4.1 线性方程组有解的条件
线性代数第04章 线性方程组
2x3 0, x3 0,
6x1 x2 4x3 0,
方程组的系数矩阵
4 1 2 1 0 1
A2
1
0
1
0
1
2
6 1 4 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
x3, 2x3,
x3 x3,
令 x3 k ，得通解
x1 1
x2
k
2
x3 1
(k R)
8 7
1
6 1
,
2
5 0
0
1
故方程组的通解为
x k11 k22 (k1, k2 R)
例2 求齐次线性方程组
x1 x2 5x3 x4 0,
x1 x2 2x3 3x4 3x1 x2 8x3 x4
0, 0,
x1 3x2 9x3 7x4 0
x1 x2
8x3 6x3
7 x4 5x4
0, 0,
即
x1 x2
8x3 7x4, 6x3 5x4
,
（ x3, x4 为自由未知数）(1)
，
令
x3 x4
1 0
,
0 1
，代入 (1) ，得
x1 x2
8 6
,
7 5
从而得到一个基础解系为
3xx1125xx22
, 0,
4x1 5x2 2x3 3x4 0
的一个基础解系和通解．
解 将系数矩阵 A 施行初等行变换，化其为行最 简形矩阵
1 2 4 3 1 0 8 7
A
3 4
5 5
6 2
4 3
0 0
1 0
6 0
05
R(A) 2 4，基础解系由两个线性无关的解构 成．与原方程组同解的方程组为
线性代数及其应用第5节线性方程组的解
x1
c1,r1
c1n
d1
xr
xr1
k1
cr,r1
1
knr
crn
0
dr
0
xn
0
1
0
可表示线性方程组的任一解，称之为线性方程组
的通解.
下面我们利用线性方程组有解的判别定理研究 线性方程组的解法．
由定理8的证明过程易得线性方程组的求解步 骤，现归纳如下：
Step1 对于非齐次线性方程组，把它的增广 矩阵 B 化成行阶梯形矩阵，从中可同时看出 R(A) 和R(B) . 若 R(A) < R(B) ，则方程组无解.
Step2 若 R(A) = R(B) ，则进一步把 B 化成行 最简形矩阵. 而对于齐次线性方程组，则把系数矩 阵 A化成行最简形矩阵.
0 1 2 2 6 3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
b
a
2
例14 求下列齐次线性方程组的通解
x1 x2 x3 4x4 3x5 0,
2x1x1xx2 233xx3 352x4x45xx55
0, 0,
3x1 x2 5x3 6x4 7x5 0.
解
本若请本本若若请请本若请节想本单若请节节想想本单单若请节想本单若内请结节击想本单若内内请结结节击击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容容单若束束内请返返结节击想本容单若束内请返结节已击想本本容单若回束内请返结节已已击想本 本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内结结请返结堂 堂节已击想按 按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂节已击想按本本容束束单若回束课 课内结请返结钮 钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结本钮堂若节已击想按本,请本 本 本容束单若 若 若回束课.内结!请 请 请返结钮堂节已击想按本,,容束单回束课..内结!!返结钮堂节已击想按本,容束单回束节课.想内结!返结钮堂单节 节节已击想 想 想按本,容束单 单单回束课.内结!返结钮堂已击按本,容束回束课.内结!返结钮堂已击按本内,结容束回束课.击内 内内!结返结 结 结钮堂已击 击击按本,容束回束.课结!返钮堂已按本,容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容容 容束回束 束 束课.结!返返 返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已已按本本本,束回 回回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,结堂束课.按结结结!钮堂堂堂按按按,束课.!钮,束课.!钮束课,钮束束束课课课.!钮钮钮,.!,.,!.,,,!...!!!
(完整版)线性代数第四章线性方程组(自考经管类原创)
知识结构
线性方程组
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
4.1 齐次线性方程组
2
1.齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2 a2n xn
0
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
求齐次线性方程组通解的方法
（1）将系数矩阵A进行初等行变为行最简形矩阵T （2）写出Ax=0的同解方程组Tx=0 （3）确定自由未知量（n-r个），并用自由未知量表示其他未知量 （4）依次令其中某个自由未知量为1，其他自由未知量为0，求相 应的特殊解，那么基础解系即为所有特殊解的全体 （5）特殊解的线性组合即为通解，此处写明组合系数为任意实数
下面给出非齐次线性方程组解的性质
(1)设x 1及x 2都是Ax b的解,则x 1 2为对应的齐次方程Ax 0的解.
