浅析线性方程组的解法及应用
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。
线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。
本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。
一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。
下面将详细介绍这三种方法。
1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。
通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。
举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。
然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。
2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。
通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。
仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。
3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。
通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。
考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。
通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。
二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。
线性方程组的解法与实际应用
线性方程组的解法与实际应用线性方程组是数学中的基本概念之一，广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学、工程学等。
本文将探讨线性方程组的解法以及其在实际应用中的重要性。
一、线性方程组的解法线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。
一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，a₁、a₂、...、aₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数。
解线性方程组的方法有很多种，常见的有高斯消元法、矩阵法和克莱姆法则。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组解法，它通过消元和回代的方式求解未知数的值。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，然后利用初等行变换将矩阵化为上三角矩阵，最后通过回代求解得到未知数的值。
2. 矩阵法矩阵法是一种简洁高效的线性方程组解法。
将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵进行运算，得到增广矩阵。
然后利用矩阵的性质进行求解，如行列式的计算、逆矩阵的求解等。
最后得到未知数的值。
3. 克莱姆法则克莱姆法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。
根据克莱姆法则，线性方程组的解可以通过系数矩阵的行列式和常数矩阵的行列式之间的关系求得。
具体操作是将系数矩阵的每一列替换为常数矩阵，然后求解行列式的值，最后得到未知数的值。
二、线性方程组的实际应用线性方程组在实际应用中扮演着重要的角色，下面将介绍一些典型的应用场景。
1. 物理学中的应用线性方程组在物理学中有广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用线性方程组表示。
当我们需要求解物体在受力作用下的加速度、速度和位移时，可以通过解线性方程组得到这些物理量的值。
2. 经济学中的应用经济学中的供求关系、成本与收益等问题也可以用线性方程组进行建模和求解。
例如，当我们需要确定某种商品的市场均衡价格和数量时，可以通过解线性方程组得到这些值。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中常见的一类问题，它由一系列线性方程组成，其中每个方程都是变量的一次函数。
解决线性方程组的方法有很多种，每种方法都有其独特的优点和适用范围。
本文将介绍几种常见的线性方程组解法，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它通过一系列的行变换将线性方程组转化为简化的阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
这种方法的优点在于简单易懂，适用范围广泛。
然而，高斯消元法在处理大规模的线性方程组时可能会出现计算量过大的问题，因此在实际应用中需要注意算法的优化。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的线性方程组解法。
它利用矩阵的逆矩阵来求解方程组的解。
具体而言，将线性方程组的系数矩阵与常数矩阵合并成一个增广矩阵，然后对增广矩阵进行初等行变换，最终得到方程组的解。
矩阵求逆法的优点在于计算过程简单，适用于求解小规模的线性方程组。
然而，矩阵求逆法在求解大规模线性方程组时可能会遇到矩阵奇异性的问题，因此需要注意矩阵的条件数。
三、LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的方法。
通过LU分解，可以将原始的线性方程组转化为两个简化的方程组，从而求得方程组的解。
LU分解法的优点在于可以重复使用分解后的矩阵，从而减少计算量。
此外，LU分解法还可以用于求解多个具有相同系数矩阵但不同常数的线性方程组，提高计算效率。
四、应用案例：电路分析线性方程组的解法不仅在数学领域有着广泛的应用，还在工程领域中起着重要的作用。
以电路分析为例，我们可以将电路中的各个元件表示为线性方程组中的变量，通过解方程组来求解电路中的电流和电压。
