线性方程组有解的充要条件
3.4 线性方程组的解(教案)
【思考】解法1和解法2的比较？（比较发现，解法2较解法1简 单，但解法2只适合于系数矩阵为方阵时的情形。）
由定理1容易得到下面的定理2和定理3，将线性方程组推广到 矩阵方程，又可以得到下面的定理4。
定理2 线性方程组有解的充分必要条件是。 定理3 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。 例4 （自学P72 例10）
定理4 矩阵方程有解的充分必要条件是。
证明：设为矩阵，设为矩阵，设为矩阵，把和按列分块，记为，则 矩阵方程等价于个向量方程。
（1）充分性：设，由于
∴。 由上面的定理2的结论知都有解，故矩阵方程有解。 （2）必要性：矩阵方程 有解，则都有解，设它们的解分别为 记，其中是矩阵的列向量，则有 对矩阵 作初等列变换可以把的第列都变成了0向量，即， 证
解法1 对增广矩阵无解； （3）当，方程组有无数解，这时 由此得到： 设，方程组的全部解可以表示为：
解法2 由于系数矩阵为3阶方阵，则，则方程组有唯一解 的充要条件是，则
，则有 （1）当且时，方程组有唯一解。 （2）当时
此时，故方程组无解。 （3）当时
（1）线性方程组求解； （2）线性方程组解的判定。 【教学手段】 讲授 【知识回顾】 前面学习了矩阵的初等变换以及对矩阵施以初等变换与左乘、右乘 可逆矩阵的关系，从而给出了矩阵逆的新的计算方法，然后学习了矩阵 秩的概念和求法。矩阵的秩是矩阵在初等变换过程中的一个不变量，体 现了矩阵的某些内在的特性，有重要的意义和应用价值，本节将讨论矩 阵的秩在线性方程组解的问题上的应用。将给出线性方程组解的判定方 法以及在有解情况下解的表示。 【教学内容】
（ⅲ）有解的情况下，表示出解（特别对于有无数解的情 形）。
4.2线性方程组有无解的判定
=1 =2 =3 = −1.
3
M
2 −3 3 2 0 3 0 −3
3−7 1 1 M M2 −3 7 3 −1 1 M M3 2 = （阶梯形矩阵） 0 7 0 −1 M0 3 M 0−7 0 1 M M0 −3
5 3 1 − 3 0 0
M 0 M 1 = C （行简化阶梯形矩阵） M 0 M 0
β = (−2 x3 + x4 )α1 + ( x3 − 2 x4 + 1)α 2 + x3α 3 + x4α 4 ( x3 , x4为任意常数 ).
练习：线性方程组 x1 − x2 = a1 x − x = a 2 2 3 x3 − x4 = a3 x − x = a 4 4 5 x5 − x1 = a5 有解的充要条件是a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0，并在有解时求其一般解。 ，并在有解时求其一般解。
0 2 − 1 0 1 − 1 2 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0
（阶梯形矩阵） （行简化阶梯形矩阵）
Q r ( A) = r ( A ) = 2 < 4 = n,∴ 方程组有无穷多解，其一般解为
x1 = −2 x3 + x4 ( x3 , x4为自由未知量). x2 = x3 − 2 x4 + 1 故β 可由α1 , α 2 , α 3 , α 4线性表出, 且表出方式不惟一：
例4.2.3 当λ为何值时，线性方程组
+ x2 + x3 = 0 (1 + λ ) x1 x1 + (1 + λ ) x2 + x3 = 3 x1 + x2 + (1 + λ ) x3 = λ 有解？并求其解。
线性代数重要知识点典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
线性代数知识点总结
一、行列式1.排列：由个不同数码1,2，……，组成的有序数组12……n。
2.逆序：在一个级排列12……n中，如果有较大的数t排在较小的数s前面，则称与构成一个逆序。
一个级排列中逆序的总数称为它的逆序数，逆序数是奇数称为奇排列，是偶数或0称为偶排列。
3.定理1：任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。
定理2：个数码（>1）共有！个级排列，其中奇偶排列各占一半。
4.用2个元素(=1,2, ……)组成的记号称为阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列。
