线性方程组解的判定
线性组合与线性相关
五、关于向量组线性相关性的主要结论
1.零向量是线性相关的，一个非零向量是线性无关的。 2.两个向量线性相关的充分条件是对应分量成比例。 3.含有零向量的向量组线性相关。 4.部分组线性相关，则整个向量组组线性相关；
向量组线性无关，则其部分组线性无关。 5. 线性无关向量组的“加长”向量组线性无关；
1 1 1
1 1 1
答案：1. A 1 2 3,| A | t 5 或 A 0 1 2
1 3 t
0 0 t 5
所以，t=5时线性相关，t≠5时线性无关。
2.t取任何值，向量组都线性相关。（4个3维向量）
即4可由1,2,3线性表示，
且表示方式不唯一。
对 A~ 继续施行初等行变换，
A~
1 1 2 2 1 1 2 2
0 2 1
5
0 1
1 2
5 2
1
0
3 2
1 2
0
1
1 2
5 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
最后一个矩阵对应的线性方程组为：
x1
x2
1
2 5
2
3
2 1
2
x3 x3
| A | 0 有非零解。
二、向量组的线性组合
1.线性表示：如果β=k11+k22+···+kss，则称β可由 1,2,···,s 线性表示，或称β是1,2,···,s 的线性组合。 2.β能由1,2,···,s线性表示的含义是线性方程组
x11+x22+···+xss=β
有解，其充要条件是 r(A)=r(A|β)
1,2,···,s,β线性相关 r(1,2,···,s ,β) <s+1 s= r(1,2,···,s)≤ r(1,2,···,s ,β) <s+1
线性方程组解的情况判定
第二节 线性方程组解的情况判定教学目的：掌握线性方程组解的存在性的判别方法。
教学重点：线性方程组有解判别定理及其推论。
教学过程：下面我们来说明如何利用初等变换来解一般的线性方程组。
第一步 对于方程组(9.1)，如果1x 的系数不全为零，那么利用初等变换1，可以设110a ≠；第二步 利用初等变换2，分别把第一个方程的111i a a -倍加到第i 个方程(2,,)i s = ，于是方程组(9.1)变成111122112222222n n n n s sn n s a x a x a x b a x a x b a x a x b +++=⎧⎪'''++=⎪⎨⎪⎪'''++=⎩(9.2) 其中1111(2,,;2,,)i ij ij j a a a a i s j n a '=-⋅== 。
这样，解方程组(9.1)就归结为解方程组2222222n n s sn n s a x a x b a x a x b ⎧'''++=⎪⎪⎨⎪'''++=⎪⎩ (9.3)方程组(9.1)有解的充分必要条件为方程组(9.3)有解；第三步 对(9.2)上面的类似变换，最后得到一个阶梯形方程组111122*********100000r r n n r r n n rr r rn n r r c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x d d ++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎪++=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩(9.4) 其中0(1,2,,)ii c i r ≠= 。
方程组(9.4)中的“00=”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，去掉它们不影响(9.4)的解。
方程组(9.1)与方程组(9.4)是同解的。
下面讨论方程组(9.4)解的情况，即方程组(9.1)解的情况。
1．如(9.4)中有方程10r d +=，而10r d +≠，这是不管1,,n x x 取什么值都不能使它成为等式，所以(9.4)无解，从而(9.1)无解。
线性方程组的解的 判定
线性方程组的解的判定
线性方程组的解的判定，是指对线性方程组的解进行判定，以确定其是否有解、是唯一解或者无解。
下面就来详细介绍线性方程组解的判定。
首先，我们来看一下线性方程组的定义：线性方程组是由一组线性方程组成的集合，并且每一个方程中变量的指数为1。
例如：2x + 3y = 5, 4x - 6y = 12.