这种方法可以帮助工程师预测电路的性能，优化电路设计，并解决电路中的故障。
在电路分析中，线性方程组的解法通常与矩阵求逆法和LU分解法相结合。
通过矩阵求逆法，我们可以将电路的节点电压和支路电流表示为矩阵形式，并求解电路中各个元件的电流和电压。
线性方程组的解法探究
线性方程组的解法探究线性方程组是数学中常见的问题，涉及到多个未知数和各个未知数之间的线性关系。
本文将重点探讨五种常用的线性方程组解法，并比较它们在不同情况下的适用性。
通过对这些解法的研究，我们可以更好地理解和解决线性方程组相关的问题。
一、高斯消元法高斯消元法是最常见和最基础的线性方程组解法之一。
该方法通过变换线性方程组的增广矩阵，将其化为最简形式。
基本思想是通过初等行变换（如交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍）来逐步消去未知数，达到求解的目的。
二、逆矩阵法逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组的方法。
对于一个已知系数矩阵A和常数项矩阵B，当A可逆时，方程组的解可以表示为X=A^(-1)B。
逆矩阵法的优点是可以一次性求解多个未知数，但要求系数矩阵必须可逆。
三、克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式来求解线性方程组的方法。
对于一个n阶线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于零，则存在唯一解，并可以逐个求出未知数的值。
克拉默法则的缺点是计算量较大，不适用于大规模的线性方程组。
四、矩阵法矩阵法是将线性方程组表示为矩阵形式，然后通过矩阵运算来求解未知数的方法。
通过将系数矩阵与未知数矩阵相乘得到常数项矩阵，再通过矩阵的逆运算求解未知数矩阵。
矩阵法在求解规模较大的线性方程组时比较高效。
五、向量空间法向量空间法是通过向量空间的性质来解线性方程组的方法。
线性方程组的解可以看作是向量空间的一个向量，通过求解零空间和列空间来得到方程组的解。
向量空间法的思想相对较为抽象，适用于对线性代数有深入理解的人。
综上所述，不同的线性方程组解法在不同的情况下具有不同的优缺点。
高斯消元法是最基础和常用的方法，在一般情况下都可以使用。
逆矩阵法和克拉默法则适用于系数矩阵满足一定条件的情况。
矩阵法在规模较大的线性方程组求解中效率较高。
向量空间法适用于对线性代数有较深理解的情况。
不同的解法之间相互补充与联系，为解决线性方程组问题提供了多种途径。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用线性方程组是数学中常见的问题之一，它在各个领域都有着广泛的应用，如物理、经济学等。
本文将介绍线性方程组的解法以及其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的解法1. 高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一。
它通过对方程组进行系数矩阵的行变换，将其转化为简化的阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
2. 矩阵的逆与逆矩阵对于n个未知数的线性方程组，我们可以将其转化为矩阵表示。
当系数矩阵可逆时，可以通过求解逆矩阵来得到方程组的解。
3. 克拉默法则克拉默法则是一种解决线性方程组的方法，它通过求解系数矩阵的行列式与各个未知数所对应的代数余子式，进而求得方程组的解。
二、线性方程组的应用1. 物理学中的力的平衡问题在物理学中，力的平衡问题常常可以转化为线性方程组。
通过建立各个力的平衡方程，可以求解出力的大小和方向。
2. 经济学中的投资与收益问题在经济学中，投资与收益之间常常存在线性关系。
通过建立线性方程组，可以计算出各项投资对应的预期收益，帮助做出合理的投资决策。
3. 工程学中的电路分析问题在电路分析中，线性方程组可以用于求解电路中的电流和电压。
通过建立各个元器件的电流-电压关系方程，可以求解出电路中各点的电流和电压数值。
4. 计算机科学中的图像处理问题在图像处理中，线性方程组可以应用于图像的滤波和重建等问题。
通过建立线性方程组，可以对图像进行处理和改善，实现各种图像特效。
结语线性方程组是数学中重要的内容之一，它的解法和应用涉及到各个领域。
通过掌握线性方程组的解法，我们可以解决许多实际问题，提升问题求解的能力。
希望本文能对你对线性方程组的理解和应用有所帮助。
初中数学教案：线性方程组的解法和应用
初中数学教案：线性方程组的解法和应用一、线性方程组的解法线性方程组是初中数学中的重要内容，它描述了多个变量之间的关系。
解线性方程组可以帮助我们解决实际问题，掌握解法和应用方法对于学生的数学素养是必不可少的。
1.1 消元法消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
通过逐步消去未知量，将线性方程组化简为较简单的形式，从而得到方程组的解。
下面以一个简单的例子来说明消元法的步骤：例题：解下面的线性方程组2x + 3y = 84x - 2y = 2解法：首先，我们通过变换等式使得第一个方程的系数为1，即将第一个方程乘以2/4，得到新的方程组：2x + 3y = 82x - y = 1然后，将第二个方程的系数与第一个方程相减，消去x的变量：2x + 3y = 8- (2x - y = 1)---------------4y = 7最后，求出y的值：y = 7/4将y的值代入原方程组的第一个方程，求出x的值：2x + 3(7/4) = 82x + 21/4 = 82x = 8 - 21/4x = 23/8所以，原方程组的解为：x = 23/8，y = 7/4。
1.2 代入法代入法是解线性方程组的另一种常用方法。
通过将一个方程的解代入另一个方程中，逐步求解出未知量。
以下是一个例题的解法步骤：例题：解下面的线性方程组3x + 2y = 72x - y = 1解法：首先解出第一个方程的x：3x + 2y = 73x = 7 - 2yx = (7 - 2y)/3然后将x的表达式代入第二个方程中：2[(7 - 2y)/3] - y = 1解出y的值：(14 - 4y)/3 - y = 114 - 4y - 3y = 3-7y = -11y = 11/7最后将y的值代入第一个方程中，求出x的值：3x + 2(11/7) = 73x + 22/7 = 73x = 49/7 - 22/7x = 27/7所以，原方程组的解为：x = 27/7，y = 11/7。