称为第行第列的元素，阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的个元素乘积的代数和，一般项可以写为其中12…n 构成一个级排列，当12…n取遍所有的级排列时，则得到阶行列式表示的代数和中所有的项。
5.主对角线：行列式中从左上角到右下角的对角线。
6.主对角线右上方元素全为0的行列式为下三角行列式，左下方元素全为0为上三角行列式，主对角线左上方和右上方元素全为0，主对角线上元素不全为0的行列式为对角行列式，它们的值均等于主对角线上元素的乘积。
7.行列式性质1 行列式转置，值不变，即D T=D8.性质2 交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即D1=D。
9.性质3 用数乘行列式的某一行（列），等于数乘此行列式 ,即D1=D。
10.性质4 若将行列式中某一行（列）的每一个元素写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即D=D1+D211.推论：①若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值为0。
②若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式值为0。
③若行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可提到行列式外面。
④将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式值不变。
12.余子式M:在阶行列式D=||中去掉元素所在的第行第列后，余下的-1阶行列式。
4.1 线性方程组有解的条件
(1) 0, 3, R( A) R(B) 3, 方程组有唯一解； 故： (2) 0, R( A) 1, R(B) 2, 方程组无解；
(３) 3, R( A) R(B) 2, 方程组有无限多个解。
1 1 2 3 1 0 1 1
此时
B
r
0
3
3
6
r
0
1
1
2
,
0 0 0 0 0 0 0 0
x1 1 1 1 2
x2 x3
c1
1
0
c2
0
2
0
1 2
, c1
, c2
R.
x4 0 1 0
例4
对于线性方程组
(1 x1
)
(1
x1
)
x2 x2
x3 x3
0, 3,
书本P112,T6
x1 x2 (1 )x3 ,
问取何值时,有解?有无穷多个解? 并求无穷多解的通解。
c1n d1
c2n
d2
M M
crn
dr
0 0
d
r 1
0
M M
0 0
初等变换不改变矩阵的秩，故有：R( A) R( A) r,
增广矩阵B 通过初等行 变换化为阶
梯型矩阵B
R(B)
R(B)
r, r
1,
当dr1 0, 当dr1 0.
故：
方程组(1)有解的充分必要条件为 dr1 0 ，此时R(A)=R(B)。
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
21
4 3
c2
,
x3 c1,
x4
c2 ,
5
线性代数重要知识点和典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
3.2矩阵的秩与线性方程组有解的判定
2
5
4、 设 n 阶可逆矩阵 A，
A 0, A的最高阶非零子式为 A ,
R( A) n, 故 A的标准形为单位阵 , A ~ E . E
可逆矩阵的秩等于其阶 数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵.
一般地，若R( A) min(m , n), 则称A为满秩矩阵 , 若R( A) min(m , n), 则称A为降秩矩阵 .
1) 无解的充要条件R( A) R A, b ; 2) 有唯一解的充要条件R( A) R A, b n ;
3) 有无穷多解的充要条件 ( A) R A, b n . R
RA RB Ax b无解
RA RB n Ax b有唯一解
一矩阵秩的概念二矩阵秩的求法数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵称为矩阵阶行列式中所处的位置次序而得变它们在不改元素阵的秩等于零并规定零矩的秩记作称为矩阵的最高阶非零子式数称为矩阵那末全等阶子式如果存在的话且所有中有一个不等于设在矩阵定义子式的最高阶数中不等于零的显然有显然有
R( A) 2.