对于线性方程组的解的判定，有三种常用的方法：
1. 通解法：通解法是求解线性方程组的一种常用方法，即令原方程组的所有方程式左端相加，右端相减，得到一个新的等式。
然后再将此等式化为标准形式，即将所有变量的系数变为正数，最后将方程组解为一个共同的标准型，从而得出线性方程组的解。
2. 秩的判定法：秩的判定法是根据矩阵的秩来判断线性方程组的解。
可以将线性方程组转换为矩阵形式，计算出矩阵的秩，然后根据矩阵的秩来判断线性方程组是否有解。
3. 间接判定法：间接判定法是一种在解线性方程组时，对方程组的解进行判定的一种方法。
这种方法既不求解方程组，也不求矩阵的秩，而是计算出方程组的系数矩阵的行列式，根据行列式的值来判定方程组是否有解，这
种方法的优点是求解简单易懂，但是缺点是计算量大，无法直接判断方程组是否有唯一解。
以上就是线性方程组解的判定的详细介绍，它是一种重要的数学解决问题的方法，可以有效地判定线性方程组的解是否有解，是唯一解或者无解，从而给出解决问题的有效方案。
线性方程组解的一般理论
xr krr1xr1 krr2 xr2 krn xn 0
x1 k1r1 xr1 k1r2 xr2 k1n xn
即
x2
xr
k2r1 xr1 k2r2 xr2
krr1 xr1 krr2 xr2
k2n xn krn xn
xr1 , xr2 xn为自由未知量
n-r个
结论1：线性方程组 x11 x22 xnn 有解的
充要条件是: 可由1 , 2
,
,
线性表示
n
结论2：可由1, 2 , , n线性表示的充要条
件是 1,2 , ,n ≌ 1, 2 , , n ,
结论3： 1, 2 , , n ≌ 1, 2 , , n ,
的充要条件 rA r( A)
线性方程组解的判定定理： 线性方程组有解的充要条件是：
x1 x2 x3 x4 x5 0 x1 x2 2x3 x4 x5 0
x1 x2 2x3 3x4 5x5 0
解：A
1 1
1 1
A
3 1 2 0 行变换 3 0 3 0 3 0 3 0
A 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0
3 0 3 3
3 0 3 3 0 0 0 3
r(A) 2, r( A) 3 ，方程组无解
（3）当k=1时，
4 1 2 1 行变换 0 1 2 3 0 1 2 3
A 1 0 1 1
(k
3)x1 kx1 (k
x2 1) x2
2x3 k x3 k
3(k 1)x1 kx2 (k 3)x3 3
k3 1 2
解：由于 A k k 1 1 k 2 (k 1)
3(k 1) k k 3
（1）当k≠0且k ≠1时， A 0
线性方程组解的判定幻灯片PPT
am1 am2 amn bn
1 0
0 1
0 0
0 0
b1r 1 b2 r 1
b1n b2n
d1 d2
0
0
1
0
b3r 1
b3n
d3
0
0
0
1
brr 1
brn
dr
0 0 0 0
0
0
d r 1
0 0 0 0 0 0 0
1.dr1 0，即 r，(A)r(A ~) 无解。
x1 5x2 x3 x4 1
例2：
x1 3x1
2 x2 8x2
x3 3x4 3 x3 x4 1
x1 9x2 3x3 7x4 7
1 5 1 1 1
A~
1 13
2 8 9
1 1 3
3 1 7
3
1 7
1 5 1 1 1
0 7 2 4 4
00
7 14
2 4
4 8
84
1 5 1 1 1
0
0
0
0
0
一个含有n个未知数的m个方程的线性方程组：
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
对它的增广矩阵：
a11
A~
a2 1
a1 2
a2 2
a1n a2n
b1 b2
进展初等行变换，
可化为如下形式：
例：讨论线性方程组
x1 x2 2x3 3x4 1
x1 3x1
3x2 x2
6x3 px3 1
x4 5x4
6 3
x1 5x2 10x3 12x4 t
4.2线性方程组有无解的判定
1
Q r ( A) = r ( A ) = 3, ∴ 原方程组有惟一解：x1 = −
λ
, x2 =
2
λ
, x3 =
λ −1 . λ
当λ
1 1 − 2 − 3 1 0 − 1 − 1 = −3 时， A → 0 − 3 3 6 → 0 1 − 1 − 2（行简化阶梯形矩阵） 0 0 0 0) 0 0 0 0
是否有解线性方程组的线性组合不是且表出方式不惟一的线性组合为何值时且表出方式惟一的线性组合为何值时的线性组合不能表为为何值时的线性组合不能表为方程组有惟一解故惟一线性表出为可由行简化阶梯形矩阵阶梯形矩阵方程组有无穷多解其一般解为且表出方式不惟一
§4.2 线性方程组有无解的判定 线性方程组的一般形式：
同解方程组为
5 5 x1 − x3 + x4 = 0 3 3 x + 7 x − 1 x = 1, 2 3 3 3 4
故一般解为
5 5 x1 = x3 − x4 3 3 ( x3 , x 4为自由未知量 ). x = 1− 7 x + 1 x , 3 4 2 3 3
1 −1 1 3 1 −1 2 −1 M 3 1 −1 2 −1 MM 3 →0 0 −5 2 −6 解（1） A = 4 −4 3 −2 M 6 → 0 0 −5 2 MM −6 = 4 1 −1 −3 1 M 1 0 0 −5 0 MM −2 0 0 0 2 （阶梯形矩阵）
⇔ r ( A) = r ( A ) = n,
有无穷多解 ⇔ r ( A) = r ( A ) < n.