线性方程组的解法线性方程组
线性方程组的解法线性方程组线性方程组是数学中常见的一种方程形式，它由多个线性方程联立而成。
解线性方程组是在给定一组方程的条件下，求出符合这些方程的未知数的取值，从而满足方程组的所有方程。
本文将介绍线性方程组的解法和应用。
一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。
它通过一系列行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数和常数项构成矩阵的左右两部分。
2. 选取一个主元（即系数不为零的元素）作为基准行，并通过行变换使得该元素为1，同时消去其他行中该列的元素。
3. 重复上述步骤，将矩阵转化为行阶梯形式，即每一行的主元都在前一行主元的右下方。
4. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解方程组的未知数。
高斯消元法能够解决大部分线性方程组，但对于某些特殊情况，例如存在无穷解或无解的方程组，需要进行额外的判断和处理。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解线性方程组的方法。
它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
具体步骤如下：1. 如果线性方程组的系数矩阵存在逆矩阵，即矩阵可逆，那么方程组有唯一解。
2. 计算系数矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况，对于不可逆的方程组，则无解或者存在无穷解。
三、克拉默法则克拉默法则适用于n个未知数、n个方程的线性方程组。
它利用行列式的性质来求解未知数。
具体步骤如下：1. 构建系数矩阵和常数项的矩阵。
2. 计算系数矩阵的行列式，即主对角线上各元素的乘积减去副对角线上各元素的乘积。
3. 分别用求解一个未知数时的系数矩阵替代系数矩阵中对应列的元素，再计算新矩阵的行列式。
4. 将每个未知数的解依次计算出来。
克拉默法则的优点是理论简单，易于理解，但随着未知数和方程数的增加，计算复杂度呈指数增长，计算效率较低。
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目录摘要 (I)Abstract (II)第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)第二章行列式与线性方程组求解 (1)2.1 标准形式的二元线性方程组 (1)2.2 标准形式的三元线性方程组 (2)2.3 克莱姆法则 (3)2.3.1逆序数 (3)2.3.2 克莱姆法则 (4)第三章线性方程组的理论求解 (6)3.1 高斯消元法 (6)3.2 线性方程组解的情况 (7)3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (8)第四章求解线性方程组的新方法 (9)第五章线性方程组的应用 (11)5.1 投入产出数学模型 (11)5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (14)第六章结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)浅析线性方程组的解法及应用学生：陈晓莉指导教师：余跃玉摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。
然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。
并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。
对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。
介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。
最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。
关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS ANDAPPLICATIONStudent: Chen Xiaoli Supervisor: Yu Y ueyuAbstract: Method for solving linear equations plays a very important role in algebra. This paper introduces some basic methods for solving linear equations, from two yuan to three yuan of linear equations, and then to sister n linear equations, which introduces the Clem rule. Then the homogeneous equations and nonhomogeneous linear equations, introduces the theoretical solution of linear equations, which describes the elimination method, solution of the situation, the nonlinear into linear equations. And gives the relevant examples, we can get a deeper understanding method for solving linear equations. For what the solution of linear equations, this paper will also discuss. Introduced so many solution of linear equations, believe that in the future will be more convenient for the solution of linear equations. Finally, on the application of linear equations, mainly introduces the mathematical model of input and output, is frequently used in the economic analysis and management.Keywords: linear equations; Gauss elimination method; determinant第一章 绪论1.1 引言线性代数的核心内容是解线性方程组。