证明 A1 b, A2 b
A1 2 b b 0.
即x 1 2满足方程Ax 0.
(2) 设x 是方程 Ax b的解, x 是方程 Ax 0的解,则x 仍是方程 Ax b 的解.
a21x1 LLL
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
简写成矩阵形式AX=b，其中
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
例1 判断t为何值时，方程组无解
-x1 4x2 x3 1 tx2 3x3 3
01线性方程组有解的条件
1 1 B ~ 0 1 0 0
1 2
1
1 2 1 1
2
2
1 1 当 1时, B ~ 0 1 1 0 0 2
2 1 2
定理6 矩阵方程Am×nXn×l=O只有零解的充要条件
是R(A)=n. R(A)=n
Amn Bnl AmnCnl
Bnl Cnl
四、小结
齐次线性方程组 Ax 0
R A n Ax 0只有零解;
R A n Ax 0有非零解.
非齐次线性方程组 Ax b RA RB n Ax b有唯一解;
2
2
1 1 当 1时, B ~ 0 1 1 0 0 2
2 1 2
这时又分两种情形：
1) 2时, R A R B 3, 方程组有唯一解:
1 1 1 x1 , x2 , x3 . 2 2 2
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 1. 线性方程组 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm x1 b1 b2 x2 系数矩阵为 A (aij ) , x , b , x b n n 线性方程组可记为： Ax b
R A R B 3, 方程组有无穷多解 .
x1 1 c1 c2 其通解为 x c 2 1 x c 2 3
c1 , c2为任意实数 .
1 1 B ~ 0 1 0 0
线性方程组有解的条件
线性方程组有解的条件
R(A)=R(AB)=n是线性方程组有解的充要条件，齐次方程组有唯一零解的充要条件是系数行列式的值为0，不为0就有无穷多解。
线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。
齐次线性方程组求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
1、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解。
线性方程组有解的判定条件
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 B =3
−2 −1
3 5
−1 −3
1 2
r2 r3
− −
2r1r1
1 0
−2 5
3 −4
−1 0
1 − 1
2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 05 −04 0 12
显然，R( A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
λx1 + x2 x1 + λx2
+ +
x3 x3
= =
1
λ
x1 + x2 + λx3 = λ2
问λ取何值时,有解?有无穷多个解 ?
解 对增广矩阵 B = ( A,b) 作初等行变换，
λ 1 1 1 1 1 λ λ2
B=1 λ 1 λ ~1 λ 1 λ
1
1λ
λ2
λ
1
1
1
1 1
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax = b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R(A) < n.