解线性方程组的步骤： （1）利用矩阵的初等行变换将方程组的增广矩阵化 为阶梯形矩阵，判断是否有解. （2）有解时，继续利用矩阵的初等行变换将阶梯形 矩阵化为行简化阶梯形矩阵. （3）根据行简化阶梯形矩阵，写出方程组的解.
线性方程组的解的性质与判定
线性方程组解的性质与判定在控制系统中的应用，可以用于分析系统的稳定性。 通过线性方程组解的性质与判定，可以确定控制系统的响应时间，优化控制效果。 在控制工程中，线性方程组解的性质与判定可以用于设计控制器，提高系统的性能指标。 在处理复杂控制系统时，线性方程组解的性质与判定能够提供有效的解决方案，简化计算过程。
逻辑回归模型：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳分类边界，实现分类任务。
支持向量机：利用线性方程组解的性质与判定，找到支持向量，实现分类和回归任务。
决策树和随机森林：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳划分标准，构建决策树和随机 森林模型。
PART FOUR
线性方程组解的性质与判定的研究历史 当前研究的主要方向和重点 近年来的重要研究成果和突破 未来研究展望和挑战
近年来的研究热 点和重点
在各个领域的应 用情况
未来研究的发展 趋势和展望
深入研究线性方程组解的性质与判定的关系，为实际应用提供更准确的数学模型。 探索更高效的算法和计算方法，提高线性方程组求解的效率和精度。 结合人工智能和大数据技术，对大规模线性方程组进行高效求解和优化。 拓展线性方程组解的性质与判定的应用领域，如物理、工程、经济等领域。
汇报人：XX
线性方程组解的 性质与判定可用 于数据清洗，识 别异常值和缺失 值。
在数据分析中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于确定数据分布 和趋势。
在机器学习中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于特征选择和降 维处理。
在数据预测中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于建立预测模型 和优化算法。
线性回归模型：利用线性方程组解的性质与判定，确定最佳拟合直线，提高预测精度。
02
注意事项：在使用系数矩阵判定法时，需要注意 计算秩的正确性和准确性，以避免误判。
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定是一个重要的数学问题，它涉及到对一组未知量的求解。
解的判定问题的主要内容如下：
1. 系数矩阵存在不等式：在求解线性方程组时，首先要判断系数矩阵是否存在不等式，即是否存在元素值为负的情况：若存在，则解不存在；如果全部元素值都不为负，则判定解存在。
2. 是否存在无穷解：通常情况下，一个线性方程组只有唯一解，即只有一组解。
但也有可能存在无穷多解，即系数矩阵存在元素值全为0，此时解可以是任意一组数，因此可以判定存在无穷解。
3. 闭解的确定：当系数矩阵存在不等式或存在元素值全为0时，可以判定存在无穷解；当系数矩阵存在唯一解时，需要通过计算、符号识别和几何意义的结合，来确定具体的闭解。
4. 压缩可行性：压缩可行性判定法是指将求解所求出来的解，压缩在基本解所构成的空间上，以便表达出更复杂的结果。
5. 方程式系数：也可以通过方程式系数的分析，来判定方程组的解的存在与否，这是一种常用的判定方法。
从上述内容可以看到，线性方程组解的判定是一个复杂的数学问题，要想判断线性方程组的解的存在性，需要结合不等式判定、无穷解判定、压缩可行性判定以及方程式系数等步骤，一步步进行判断，才能正确地确定某个线性方程组的解的存在性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1/28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
进行初等行变换，将其化成如下形式的阶 梯形矩阵：
上一页
2/28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
c11 c12 0 c 22 0 0 0 0 0 0 c1r c2 r crr 0 0 c1n c2 n crn 0 0 d1 d2 dr ，(2.7.1) d r 1 0
上一页
7/28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
将后 n r 个未知量项移至等号的右端，得
