浅析线性方程组的解法
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以用于描述多个未知数之间的关系。
解决线性方程组的问题是求解未知数的具体取值，从而得到方程组的解。
本文将介绍几种常见的解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
它通过矩阵变换的方式，将线性方程组转化为一个三角矩阵，从而简化求解过程。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中最后一列为常数项。
2. 选取一个非零元素作为主元，在当前列中将主元素所在的行作为第一行，然后通过初等行变换将其他行的主元素变为0。
3. 重复第2步，直到所有的主元素都变成1，并且每个主元素所在的列的其他元素都变为0。
4. 反向代入，从最后一行开始，依次回代求解未知数的值。
二、矩阵的逆矩阵法矩阵的逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组。
以下是逆矩阵法的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，将方程组两边同时左乘A的逆矩阵AI，得到x=A^(-1)b。
2. 通过求解矩阵A的逆矩阵来得到未知数向量x的值。
3. 如果矩阵A不可逆，那么线性方程组没有唯一解，可能有无穷多解或者无解。
三、克拉默法则克拉默法则是另一种解决线性方程组的方法，它利用行列式的性质来求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，令|A|=D，其中D表示矩阵A的行列式。
2. 分别计算将矩阵A的第i列替换为常数列b所得到的行列式|A_i|。
3. 未知数向量x的第i个分量可以通过x_i = |A_i|/D来得到。
克拉默法则的优点是简单直观，但是当方程组的规模很大时，计算行列式将变得非常复杂。
四、矩阵的广义逆法矩阵的广义逆法是一种应对方程组无解或者有无穷多解的情况的方法。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A不可逆，我们可以通过求解广义逆矩阵A^+来得到一个特解x_0。
1. 分别计算A^+ = (A^T·A)^(-1)·A^T和x_0 = A^+·b。
线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解在数学中，线性方程组是求解多元一次方程组的一种重要方法。
它在各种科学领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、LU分解法和Jacobi迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它基于矩阵的基本变换，通过不断变形将线性方程组转化成行最简形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 先将系数矩阵化为上三角矩阵。
从第一行开始，每一行都使用该行的第一个元素除以它下面的元素，将其所在列下面的所有元素消为0。
这个过程称为消元。
3. 接着，再将上三角矩阵转化为行最简形式。
从最后一行开始，每一行都使用该行的第一个非零元素除以它上面的元素，将其所在列上面的所有元素都消为0。
4. 通过以上变换，线性方程组的解就可以直接读出。
具体来说，最后一行所对应的方程是一个单变量方程，规定该变量的解为该方程的解，再逐步回代到前面的方程中求解其他变量即可。
高斯消元法的优点是计算量比较小，而且对于系数矩阵满秩的情况，它的解决效率极高。
但是，当系数矩阵有多个零行或行向量是另一行向量的倍数时，高斯消元法就会出现退化的情况，此时需要通过其他方法进行求解。
二、LU分解法LU分解法是一种比高斯消元法更加高效的求解线性方程组的方法。
它基于矩阵的分解，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
具体步骤如下：1. 将增广矩阵写为(A|B)的形式，其中A为系数矩阵，B为常数向量。
2. 通过高斯消元法将系数矩阵化为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L的乘积形式，即A=LU。
3. 将线性方程组转化为LY=B和UX=Y的两个方程组，其中L 和U是A的三角分解矩阵。
4. 先解LY=B，得到向量Y。
再解UX=Y，便得到线性方程组的解。
相对于高斯消元法，LU分解法的计算量更小，尤其是当多次求解同一个系数矩阵时，LU分解法可以提高计算效率。
线性方程组的求解方法
线性方程组的求解方法线性方程组是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、工程学等。
解决线性方程组的问题，对于推动科学技术的发展和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵法和迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。
它的基本思想是通过一系列的行变换将方程组化为阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过行变换将增广矩阵化为阶梯形或行最简形。
最后，通过回代法求解得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单易懂，容易实现。
但是，当方程组的规模较大时，计算量会很大，效率较低。