证 必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解，
设R(A) = n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
线性代数概要2
第四章线性方程组一．线性方程组的各种表达形式及相关概念二．基础解系的概念及其求法三．齐次方程组有非零解的判定定理4.1设A是m×n矩阵，齐次方程组Ax=0有非零解的充要条件是r（A）<n，即A的列向量线性相关定理4.3 Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数小于未知数个数四．非齐次线性方程组有解的判定设A是m×n矩阵，线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩，即Or b可由A的列向量线性表出Or 与是等价向量组注意！！Ax=b有唯一解，则Ax=0只有零解Ax=0只有零解是，Ax=b可能无解，也可能只有唯一解五．非齐次线性方程组解的结构六．线性方程组解的性质1.如果是Ax=b的两个解，则是Ax=0的解2.如果是Ax=0的两个解，则其线性组合仍是Ax=0的解3.如果是Ax=b的解，是Ax=0的解，则仍是Ax=b的解题型一线性方程组解的基本概念注意！！！基础解系一定线性无关题型二线性方程组求解题型三含有参数的方程组解的讨论题型四关于线性方程组公共解、同解问题解法：1.将两个方程组联立后的方程组求解，所得解为公共解2.把一个方程组的解带入另一个方程组3.两个方程的基础解系都知道时，令两个解系相等，解方程组题型五有关基础解系的证明要证是Ax=0的基础解系，应证明三点：1. 是Ax=0的解；2. 线性无关；3.解向量个数t=n-r（A）或可表示Ax=0的任一解题型六有关线性方程组的证明题第五章矩阵的特征值与特征向量一．矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法1. 注意！！！特征向量是非零向量——在证明题中常用2. 特别的，0是A的特征值|A|=0 A不可逆。
Ax=0的基础解系就是λ=0的线性无关的特征向量3.若r（A）=1则|λE-A|=可见，若r（A）=1，则A的n个特征值是4.特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A的行列式的值，即5.n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值6.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是，他的任意特征值均布等于07.若λ是矩阵A的特征值，则对任何正整数k，是的特征值二．相似矩阵的概念与性质设A、B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P，使，则称矩阵A与B相似，记为1.相似矩阵的性质，如①②③④注意！！这些都只是必要条件2.3.4.5.三．矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤1. 矩阵可相似对角化的充分必要条件（1）A有n个线性无关的特征向量（2）对于矩阵A的每一个重特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数，即秩2.A与对角矩阵相似的充分条件（1）A有n个不同的特征值；（2）A是实对称矩阵3.【解题步骤】第一步先求出A的特征值第二步再求所对应的线性无关的特征向量第三步构造可逆矩阵4.实对称矩阵的特性（1）实对称矩阵必可对角化（2）特征值全是实数，特征向量都是实向量（3）不同特征值的特征向量相互正交（4）重特征值必有个线性无关的特征向量，或者说必有5.用正交矩阵化A为相似标准形的解题步骤注意！！（1）当A的特征值互不相同是，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵P（2）当特征值有重根时，要检查特征向量是否正交，否则必须对的特征向量用Schmidt正交化方法处理，才能构造出正交矩阵P（3）仅实对称矩阵才能用正交变换化为对角形！！题型一求矩阵的特征值和特征向量解题思路：（1）有|λE-A|=0求特征值，再由（λE-A）x=0求得基础解系得特征向量（2）用定义法（3）用相似题型二 n阶矩阵A能否相似对角化的判定解题思路：先求特征值，若特征值不同，则；若特征值有重根，则求秩r（λE-A），检查n-r（λE-A）= ？题型三求相似时的可逆矩阵解题思路：如果，那么求出矩阵A的线性无关的特征向量就可构成可逆矩阵P题型四求矩阵A中的参数题型五用特征值和特征向量反求矩阵A题型六相似对角化的应用——求题型七有关实对称矩阵的问题题型八有关特征值与特征向量的证明第六章二次型一．二次型的概念及其标准形1.二次型的概念2.二次型的标准形注意！！正交变换化二次型为标准形时，标准形中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性3.二次型的规范形二．正定二次型与正定矩阵1.二次型正定的充分必要条件定理6.3 n元二次型正定的正惯性指数p=nA与E合同，即有可逆矩阵C，使A的所有特征值全大于零A的顺序主子式全大于零存在可逆矩阵C，使得注意！！正定的必要条件——三．合同矩阵1.概念：两个n阶实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵C，使得，则称矩阵A和B合同，记作2．两个矩阵合同的充分必要条件：实对称矩阵的充要条件是，二次型与有相同的正、负惯性指数3.两矩阵合同的充分条件——两矩阵合同的必要条件——题型一有关二次型基本概念的问题题型二化二次型为标准形【解题思路】1．用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为：第一步，把二次型表示为矩阵形式第二步，求A的特征值及相应的特征向量(当时，最好检验所求是否正交第三步，若特征值有重根，则对重根所求的特征向量要注意，若不正交，则需用Schmidt 正交化第四步，把特征向量单位化为第五步，构造正交矩阵第六步，令x=Cy，得2.用配方法化二次型为标准形注意！！如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设，则可令经此坐标变换，二次型中出现后，再配方题型三判别或证明二次型的正定性【常用思路】（1）用定义（2）正惯性指数p=n（3）顺序主子式全大于0（4）特征值全大于0注意！！！正定的必要条件可帮助排除非正定的二次型题型四合同矩阵。
线性方程组有解的判定条件
非齐次线性方程组 Ax b RA RB n Ax b有唯一解;
RA RB n Ax b有无穷多解.
