线性方程组解的判定
线性组合与线性相关
五、关于向量组线性相关性的主要结论
1.零向量是线性相关的，一个非零向量是线性无关的。 2.两个向量线性相关的充分条件是对应分量成比例。 3.含有零向量的向量组线性相关。 4.部分组线性相关，则整个向量组组线性相关；
向量组线性无关，则其部分组线性无关。 5. 线性无关向量组的“加长”向量组线性无关；
1 1 1
1 1 1
答案：1. A 1 2 3,| A | t 5 或 A 0 1 2
1 3 t
0 0 t 5
所以，t=5时线性相关，t≠5时线性无关。
2.t取任何值，向量组都线性相关。（4个3维向量）
即4可由1,2,3线性表示，
且表示方式不唯一。
对 A~ 继续施行初等行变换，
A~
1 1 2 2 1 1 2 2
0 2 1
5
0 1
1 2
5 2
1
0
3 2
1 2
0
1
1 2
5 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
最后一个矩阵对应的线性方程组为：
x1
x2
1
2 5
2
3
2 1
2
x3 x3
| A | 0 有非零解。
二、向量组的线性组合
1.线性表示：如果β=k11+k22+···+kss，则称β可由 1,2,···,s 线性表示，或称β是1,2,···,s 的线性组合。 2.β能由1,2,···,s线性表示的含义是线性方程组
x11+x22+···+xss=β
有解，其充要条件是 r(A)=r(A|β)
1,2,···,s,β线性相关 r(1,2,···,s ,β) <s+1 s= r(1,2,···,s)≤ r(1,2,···,s ,β) <s+1
线性方程组解的情况判定
第二节 线性方程组解的情况判定教学目的：掌握线性方程组解的存在性的判别方法。
教学重点：线性方程组有解判别定理及其推论。
教学过程：下面我们来说明如何利用初等变换来解一般的线性方程组。
第一步 对于方程组(9.1)，如果1x 的系数不全为零，那么利用初等变换1，可以设110a ≠；第二步 利用初等变换2，分别把第一个方程的111i a a -倍加到第i 个方程(2,,)i s = ，于是方程组(9.1)变成111122112222222n n n n s sn n s a x a x a x b a x a x b a x a x b +++=⎧⎪'''++=⎪⎨⎪⎪'''++=⎩(9.2) 其中1111(2,,;2,,)i ij ij j a a a a i s j n a '=-⋅== 。
这样，解方程组(9.1)就归结为解方程组2222222n n s sn n s a x a x b a x a x b ⎧'''++=⎪⎪⎨⎪'''++=⎪⎩ (9.3)方程组(9.1)有解的充分必要条件为方程组(9.3)有解；第三步 对(9.2)上面的类似变换，最后得到一个阶梯形方程组111122*********100000r r n n r r n n rr r rn n r r c x c x c x c x d c x c x c x d c x c x d d ++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎪++=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩(9.4) 其中0(1,2,,)ii c i r ≠= 。
方程组(9.4)中的“00=”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，去掉它们不影响(9.4)的解。
方程组(9.1)与方程组(9.4)是同解的。
下面讨论方程组(9.4)解的情况，即方程组(9.1)解的情况。
1．如(9.4)中有方程10r d +=，而10r d +≠，这是不管1,,n x x 取什么值都不能使它成为等式，所以(9.4)无解，从而(9.1)无解。
线性方程组的解的 判定
线性方程组的解的判定
线性方程组的解的判定，是指对线性方程组的解进行判定，以确定其是否有解、是唯一解或者无解。
下面就来详细介绍线性方程组解的判定。
首先，我们来看一下线性方程组的定义：线性方程组是由一组线性方程组成的集合，并且每一个方程中变量的指数为1。
例如：2x + 3y = 5, 4x - 6y = 12.