二、矩阵法矩阵法是求解线性方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式。
最后，通过求逆矩阵或伴随矩阵求解得到方程组的解。
矩阵法的优点是计算效率高，适用于方程组规模较大的情况。
但是，对于奇异矩阵或非方阵的情况，矩阵法无法求解。
三、迭代法迭代法是求解线性方程组的一种近似解法。
它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，选择一个初始解，通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
最后，通过设定一个误差限，当迭代结果满足误差限时停止计算。
迭代法的优点是计算过程简单，适用于方程组规模较大的情况。
但是，迭代法的收敛性与初始解的选择有关，有时可能无法收敛或收敛速度较慢。
综上所述，线性方程组的求解方法有高斯消元法、矩阵法和迭代法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法可以提高计算效率和解决实际问题的准确性。
在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的方法进行求解，能够更好地推动科学技术的发展和解决实际问题。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
解决线性方程组可以帮助我们求解未知数的值，解释不同变量之间的关系。
本文将介绍线性方程组的解法，包括高斯消元法和矩阵法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见方法。
它通过逐步操作将方程组转化为一种更容易求解的形式。
下面以一个三元一次方程组为例进行说明：方程组1：2x + 3y - z = 63x + 2y + 2z = 5x - 2y + z = 0首先，将方程组写成增广矩阵的形式：[2 3 -1 | 6][3 2 2 | 5][1 -2 1 | 0]然后，通过初等行变换，将增广矩阵化简成上三角矩阵的形式。
具体步骤如下：1. 将第一行乘以3，将第二行乘以2，分别得到新的第一行和第二行。
[6 9 -3 | 18][6 4 4 | 10][1 -2 1 | 0]2. 将第二行减去第一行，将第三行减去第一行，分别得到新的第二行和第三行。
[6 9 -3 | 18][0 -5 7 | -8][1 -2 1 | 0]3. 将第二行除以-5，得到新的第二行。
[6 9 -3 | 18][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]4. 将第一行减去9倍的第二行，得到新的第一行。
[6 0 48/5 | -72/5][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]5. 将第一行除以6，得到新的第一行。
[1 0 8/5 | -12/5][0 1 -7/5 | 8/5][1 -2 1 | 0]至此，我们得到了一个上三角矩阵。
接下来，通过回代来求解变量的值。
1. 由最后一行我们可以得到 z = 0。
2. 将 z = 0 代入到第一行和第二行，可以得到：x + 8/5 = -12/5，即 x = -4；y - 7/5 = 8/5，即 y = 3。
所以，原始方程组的解为 x = -4，y = 3，z = 0。
二、矩阵法除了高斯消元法，我们还可以使用矩阵法来解决线性方程组。
线性方程组解法归纳总结
线性方程组解法归纳总结在数学领域中，线性方程组是一类常见的方程组，它由一组线性方程组成。
解决线性方程组是代数学的基础知识之一，广泛应用于各个领域。
本文将对线性方程组的解法进行归纳总结。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的基本方法之一。
其基本思想是通过逐步消元，将线性方程组转化为一个上三角形方程组，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取一个非零的主元（通常选取主对角线上的元素），通过初等行变换将其它行的对应位置元素消为零。
3. 重复上述步骤，逐步将系数矩阵转化为上三角形矩阵。
4. 通过回代法，从最后一行开始求解未知数，逐步得到线性方程组的解。
高斯消元法的优点是理论基础牢固，适用于各种规模的线性方程组。
然而，该方法有时会遇到主元为零或部分主元为零的情况，需要进行特殊处理。
二、克拉默法则克拉默法则是一种用行列式求解线性方程组的方法。
它利用方程组的系数矩阵和常数向量的行列式来求解未知数。
具体步骤如下：1. 求出系数矩阵的行列式，若行列式为零则方程组无解。
2. 对于每个未知数，将系数矩阵中对应的列替换为常数向量，再求出替换后矩阵的行列式。
3. 用未知数的行列式值除以系数矩阵的行列式值，即可得到该未知数的解。
克拉默法则的优点是计算简单，适用于求解小规模的线性方程组。
然而，由于需要计算多次行列式，对于大规模的线性方程组来说效率较低。
三、矩阵法矩阵法是一种将线性方程组转化为矩阵运算的方法。
通过矩阵的逆运算或者伴随矩阵求解线性方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵的形式，其中系数矩阵为A，未知数矩阵为X，常数向量矩阵为B。
即AX=B。
2. 若系数矩阵A可逆，则使用逆矩阵求解，即X=A^(-1)B。
3. 若系数矩阵A不可逆，则使用伴随矩阵求解，即X=A^T(ATA)^(-1)B。
矩阵法的优点是适用于各种规模的线性方程组，且运算速度较快。
线性方程组的解法
线性方程组的解法作为一个线性代数主题，线性方程组的解法是一个非常重要的领域。