思考题
讨论线性方程组 x1 x 2 2 x 3 3 x 4 1, x 1 3 x 2 6 x 3 x 4 3, 3 x1 - x 2 - p x 3 15 x 4 3, x1 - 5 x 2 - 10 x 3 12 x 4 t 当p, t取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解? 在方程组有无穷多解的 情 况下, 求出一般解.
例５ 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时, 有解? 有无穷多个解?
解 对增广矩阵 B ( A, b) 作初等行变换，
B 1 1
1
1 1
1
1 1 ~1 2
其余 n - r个作为自由未知量, 并令 n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
定义：含有个参数的方 程组的任一解，称为线 性 方程组的通解．
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩，
讨论线性方程组 Ax b 的解．
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R A n.
证 必要性. 设方程组元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
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(1) 0, 3, R( A) R(B) 3, 方程组有唯一解； 故： (2) 0, R( A) 1, R(B) 2, 方程组无解；
(３) 3, R( A) R(B) 2, 方程组有无限多个解。
1 1 2 3 1 0 1 1
此时
B
r
0
3
3
6
r
0
1
1
2
,
0 0 0 0 0 0 0 0
x1 1 1 1 2
x2 x3
c1
1
0
c2
0
2
0
1 2
, c1
, c2
R.
x4 0 1 0
例4
对于线性方程组
(1 x1
)
(1
x1
)
x2 x2
x3 x3
0, 3,
书本P112,T6
x1 x2 (1 )x3 ,
问取何值时,有解?有无穷多个解? 并求无穷多解的通解。
c1n d1
c2n
d2
M M
crn
dr
0 0
d
r 1
0
M M
0 0
初等变换不改变矩阵的秩，故有：R( A) R( A) r,
增广矩阵B 通过初等行 变换化为阶
梯型矩阵B
R(B)
R(B)
r, r
1,
当dr1 0, 当dr1 0.
故：
方程组(1)有解的充分必要条件为 dr1 0 ，此时R(A)=R(B)。
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
21
4 3
c2
,
x3 c1,
x4
c2 ,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 2 1 0
c2
3 4
3 0
1
,
c1
,
c2
R.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3 x4
1, 2,
2x1 x2 2x3 2x4 3.
解 对增广矩阵B进行初等变换化成行阶梯形，
1 2 3 1 1 B 3 1 5 3 2
r
2 1 2 2 3
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
推论2 R( A) n A 0 Ax 0只有零解 Ax b有唯一解
注：R( A) n时，一定有R(A,b)=R(A)=n
二、线性方程组的求解方法
齐次线性方程组：将系数矩阵化成行最简形矩 阵，便可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
Amn x b
（2）
如何利用系数矩阵A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
定理1 线性方程组(1)有解的充分必要条件是R(A)=R(B). 其中又分为两种情况：
1o 有唯一解 R A R B n
2o有无穷多解 R A RB n
若方程组(1) 无解 R A RB
例1
求解齐次线性方程组
x1 2
2x2 2x3 x4 x1 x2 2 x3 2
x4
0
0
.