对于线性方程组的解的判定，有三种常用的方法：
1. 通解法：通解法是求解线性方程组的一种常用方法，即令原方程组的所有方程式左端相加，右端相减，得到一个新的等式。
然后再将此等式化为标准形式，即将所有变量的系数变为正数，最后将方程组解为一个共同的标准型，从而得出线性方程组的解。
2. 秩的判定法：秩的判定法是根据矩阵的秩来判断线性方程组的解。
可以将线性方程组转换为矩阵形式，计算出矩阵的秩，然后根据矩阵的秩来判断线性方程组是否有解。
3. 间接判定法：间接判定法是一种在解线性方程组时，对方程组的解进行判定的一种方法。
这种方法既不求解方程组，也不求矩阵的秩，而是计算出方程组的系数矩阵的行列式，根据行列式的值来判定方程组是否有解，这
种方法的优点是求解简单易懂，但是缺点是计算量大，无法直接判断方程组是否有唯一解。
以上就是线性方程组解的判定的详细介绍，它是一种重要的数学解决问题的方法，可以有效地判定线性方程组的解是否有解，是唯一解或者无解，从而给出解决问题的有效方案。
线性方程组解的一般理论
xr krr1xr1 krr2 xr2 krn xn 0
x1 k1r1 xr1 k1r2 xr2 k1n xn
即
x2
xr
k2r1 xr1 k2r2 xr2
krr1 xr1 krr2 xr2
k2n xn krn xn
xr1 , xr2 xn为自由未知量
n-r个
结论1：线性方程组 x11 x22 xnn 有解的
充要条件是: 可由1 , 2
,
,
线性表示
n
结论2：可由1, 2 , , n线性表示的充要条
件是 1,2 , ,n ≌ 1, 2 , , n ,
结论3： 1, 2 , , n ≌ 1, 2 , , n ,
的充要条件 rA r( A)
线性方程组解的判定定理： 线性方程组有解的充要条件是：
x1 x2 x3 x4 x5 0 x1 x2 2x3 x4 x5 0
x1 x2 2x3 3x4 5x5 0
解：A
1 1
1 1
A
3 1 2 0 行变换 3 0 3 0 3 0 3 0
A 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0
3 0 3 3
3 0 3 3 0 0 0 3
r(A) 2, r( A) 3 ，方程组无解
（3）当k=1时，
4 1 2 1 行变换 0 1 2 3 0 1 2 3
A 1 0 1 1
(k
3)x1 kx1 (k
x2 1) x2
2x3 k x3 k
3(k 1)x1 kx2 (k 3)x3 3
k3 1 2
解：由于 A k k 1 1 k 2 (k 1)
3(k 1) k k 3
（1）当k≠0且k ≠1时， A 0
线性方程组解的判定幻灯片PPT
am1 am2 amn bn
1 0
0 1
0 0
0 0
b1r 1 b2 r 1
b1n b2n
d1 d2
0
0
1
0
b3r 1
b3n
d3
0
0
0
1
brr 1
brn
dr
0 0 0 0
0
0
d r 1
0 0 0 0 0 0 0
1.dr1 0，即 r，(A)r(A ~) 无解。
x1 5x2 x3 x4 1
例2：
x1 3x1
2 x2 8x2
x3 3x4 3 x3 x4 1
x1 9x2 3x3 7x4 7
1 5 1 1 1
A~
1 13
2 8 9
1 1 3
3 1 7
3
1 7
1 5 1 1 1
0 7 2 4 4
00
7 14
2 4
4 8
84
1 5 1 1 1
0
0
0
0
0
一个含有n个未知数的m个方程的线性方程组：
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
对它的增广矩阵：
a11
A~
a2 1
a1 2
a2 2
a1n a2n
b1 b2
进展初等行变换，
可化为如下形式：
例：讨论线性方程组
x1 x2 2x3 3x4 1
x1 3x1
3x2 x2
6x3 px3 1
x4 5x4
6 3
x1 5x2 10x3 12x4 t
4.2线性方程组有无解的判定
1
Q r ( A) = r ( A ) = 3, ∴ 原方程组有惟一解：x1 = −
λ
, x2 =
2
λ
, x3 =
λ −1 . λ
当λ
1 1 − 2 − 3 1 0 − 1 − 1 = −3 时， A → 0 − 3 3 6 → 0 1 − 1 − 2（行简化阶梯形矩阵） 0 0 0 0) 0 0 0 0
是否有解线性方程组的线性组合不是且表出方式不惟一的线性组合为何值时且表出方式惟一的线性组合为何值时的线性组合不能表为为何值时的线性组合不能表为方程组有惟一解故惟一线性表出为可由行简化阶梯形矩阵阶梯形矩阵方程组有无穷多解其一般解为且表出方式不惟一
§4.2 线性方程组有无解的判定 线性方程组的一般形式：
同解方程组为