在本文中，我们将介绍几种解决线性方程组问题的方法。
我们将从初等变换、高斯消元法、矩阵展开式等几个方面来深入探讨。
一、初等变换初等变换往往是解决线性方程组问题的起点。
我们可以对方程组进行一些基本的操作来得到一个简化的等价方程组，从而方便我们去寻找方程组的解，初等变换主要包括三种操作：1.交换方程组中的两个方程的位置。
2.将某个方程的倍数加到另一个方程上。
3.用一个非零常数来乘某个方程。
执行初等变换时，我们必须记住每个变换对解x的影响。
在交换方程x 和y 的位置时，它们的解不变，而在加上一只方程的某个倍数时，系数矩阵和右侧向量也会随之改变，但解不变。
用一个非零常数乘以方程只会改变右侧向量，同时系数矩阵也会改变。
二、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组问题的另一种方法。
该方法通过使用矩阵增广形式来解决线性方程组问题。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中右侧向量位于最后一列。
2. 使用初等变换来将增广矩阵化为行梯阵形式。
行梯阵是矩阵的形式，其中每一行从左侧开始的第一个非零元素称为主元（pivot），每个主元下方的元素均为零。
3. 从最后一行开始，使用回带算法来求得线性方程组的解。
高斯消元法对于小规模的线性方程组可以轻松解决。
但是，在大规模问题上，该方法可能会产生误差或需要很长时间才能找到解决方案。
三、克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组问题的第三种方法。
该方法的关键在于将解决方案表示为每个未知数的一个比值。
这个比值是通过计算每个未知数对其余所有未知数的系数行列式比率而得到的。
这个方法的好处在于消去解方程组所需要的系数矩阵增广形式和行梯阵形式的需要。
但是，如果有许多未知数，计算每个比率可能会非常繁琐。
另外，如果有两个或更多个未知数系数具有相同的值，则克拉默法则计算行列式比率会失败。
四、矩阵展开式最后，我们来看一下使用矩阵展开式来解决线性方程组问题的方法。
线性方程组的解法探究
线性方程组的解法探究线性方程组是数学中常见的问题，涉及到多个未知数和各个未知数之间的线性关系。
本文将重点探讨五种常用的线性方程组解法，并比较它们在不同情况下的适用性。
通过对这些解法的研究，我们可以更好地理解和解决线性方程组相关的问题。
一、高斯消元法高斯消元法是最常见和最基础的线性方程组解法之一。
该方法通过变换线性方程组的增广矩阵，将其化为最简形式。
基本思想是通过初等行变换（如交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍）来逐步消去未知数，达到求解的目的。
二、逆矩阵法逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组的方法。
对于一个已知系数矩阵A和常数项矩阵B，当A可逆时，方程组的解可以表示为X=A^(-1)B。
逆矩阵法的优点是可以一次性求解多个未知数，但要求系数矩阵必须可逆。
三、克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式来求解线性方程组的方法。
对于一个n阶线性方程组，如果系数矩阵的行列式不等于零，则存在唯一解，并可以逐个求出未知数的值。
克拉默法则的缺点是计算量较大，不适用于大规模的线性方程组。
四、矩阵法矩阵法是将线性方程组表示为矩阵形式，然后通过矩阵运算来求解未知数的方法。
通过将系数矩阵与未知数矩阵相乘得到常数项矩阵，再通过矩阵的逆运算求解未知数矩阵。
矩阵法在求解规模较大的线性方程组时比较高效。
五、向量空间法向量空间法是通过向量空间的性质来解线性方程组的方法。
线性方程组的解可以看作是向量空间的一个向量，通过求解零空间和列空间来得到方程组的解。
向量空间法的思想相对较为抽象，适用于对线性代数有深入理解的人。
综上所述，不同的线性方程组解法在不同的情况下具有不同的优缺点。
高斯消元法是最基础和常用的方法，在一般情况下都可以使用。
逆矩阵法和克拉默法则适用于系数矩阵满足一定条件的情况。
矩阵法在规模较大的线性方程组求解中效率较高。
向量空间法适用于对线性代数有较深理解的情况。
不同的解法之间相互补充与联系，为解决线性方程组问题提供了多种途径。
线性方程组的解法及应用
线性方程组的解法及应用线性方程组是数学中常见的问题，其解法和应用十分广泛。
本文将介绍线性方程组的几种常见解法，并探讨了其在实际应用中的意义和重要性。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的常见方法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换，将线性方程组转化为上三角矩阵或对角矩阵的形式，进而求解未知数。
通过逐行消元和回代过程，可以求得方程组的解。
高斯消元法是一种时间复杂度较低的求解线性方程组的方法，适用于各种规模的问题。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种常见的求解线性方程组的方法。
根据矩阵的定义和性质，可以通过求解系数矩阵的逆矩阵，进而求得线性方程组的解。
这种方法较为简便，尤其适用于方程组的系数矩阵可逆的情况。
然而，由于求逆矩阵的计算复杂度较高，这种方法在处理大规模问题时可能变得不切实际。
三、克莱姆法则克莱姆法则是一种通过行列式的性质求解线性方程组的方法。
根据法则的定义，通过计算系数矩阵和常数矩阵的各个子行列式，可以得到线性方程组的解。
克莱姆法则具有简单的结构和直观的操作步骤，但其计算量较大，仅适用于小规模问题。
