线性方程组的解的结构

的矩阵形式
Ax 0
，
其中：
T
A [aij ]mn , x [ x1 , x2 ,, xn ]
它的解有如下性质： 1 ） 如果X 1 , X 2是线性方程组的两个解 ， 则X 1 X 2也是它的解。 2)如果X 1是线性方程组的解，则 kX1也 是它的解, k R。 3)如果X 1 , , X s都是线性方程组的解， 则其线性组合 k1 X 1 k s X s也是它的 解, ki R, i 1, , s。
复习： （四）向量组的秩
定义: 如果n维向量组1， ， s中的 部分组 j1， ， jr (r s )满足： 1 ） j1， ， jr 线性无关， 2） k 是1， ， s中的某一个向量，则 向量组 k， j1， ， jr 必线性相关； 称 j1， ， jr 为向量组1， ， s的一个 极大线性无关组，简称 极大无关组。
原方程AX＝0与上式同解. 取
xr 1 ,, xn 为自由未知量。
对这n-r个自由未知量分别取
x r 1 1 0 0 x 0 1 0 r 2 , , , . 0 0 1 xn
(C)α1,α2,…,αs, β1,β2 ,…, βt 的秩为r，则
r≤r1+r2
§3.4 线性方程组的解的结构
（一）齐次线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
1， ， s 线性表示，则 s n。对吗？
4) Ann且r ( A) n, 则r ( A ) _______
*
n
r ( A) n 2, 则r ( A ) _______
*
0
5).向量组(A) α1,α2,…,αs与向量组(B)
β1,β2 ,…, βt 的秩分别为r1和r2，向量组
定理3.11 A为m n矩阵，r ( A) r A的列（行）秩为 r。
推论 矩阵A的行秩等于矩阵 A的列秩， 即为矩阵A的秩。 向量组的秩及极大无关组的求法： 将向量组合成矩阵，进行初等行 变换得到阶梯阵，非零行的行数为向 量组的秩，主元所对应的列向量组为 极大线性无关组。
看几个例子：
已经知道：齐次线性方程组有非零解的 充分必要条件是系数矩阵A的秩r(A)<n.
定义3.9 如果X1,…,XS是齐次线性方 程组的解向量组（集合）的一个极大 线性无关组，则称X1,…,XS是方程组 的一个基础解系。
即： 设 X1 , X 2 ,, X r 是 AX 0 的解向 量，如果
(1) X1 , X 2 ,, X r 线性无关；
初等行变换 A B 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 c11 0 c21 1 cr 1 0 0 0 0 0 0 c1,n r c2 , n r cr , n r 0 0 0
(2) AX 0的任一个解向量可由 X 1 , X 2 ,, X r 线性表示 .
则称X1 , X 2 ,, X r是AX 0的一个基础解系。
定理4.2.3 设A是m×n矩阵，如果 r(A)=r<n,则齐次线性方程组 AX=0的基础解系存在，且每个
基础解系中含n-r个解向量.
证：对A施行初等行变换，将A化为行最 简形阶梯矩阵。不妨设
由同解方程组依次可得：
c1,n r x1 c11 c12 c x c c 2 21 , 22 , , 2,n r . c x r c r1 c r 2 r ,n r
1）设A和B为同阶矩阵，则: r(A+B)≤r(A)+r(B)
推论1 向量组（B）可由向量组（A） 线性表示。如果向量组（B）线性无 关，则t≤s。
x 1 1 2） .求矩阵A 1 x 1 的秩。 1 1 x
3) n维单位向量组 1 ,, n均可由向量组
B对应齐次线性方程组为
c11 xr 1 c1,nr xn 0, x1 c21 xr 1 c2,nr xn 0, x2 xr cr1 xr 1 cr ,nr xn 0.
即
x1 c11 xr 1 c1,n r xn , x2 cБайду номын сангаас1 xr 1 c2,n r xn , xr cr1 xr 1 cr ,n r xn .
定理3.10 如果 j1， ， jr 是1， ， s的线性无关 部分组，则它是极大无 关组
1， ， s中的每一个向量都可由 j， ， j 线性
1 r
表示。
定义3.8 向量组1， ， s的极大无关组所含向 量的个数，称为向量组 的秩，记为r (1 ,, s ). 1 ） 规定：零向量组的秩为 0。 2） 矩阵A的行向量组的秩称为矩 阵A的行秩； 3） 矩阵A的列向量组的秩称为矩 阵A的列秩.