在寻求线性方程组解的存在定理和求解方法的过程中而产生的。
行列式理论和矩阵理论构成了线性代数的基本理论。
这本来是一个纯代数问题,如果把这个纯代数问题与几何结合起来,在求解线性方程组的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系,就产生了求解线性方程组的行列式理论和矩阵理论。
通过说明把几何概念引入解线性方程组的过程以及认真细致的分析、基本的归纳、简明的例子,为初学者正确认识行列式理论、准确应用行列式理论提供帮助。
目前, 新的教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以解决.同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画。
第二章 行列式与线性方程组求解2.1 标准形式的二元线性方程组定义1：如果线性方程组的未知个数与方程组的个数等于2，则称这个线性方程组为标准形式的二元线性方程组。
如：⎩⎨⎧-=+-=+)22()12(22221211212111b x a x a b x a x a若021122211≠-a a a a ，则（2-1）乘以21a 与（2-2）乘以11a 之差，消去1x ，得到2x 的解，代入方程，求出解的通式：211222111212112211222111222211,a a a ab a b a x a a a a a b a b x --=--=根据几何意义，我们把行列式引入线性方程组中，取出方程组中的系数，按如下的顺序排列，2112221122211211a a a a a a a a D -==（2-3）由系数矩阵排列的2阶矩阵D ，称为系数矩阵。
在（2-3）式中把第一列依次换成21,b b 则得到：,1222212221211a b a b a b a b D -==（2-4）在（2-3）式中把第二列依次换成21,b b 则得到：,2111122211112a b a b b a b a D -==（2-5）所以，二元线性方程组的解还可以表示为：DD x DD x 2211,==（2-6）例1：求解⎩⎨⎧-=+=+822y x y x 的解。
解：由（2-3）、（2-4）、（2-5）公式，代入系数， 求得：10,12,121-===D D D ,所以：10,12-==y x2.2 标准形式的三元线性方程组由定义1可以推知，如果线性方程组的未知个数与方程组的个数等于3，则称这个线性方程组为标准形式的三元线性方程组。
如：,333323213123232221211313212111⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （2-7） 根据标准形式的二元线性方程组的原理，排列成三阶行列式，得到：322311332112312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ---++== （2-8）再由（2-8）式每列系数换成321,,b b b ，则得到三个新的三阶行列式，,22133331223223123123132332213332323222121211a a b a a b a a b a a b a b a a b a a b a a b a a b D ---++== （2-9）)102(,2311331132332112113333112312313333123221131112----++==a a b a a b a a b a a b a a b a a b a b a a b a a b a D )112(,2112332112312212211331122322113323122221112113----++==a a b a a b a a b a a b a a b a a b b a a b a a b a a D当0≠D 时，则线性方程组的解为：DD x DD x DD x 332211,,===（2-12） 例2：求平面12,632,42-=-+=+-=-+z y x z y x z y x 的交点坐标。
解：由公式可以求出：411,49,49===z y x ； 所以坐标为（411,49,49）。
2.3 克莱姆法则 2.3.1逆序数在n 个数字中，进行全排列（n i i i ,,,21 ），如果一个小一点的数排在大的数前面，则称出现了一个逆序，一个全排列的所有逆序称为这个全排列的逆序数，记为),,,(21n i i i σ。
例如：由4个数字组成3个全排列的逆序数为：0)1234(=σ，1)1243(=σ，3)1432(=σ.分析二阶行列式（2-3）式2112221122211211a a a a a a a a D -==由此，可以看出2阶行列式一共有2！=2，每项两个因子分别来自不同的行和列，再看角标，第一项是2211a a ，根据逆序数0)22,11(=σ是偶数，因此符号带正号，第二项是2112a a ，逆序数是1)21,12(=σ是奇数，因此为负号；又如三阶行列式，一共有3！=6，一共有两项，有三项为正，三项为负，第一项是332211a a a ，逆序数为0，是偶数，因此为正号，第四项是312213a a a ，逆序数为1，为奇数，所以是负号。
依次类推，我们给出行列式的定义：我们把n n ⨯的由ij a 构成的矩阵，有表达式：)132()1(212121)(212222111211--==∑nn ni i i i i i nnn n n na a a a a a a a a a a a D σ其中ij a 为D 矩阵的第i 行，第j 列的元素，共有n ！个元素),,,(21n i i i 为自然数码∑！项求和是对这n 。
2.3.2 克莱姆法则定理1如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222222111212111 （2-14） 令nn n n n n a a a a a a a a a D 212222111211=， （2-15）nnn nn n a a b a a b a a b D 2222211211=， （2-16） …………nn n n b a a b a a b a a D 212222111211=。