以上是几种常见的线性方程组解法，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，我们根据问题的特点和数据的规模，选择合适的解法以提高计算效率和准确性。
线性方程组求解的应用涉及到众多学科和领域，下面我们将探讨其中几个重要的应用。
四、物理学中的应用线性方程组在物理学中有着广泛的应用。
以力学为例，在分析力学问题中，往往需要通过线性方程组求解物体的运动状态和力的分布。
通过建立合适的力平衡方程和动力学方程，可以将问题转化为线性方程组，并求解得到物体的位移、速度和加速度等关键信息。
这对于理解物体的运动规律和进行工程设计具有重要意义。
五、经济学中的应用线性方程组在经济学中也有广泛的应用。
以宏观经济学为例，经济学家通常会建立一系列的数学模型，通过线性方程组描述经济系统中的供求关系、市场机制和宏观调控等。
通过求解线性方程组，可以得到不同经济指标之间的关系，帮助政策制定者做出科学的决策，推动经济稳定和发展。
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目录摘要 (I)Abstract. (II)第一章绪论 (I)1.1引言 (1)1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1)1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1)第二章线性方程组理论基础 (2)2.1 线性方程组概念 (2)2.2 线性方程组的解的情况分析 (2)2.3 齐次线性方程组解的结构 (4)2.4非齐次线性方程组解的结构 (4)第三章线性方程组的数值解 (5)3.1 迭代法 (5)3.1.1 Jacobi方法 (6)3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8)第四章全文总结和展望 (10)4.1 全文总结 (10)4.2 未来展望 (10)参考文献 (11)致谢.................................................................. 错误!未定义书签。
线性方程组的求解方法学生：指导教师：摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。
得到线性方程组的数值解的一般方法。
最后，对全文进行了总结和展望。
关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法THE METHOD OF CALCULATING THE SYSTEM OF LINEAREQUATIONSStudent:Supervisor:Abstract：This article introduced the research status of the solving methods of linear equations solution based on the analysis of the research background and significance of the structure of linear equations solution and then started a study on linear equations,including the basic concept of linear equations solution, structure and structure forms of homogeneous and non-homogenous linear equation solutions.Similar triangles matrix theorem, the most commonly used method in Jacobi of iteration method, and convergence of iteration method were used to discuss the numerical solution of linear equations and then, gauss-seidel method were used to validate its outcome so that we got the common way to get the numerical solution of linear equations. the article got a conclusion and a prospect tonthe resaerch and relevant methods.Key word：Linear equations; numerical solution; iterative method; Jacobi method; Gauss - Seidel method第一章绪论1.1 引言随着科技和社会的不断进步，数学领域也得到了极大的发展，很多大量的科学技术，通过化简和处理，最后几乎都演变成线性方程组的求解，线性方程组的求解，就是一次方程组的求解，通过将复杂问题转换成线性方程组，大大简化了问题的难度，因此，大量的学者将目光投向对线性方程组进行研究，分析线性方程组解的结构形式，并对线性方程组的求解方法进行剖析和处理，目前，线性方程组已经应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域，因此，对线性方程组的求解方法，不仅有助于数学和计算领域的发展，也为未来更复杂、更先进的计算提供了理论基础。