x1 x2 4x3 3x4 0
解：对系数矩阵A进行初等行变换，有：
1 2 2 1
A
2 1
1 1
2 4
2 3
r2 2r1 r3 r1
1 2 2 1 0 3 6 4 0 3 6 4
00
LL
00
（2）
其中 cii 0, i 1, 2,L , r. 恒等式“0=0” 可能出现（或不出现）。
此时(2)对应的增广矩阵为：
c11 c12 L
系数矩阵A通过 初等行变换化为
0
c22 L
阶梯型矩阵
A
B
M 0
M 0L
0 0 L
0
0L
M M 0 0 L
c1r L c2r L M crr L 0L 0L M 0L
解 对增广矩阵 B ( A,b) 作初等行变换，
1
B
1
1
1
1
1
1 1
1
0
3
1
r3 r1
1
r3 (r1 r2 ) 3
1
1 3
1
1
3
3
3
1 1 1
r2 r1
r3 (3 )r1
0
0
0
(3 )
3
(1 )(3 )
1 1 1
0
3
0 0 (3 ) (1 )(3 )
通解
x1 x2
x3 x3
1
2
即
x1 x2 x3
1
c
1
1
1
2
,(c
0
R)
思考：此题系数矩阵为方阵，还有无其他求解方法？？？
另一种解法：(推荐)
线性方程组的系数行列式为:
1 1 A 1 1
11
根据克拉默法则，有:
1
1 2(3 ) 1
(1) 0, 且 3, R( A) R(B) 3, 方程组有唯一解；
例３
求解非齐次方程组
x1 x1
x2 x2
x3 x3
x4 0 3x4 1
.
x1 x2 2x3 3x4 1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 1 1 1 0 r B 1 1 1 3 1
1 1 2 3 1 2
1 1 0 1 1/ 2
0
0
1
2
1
2
0 0 0 0 0
1
r3 r2
0
r2 (3)
0
2 1 0
2 2 0
1 4
3
0
r1
2r2
1
0 0
0 1 0
2 2 0
5/ 3
4/3 0
即得与原方程组同解的方程组
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
2
x3
4 3
x4
,
(
x1
x2
x3 ,
2 x3
5 3
x4
0,
2 x3
4 3
x4
0,
x4 可任意取值).
若R(A)<n时，Ax=0有无穷多组解，此时称为非零解。 定理2 齐次线性方程组 Amn x 0, 解的情况和条件 分别为：
1.只有唯一零解 R A n
2. 有非零解 R A n
特别地，若A为方阵，即m=n时，有：
推论1 R( A) n A 0 Ax 0有非零解 Ax b无解或有无穷多解
第四章 线性方程组的理论
线性方程组有解的条件 线性相关性的理论 线性方程组解的结构
第一节 线性方程组有解的条件
一、线性方程组有解的判定条件
在第一章已用消元法讨论线性方程组
（1）
的求解问题.
如果方程组有解,称(1)是相容的, 如果方程组无解,称(1)不相容.
第三章中(1) 式写成以向量 x 为未知元的方程
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x3
x2 x4 2x4 1
1 2
2
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
令 x2 c1 , x4 c2，方程的通解可写为：
c22 x2 L c2r xr L c2n xn d2
LLLL
crr xr L crn xn dr
00
00
LL
00
方程组有无穷多解，其中自由变化未知量有n-r个。
综上所述，原命题得证。
称Ax 0为Ax b所对应的齐次线性方程组
或导出组(derived system )
对于齐次线性方程组Ax=0，至少有一个零解。
证明：在第一章中，我们已经证明，不失一般性， 线性方程组(1)经过初等变换化成如下阶梯形方程组：
c11 x1 c12 x2 c1r xr L c1n xn d1
c22 x2 L c2r xr L c2n xn d2
LLLL
crr xr L crn xn dr
0 dr1
当R(A)=R(B)=r=n时，此时方程组变为：
c11 x1 c12 x2 L c1n xn d1
c22 x2 L L c2n xn d2
LLLL
cnn xn dn
00
M
00
方程组有唯一解；
当R(A)=R(B)=r<n时，此时方程组为：
c11 x1 c12 x2 c1r xr L c1n xn d1
课后思考题：
√ √
(2) 0,=-3 分别代入到原方程组，
求解方法同前。
定理3 矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是 R(A ) = R(A,B ) .
例5 设C=AB，则 R(C) min{R( A), R(B)}. 证明： AB C, 即AX C有解X B.
根据定理3，有R( A) R( A,C ) 而R(C ) R( A,C ), 因此R(C ) R( A). 再由AB C ,得BT AT C T , 即BT X CT有解X AT . 根据定理3，有R(BT ) R(BT ,CT ) 而R(CT ) R(BT ,CT ), 因此R(C ) R(B). 综上，原命题得证。