5 5 x1 − x3 + x4 = 0 3 3 x + 7 x − 1 x = 1, 2 3 3 3 4
故一般解为
5 5 x1 = x3 − x4 3 3 ( x3 , x 4为自由未知量 ). x = 1− 7 x + 1 x , 3 4 2 3 3
1 −1 1 3 1 −1 2 −1 M 3 1 −1 2 −1 MM 3 →0 0 −5 2 −6 解（1） A = 4 −4 3 −2 M 6 → 0 0 −5 2 MM −6 = 4 1 −1 −3 1 M 1 0 0 −5 0 MM −2 0 0 0 2 （阶梯形矩阵）
⇔ r ( A) = r ( A ) = n,
有无穷多解 ⇔ r ( A) = r ( A ) < n.
解线性方程组的步骤： （1）利用矩阵的初等行变换将方程组的增广矩阵化 为阶梯形矩阵，判断是否有解. （2）有解时，继续利用矩阵的初等行变换将阶梯形 矩阵化为行简化阶梯形矩阵. （3）根据行简化阶梯形矩阵，写出方程组的解.
线性方程组的解的性质与判定
线性方程组解的性质与判定在控制系统中的应用，可以用于分析系统的稳定性。 通过线性方程组解的性质与判定，可以确定控制系统的响应时间，优化控制效果。 在控制工程中，线性方程组解的性质与判定可以用于设计控制器，提高系统的性能指标。 在处理复杂控制系统时，线性方程组解的性质与判定能够提供有效的解决方案，简化计算过程。
逻辑回归模型：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳分类边界，实现分类任务。
支持向量机：利用线性方程组解的性质与判定，找到支持向量，实现分类和回归任务。
决策树和随机森林：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳划分标准，构建决策树和随机 森林模型。
PART FOUR
线性方程组解的性质与判定的研究历史 当前研究的主要方向和重点 近年来的重要研究成果和突破 未来研究展望和挑战
近年来的研究热 点和重点
在各个领域的应 用情况
未来研究的发展 趋势和展望
深入研究线性方程组解的性质与判定的关系，为实际应用提供更准确的数学模型。 探索更高效的算法和计算方法，提高线性方程组求解的效率和精度。 结合人工智能和大数据技术，对大规模线性方程组进行高效求解和优化。 拓展线性方程组解的性质与判定的应用领域，如物理、工程、经济等领域。
汇报人：XX
线性方程组解的 性质与判定可用 于数据清洗，识 别异常值和缺失 值。
在数据分析中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于确定数据分布 和趋势。
在机器学习中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于特征选择和降 维处理。
在数据预测中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于建立预测模型 和优化算法。
线性回归模型：利用线性方程组解的性质与判定，确定最佳拟合直线，提高预测精度。
02
注意事项：在使用系数矩阵判定法时，需要注意 计算秩的正确性和准确性，以避免误判。
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定是一个重要的数学问题，它涉及到对一组未知量的求解。
解的判定问题的主要内容如下：
1. 系数矩阵存在不等式：在求解线性方程组时，首先要判断系数矩阵是否存在不等式，即是否存在元素值为负的情况：若存在，则解不存在；如果全部元素值都不为负，则判定解存在。
2. 是否存在无穷解：通常情况下，一个线性方程组只有唯一解，即只有一组解。
但也有可能存在无穷多解，即系数矩阵存在元素值全为0，此时解可以是任意一组数，因此可以判定存在无穷解。
3. 闭解的确定：当系数矩阵存在不等式或存在元素值全为0时，可以判定存在无穷解；当系数矩阵存在唯一解时，需要通过计算、符号识别和几何意义的结合，来确定具体的闭解。
4. 压缩可行性：压缩可行性判定法是指将求解所求出来的解，压缩在基本解所构成的空间上，以便表达出更复杂的结果。
5. 方程式系数：也可以通过方程式系数的分析，来判定方程组的解的存在与否，这是一种常用的判定方法。
从上述内容可以看到，线性方程组解的判定是一个复杂的数学问题，要想判断线性方程组的解的存在性，需要结合不等式判定、无穷解判定、压缩可行性判定以及方程式系数等步骤，一步步进行判断，才能正确地确定某个线性方程组的解的存在性。
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第四节 线性方程组解的判定
从本节开始,讨论含有n 个未知量、m 个方程的线性方程组的解.