1.2 线性方程组解的求解方法的研究现状线性方程组从提出至今，已经拥有很悠久的历史，世界上对线性方程组研究最早的国家是我国，我国的《九章算术》早于公元一世纪就提出了用于求解三元线性方程组的“方程术”法，也是我国最早的数学方面的著作；于公元263年，我国的刘徽在《九章算术》的基础上，提出了《九章算术注》，拓展和更正了《九章算术》，并提出了求解线性方程组的“互乘消除法”和“配分比例法”，大大简化了线性方程组的解法，西方的线性方程组的研究，是由德国的莱布尼兹提出了线性方程组系数行列式开始，开创了西方国家的线性方程组研究历史，英国麦克劳林于18世纪就开始对线性方程组解结构展开了研究，之后，瑞士克莱姆在1750年提出了Cramer’s Rule，为齐次线性方程组的求解奠定了基础，1764年，法国贝祖通过对线性方程组解结构进行分析，采用消元法增加了高次方程组的求解，法国的范德蒙在1772年，提出了用二阶子式及余式来展开行列式，巴黎的柯西在行列式方面做出了卓越的贡献，包括柯西不等式、积分公式等，英国的凯莱和西尔维斯特于1860年，一起发明了代数型理论，采用矩阵来求解线性方程组，19世纪，德国的菲罗贝尼乌斯完善了方程组解及矩阵性质的研究，目前，线性方程组已经越来越成熟，并被应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域，从而使复杂的问题简单化，方便问题的求解。
1.3本文对线性方程组解法的研究结构首先对线性方程组的概念进行阐述，理解其定义；然后对线性方程组解的情况进行分析，得出线性方程组解的结构。
将复杂问题转换成线性方程组，大大简化了问题的难度，对线性方程组解的结构研究，有助于数学和计算领域的发展，已经应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域。
本文在对线性方程组的求解方法研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，总结了齐次和非齐次线性方程组解的数值解法。
最后，对全文进行了总结和展望。
第二章 线性方程组理论基础2.1 线性方程组概念线性方程组指的是在一组含有未知分量的方程组中，所有的未知分量的次数都为1的方程组，如公式(1)所示。
AX B = (1)其中，A 等于()ij m n a ⨯，是一个m n ⨯的系数矩阵，B 等于12(b ,b ,b )T m ，是一个m 个数值组成的矩阵，如果在A 中增加一列由B 组成的常数项列，则A 变成增广矩阵，X 等于12(,,)T n x x x ，是由n 个未知分量组成的矩阵，但所有未知分量的次数均为1次。
如果B 等于0，该方程组被称为齐次方程组，如果B 不等于0，该方程组则被称为非齐次方程组。
若将11x c =，22x c =，…，n n x c =带入方程组中，各个方程组均成立，则称12(,,)n c c c 为方程组的一个解，一般非齐次线性方程组的解是唯一的，但是往往一个齐次方程组的解并不是唯一的，而是由若干或者无穷多个解构成了方程组的解的集合，在进行方程组的研究时，主要需要考虑的就是如何求解方程组，方程组何时有解，解的集合的构成，以及解的结构几个方面。
2.2 线性方程组的解的情况分析研究线性方程组的主要目的，就是为了求解线性方程组，矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间、最优化问题求解、积分和微分等多个领域都涉及到线性方程组的求解问题，常用的求解线性方程组的方法有两种，一种是直接消元法，另一种是迭代法。
1. 消元法消元法就是通过对线性方程组中的未知分量，进行逐步的消除，进而减少线性方程组中未知分量的个数，从而将复杂的方程组化简成为简单的形式，进而求得相应的解。
比如像下面的线性方程组就可以利用直接消元法来进行线性方程组的求解，具体的求解步骤如下。
22132292336x y z x y z x y z -+=-⎧⎪++=⎨⎪--=⎩(2)(3)(4)(3)3(2)-⨯可以得到8412y z -=，将其化简之后可以得到23y z -= (5)(4)3(2)-⨯可以得到78y z -= (6)2(6)(5)⨯-可以得到1313z -= (7)从而解得1z =-,将z 的值带入到公式(6)中，可以得到1y =，在将z 和y 的值带入到公式(2)中，可以得到3x =,因此，解得该线性方程组的解为以上就是通过消元法求解的线性方程组的一个实例，这种消元法往往使用于方程组个数较少、相对格式较简单的形式，当线性方程组较为复杂、未知分量及方程组个数较多时，往往利用矩阵，将线性方程组的增广矩阵，通过使用行初等变换，来将其变换成行简化阶梯型矩阵，从而求得相应的方程组解，但是，当系数矩阵的阶数较大时，消元法需要较大的计算量，而且在使用计算机进行存储时，也浪费了大量的存储空间。
2. 迭代法迭代法也是常用的求解线性方程组的一种常用方法，由于具有程序简单，存储空小的优点，非常适用于未知分量及方程组个数较多时的求解，迭代法就是通过某种极限过程来一步步的逼近线性方程组的解，通过逐次的迭代运算，最终求得线性方程组的解，比如像线性方程组AX = b ，我们可以将其变换成x = Bx + f 的形式，之后，基于此，构造如公式(8)的迭代格式。
(k 1)(k)XBX f +=+ (8) 其中，k 等于0,1,2,n ，n 代表迭代次数，假设*x 是线性方程组Ax b =的唯一解，则有**x Bx b =+，假设(0)x )为随机选取的初始向量，则根据公式(8)可以构成相应的向量序列{}(k)x 。
这种求解的方法就是迭代法，但是只有在迭代法收敛的情况下，*x 才是线性方程组Ax b =的唯一解，迭代法收敛需要满足，只有在满足这个条件的前提下，迭代法才收敛，否则迭代法发散。