c11 x1 c12 x2 c1r xr d1 c1r 1 xr 1 c1n xn ， c22 x2 c2 r xr d 2 c2 r 1 xr 1 c2 n xn ， crr xr d r crr 1 xr 1 crn xn ，
上一页
13/28
上一页
6/28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
用回代的方法，自下而上依次求出 xn ， xn1 ， ， x1 的值．因此，方程组(2.6.1) 有唯一解. (2)如果 r n，则阶梯形矩阵(2.7.1)表 示的方程组为 c11 x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1 ， c22 x2 c2 r xr c2 n xn d 2 ， crr xr crn xn d r ．
上一页
9/28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
推论2 线性方程组(2.6.1)有无穷多解 的充分必要条件是 r (A) r (A ，B) n． 推论3 齐次线性方程组(2.6.2)只有零 解的充分必要条件是 r ( A) n ． 推论4 齐次线性方程组(2.6.2)有非零 的充分必要条件是 r ( A) n ．
上一页
10/28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
特别地，当齐次线性方程组(2.6.2)中， 方程个数少于未知量个数 (m n) 时，必有 r ( A) n ．这时方程(2.6.2)一定有非零解.
上一页
11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
例1 判别下列方程组是否有解？若有解， 是有唯一解还是有无穷多解？
3/28
下一页
返回
上一页
2.7线性方程组解的情况判定
其中 cii 0(i 1,2,r ) ，或
c11 c1s c1n d1 00 c c c d 2k 2s 2n 2 0 0 0 0 c c d rs rn r ．(2.7.2) 0 0 0 0 0 0 d r 1 0 0 0 0 0 0 0 上一页 下一页
x1 2 x2 3x3 11， x1 x2 x3 7， (1) 2 x13x2 x3 6 ， 3x1 x2 2 x3 4 ；
上一页
12/28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
x1 2 x2 3x3 11 ， x1 x2 2 x3 7 ， (2) 2 x1 3x2 x3 6 ， 3x1 x2 2 x3 5 ； x1 2 x2 3x3 11 ， x1 x2 x3 7 ， (3) 2 x1 3x2 x3 6 ， 3x1 x2 2 x3 5 ．
上一页
5/28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
2.当 d r 1 0 时，方程组(2.6.1)有解． 并且解有两种情况： (1)如果 r n ，则阶梯形矩阵(2.7.1) 表示的方程组为 c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 ， c22 x2 c2 n xn d 2 ， cnn xn d n ．
4/28
返回
2.7线性方程组解的情况判定
由定理2.6.1可知，阶梯形矩阵(2.7.1) 和(2.7.2)所表示的方程组与方程组(2.6.1) 是同解方程组，于是由矩阵(2.7.1)和 (2.7.2)可得方程组(2.7.1)的解的结论:
1.当 d r 1 0时，阶梯形矩阵(2.7.1)和
(2.7.2)所表示的方程组中的第 r 1个方程 “ 0 d r 1 ”是一个矛盾方程，因此，方程 组(2.6.1)无解．
其中 xr 1 ， ，xn 为自由未知量．因此，方程 组(2.6.1)有无穷多解．
上一页
8/28
下一页
返回
2.7线性方程组解的情况判定
定理2.7.1(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(2.6.1)有解的充分必要条件是其 系数矩阵与增广矩阵的秩相等．即
r (A) r (A, B) ．
推论1 线性方程组(2.6.1)有唯一解的 充分必要条件是 r (A) r (A , B) n ．
2.7线性方程组解的情况判定
用消元法解线性方程组得知，线性方程 组解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无 解．归纳求解过程，实际上就是对方程组 (2.6.1)的增广矩阵
a11 a 21 ( A ，B) am1 a12 a1n b1 a22 a2 n b2 am 2 amn bm