? 0
的基础解系与通解 .
解 对系数矩阵 A 作初等行变换 ，变为行最简形 矩阵，有
?1
A
?
???
2 7
1 ?5 ?7
则上述方程组可写成向量方程
Ax ? 0.
(2)
若 x1 ? ?11 , x 2 ? ? 21 ,? , x n ? ? n1 为方程 Ax ? 0 的解，
则
???11 ??
x
?
线性代数齐次线性方程组解的结构PPT资料(正式版)
x1 b1, r1k1 b1nknr
x2
b2,r1k1 b2nknr
xr br,r1k1 br nknr
xr1 k1
xr2
k2
xn
knr
其中， k1,k2, ,knr 任意取值。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
b 1 ,r 1
b 1 ,r 2
即 X k k k , (2) A X = 0 有非零解的充要条件是
只需按前面的求解过程完成即可。 设 A 为 n 阶方阵，且 r ( A ) = n - 1，证明 称之为齐次线性方程组的解空间，
1 12 2 n rn r
由 r ( A ) = n - 1，有
因此 (2) 若 为
一组基础解系，那么 AX0的通解可表示为
x k 11 k 22 k tt,P119
其中 k1,k2, ,knr是任意常数。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 r(A )rn,
不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，于是 A 可化为
x1
b1,r 1 xr 1
b1n xn
x2
b2,r1 xr 1 b2n xn
xr
br ,r 1 xr 1 brn xn
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，共有 ( n r ) 个。
由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 2. 基础解系的求法
线性表出。
称 1,2, ,t为方程组 AX0的(一个)基础解系。
二、基础解系及其求法
1. 基础解系 说明 (1) 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，
第11讲齐次线性方程组解的结构
(m n)
am1x1 am2 x2 amnxn 0。
它的矩阵形式为
AX 0 ,
其中,
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n
,
amn
X
xxn2
。
也可用向量来表示齐次线性方程组。
a11
a12
a1n
记
1 aam211 , 2 aam222 , , n aam2nn ,
四 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 4.1
设 A Rnn , 如果存在数 及 n 维非零向量，使得：
A .
(4.1)
则称 为矩阵 A 的一个特征值, 而 称为矩阵 A 相应 于特征值 的一个特征向量。
由于
A ( A E) 0.
为矩阵 A的一个特征值的充要条件是齐次方程组
2 (1, 1, 0, 1, 0 )T 。
齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组(2*) 的基础解系为
1, 2 , , nr
r(A) r
则(2*) 的通解为
C11 C22 Cnrnr ,
其中, Ci 为任意常数 ( i 1, 2, , n r )。
例 求齐次线性方程组的通解: x1 x2 2x3 2x4 7x5 0 , 2x1 3x2 4x3 5x4 0 , 3x1 5x2 6x3 8x4 0。
就是说 , 方程组(2*) 的任何一个解均可由方程组 (3)中所定义
的 1, 2, , nr 线性表出。于是称方程组(3)中的这一组向
量为齐次线性方程组(2*) 的基础解系。
齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
方程组解的结构
x5
0 0
1 0
0 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
1
1
,
0
0
13
2
0
,
1
0
2
1
3
0
.
0 1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数.
定理1 n元齐次线性方程组Amn x 0的全体解所 构成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵的秩 R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
2x 73
5 7
x3
x 3
x4
3 7 4 7
x4 x4
2
7
5
7
1
0
x 3
3
7
4
7
0
1
x, 4
2 7
3 7
即得基础解系1
57 1
,
2
47 0
,
0 1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2
x x
3 4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
A
2
1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1
~
0 0
0
1 1 2 2
1 1 2 2
4 3 6 6
3
1
2
2
~
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 0 0
1 3 0 0
2
1
0
0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，
§3齐次线性方程组解的结构
§3齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。
其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0...aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。
对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推导其解的结构。
首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。
根据矩阵乘法的定义，我们有A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT其中，bT是m维零向量。
这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零空间结构。
我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称为核空间。
零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的阶梯形矩阵U，进而求解。
接下来，我们来看零空间的结构。
假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ...000aₙₙ...aₙₙ0000...aₙₙ其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。
通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ...000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ000...0...00 0其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。
我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。
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齐次线性方程组解的
结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：,，则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，其余的k
，(其右端的都是解向量：若取k
1
为0，即可看出ξ
1
为解向量，...。
)
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方程组的通
解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。