11112211211222221122n n n n m m mn n m
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=
⎩ (13—2） 主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解?有解时解有多少?如何求出方程组的解。
线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。
因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具,将带来极大的方便。
方程组（13-2)中各未知量的系数组成的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
称为方程组（13-2）的系数矩阵.由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A ，即
11121121
222212n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
方程组(13-2)中的未知量组成一个n 行、1列的矩阵（或列向量）,记作X ；常数项组成一个m 行、1列
的矩阵（或列向量），记作b ，即12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12m b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由矩阵运算,方程组（13—2)实际上是如下关系111212122212
n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
即 AX=b
2 /
3 如果令112111m a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,122222m a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,…，12n n n mn a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则方程组(13-2）的向量形式为1122n n a x a x a x b +++=
定理1 (有解判定定理)方程级（13-2）有解的充分必要条件是：秩(A)=秩（A ）
推论1 线性方程组(13—2）有惟一的充分必要条件是r （A ）=r(A ）=n 。
推论2 线性方程组（13-2）有无穷多解的充分必要条件是r(A ）=r(A ）<n.
例1 判断下列方程组是否有解？若有解,是有惟一解还是有无穷多解？
（1） 1231231
2331334591x x x x x x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ （2）123123123
31334590x x x x x x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ (3）123
123
12
331334580x x x x x x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩ 解 （1）113111311131313404610461159104600001A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以秩（A ）=3，秩(A ）=2；秩（A)≠秩（A ），故方程组无解。
（2）113111313134046115900000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
秩（A ）=秩（A ）=2〈n （=3），故方程组有无穷多解。
（3)113111313134046115800010A --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
秩(A ）=秩(A)=3=n ，故方程组有惟一解。
3 / 3 方程组（13-2）12,,,m b b b 全为零时,称为齐次线性方程组。
即
111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (13-3） 其矩阵形式为AX=0
对齐次线性方程组（13—3）而言，显然，其增广矩阵A 的秩与系数矩阵A 的秩相等,即秩（A ）=秩（A)，由定理1可知它总是有解的。
比如120n x x x ====就是方程组（13—3）的一个解，常称之为零解。
但所关心的是方程组（13—3）在何条件下有非零解.
将推论1及推论2应用到齐次线性方程组(13—3)上,得到以下结论。
推论3 齐次线性方程组（13—3）只有零解的充分必要条件是r(A)=n 。
推论4 齐次线性方程组（13—3)有非零解的充分必要条件是r(A)<n.
例2 试问线性方程组123123123
0200x x x x x x x x x λ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 当λ取何值时有非零解.
解 方程组为齐次线性方程组，对其系数矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵
12111
112101011001A λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
当λ－1=0,即λ=1时, r （A ）=2<n(=3）,由推论4,该方程组有非零解.
学生板演巩固练习：1。
2.3.4。
总结归纳：通过本节的学习，能对线性方程组解的的情况作出准确判定.
课外作业：习题1。
2。
3。