1 例2 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 0 1 5
计算A的3阶子式，
1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 , 0 2 1 00 2 3 2 , 1 3 0, 1 3 0, 0 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
例2 另解
1 3 2 2 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A,b
a21
a22
a2n
b2
am1 am2 amn bm
称之为线性方程组 5.1的
增广矩阵
augmented matrix
齐次方程组的三种不同的表达形式分别为:
a11x1 a12x2 a1nxn 0
a2 1x1 a2 2x 2 a2 nx n 0
5.4
am1x1 am2x2 amnxn 0
❖（2）向量 b 能由向量组 1,2, ,n 线性表示；
❖（3）向量组1,2, ,n 与向量组1,2, ,n,b等价。
由方等程 价向组量有组解 的性质,立刻有以下结论: 【 定理向5量 .1】组 1， 非齐2， 次线n与 性方1，程2组， (5.n1， )有b等 解的价充，要条件是 它 的向 系数量矩组 阵1，的2秩， 与增n与广1矩，阵2， 的秩n相，等b有,即相：同的秩
第五 章
线性方程组
linear equations
1
本章主要内容
1. 线性方程组的一般概念; 2.线性方程组有解的充要条件; 3.线性方程组解的结构; 4.用初等变换解线性方程组阵; 5.线性方程组的应用.
2
第一节 线性方程组有解的充要条件
本章将讨论的方程组比第一章利用克莱姆法则求解
的方程组更具有一般性，即方程的个数与未知量的个数
3
表示非齐次线性方程组的其他形称式之：为线性
a11
令：
A
a21
a12 a1n
a22
a2n
方程组5.1的 系数矩阵
x
x1
x
2
b1
b
b
2
am1 am2 amn
x
n
b
m
为了便于研究，我们将线性方程组(5.1)表成矩阵形式：
Ax=b
5.2
a11
a12
a1n
若记矩阵A的列向量为:
R A R A b , [1，2， n]与[1，2， n，b]有相同的秩
即： RARA,b
8
【例5.1】判断下列方程组是否有解:
（1）
x1 2x2 3x3 x4 1
（2） 3x1 x2 5x3 3x4 2
2x1 x2 2x3 2x4 3
x1 x2 3x3 x4 1 3x1 x2 3x3 4x4 4 x1 5x2 9x3 8x4 0
（2）对增广矩阵施初等行变换，
1
BAb, 3
1 3 1 3
1 4
1 4
1 rr 32 r31r10
1 4
3 6
1 7
1
1 1 3 1 1
1 r3r20 4 6 7 1
1 5 9 8 0
0 4 6 7 1
0 0 0 0 0
由于R（A）=R（B）=2，故原方程组有解.
注意(1)说明有矛盾方程，（2）没有矛盾方程
x 1 ξ1 ,2 x ξ2 , ,n x ξn是方程组(5.1)的解
3.
ξ 1
1.
x
ξ
2
是方程组(5.2)的解向量
ξ
n
2.
向量 b由向量组 1, 2, , n 线性表示的系数为：
x1ξ1,x 2ξ2, x 3 ξ3 ,n x ξn
7
非齐次线性方程组解的条件 对于非齐次线性方程组5.1，以下三种提法是等价的： ❖（1）方程组有解；
不一定相等，即使相等，方程组的系数行列式也不一定
不为零。
一般的线性方程组概念：
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a2 1x1 a2 2x2 a2nxnb2 am1x1 am2x2 amnxn bm
注意：m和n不一 定相等！！！
(5.1)
若b1=b2=…=bm=0,则称方程组5.1为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.
1
a21
,2
a22,,n
a2n
注：则5.由1、分5块.21、矩x ,1 5阵.1 23的式, 乘x 是2 法,同2 ,一方n 线程 a性组xxm1 12方(5x .程n 2)又组n ba可的 m2表b 不 成同以表下示5.3形形am式式n:！
x
n
4
a11 a12 a1n b1
【解】
（1）对增广矩阵施行初等行变换，
1 2 3 1 1 r23r1
BAb, 3 1 5 3 2 r32r1
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1
r3r2
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1
2 1 2 2 3
0 5 4 0 1
0 0 0 0 2
由此知R（A）=2，R（B）=3，故方程组无解.
Ax0 5.5
x 11 x 22 x nn 05.6
5
方程组的解 若将 x 1 ξ 1 ,2 x ξ 2 , ,n x ξ n代入方程组后 方程组中的每一个方程都成为恒等式，则称 x1ξ1,x 2ξ2, x 3 ξ 3 ,n x ξ n为方程组的一组解。
因此， 以下三种提法是等价的：
10
141页（习题5- 1） 1）3）
11
ห้องสมุดไป่ตู้