3.3 线性方程组解的判定
线性方程组的解的判定
R(C) R(CT ) R(BT MCT ) R(BT ) R(B)
k
- 2 1 0
3 0 2
(k R).
有关矩阵秩的重要结论：
(1) 0 R( Amn ) minm, n
(2) 设矩阵Amn , 若 R( A) s 则存在可逆矩阵P,Q
使得
PAQ
Es o
o
o
即矩阵A可以经过初等变换化为
Es o
o
o
形式。
(3) 若 P,Q 都可逆，则 R( A) R(PA) R( AQ) R(PAQ)
1 - 1 0 - 1 1 2 ~ 0 0 1 - 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5
x4 a4 x5
x5为任意实数 .
定理3 矩阵方程AX B有解的充要条件是
R( A) R( AMB) 证：设 Ams X sn Bmn , 对X、B按列分块，得
X ( X1, X 2 ,L X n ), B (b1,b2 ,L bn ), 则AX B等价于A( X1, X2,L Xn ) (b1,b2,L bn )
(2)当p 2时,有
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0
1 0
2 0
-1 2
1 4
~
0 0
1 0
2 0
线性代数与概率论第3线性方程组
5 4
即方程组 的解为：
x1
1 4
,
x2
23 4
,
x3
5 4
【例2】解线性方程组：2x1x1 3xx22
5x3
0, 5,
x1 x2 4x3 3,
4x1 5x2 7x3 6.
4
2
0 0 1 3 1
0 0 0
1
0
1 0 0 0 1
0
1
0
0
2
0 0 1 0 1
0
0
0
1
0
于是得原方程组唯一的一组解：
x1=1，x2=2，x3=-1，x4=0. 根据第2章中利用初等行变换求矩阵的秩的 结论，上例中r(A）=r(B）=4，此组有解， 且有唯一解.显然，若r(A）<r(B)，则该线性 方程组无解
第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再 整理出方程组的一般解。
实际上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。
1、线性方程组AX = b的解的情况归纳如下：
(1.1)AX = b有唯一解 秩(A) 秩(A) n (1.2)AX = b有无穷多解 秩(A) 秩(A) n (1.3)AX = b无解 秩(A) 秩(A)
am1x1 am2 x2 amn xn 0.
的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为 非零解。
方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x1 c1, x2 c2,, xn cn. 也可记为：（c1, c2,, cn）
注意： 方程组的解可能有惟一解，也可能
3.4 线性方程组的解(教案)
【思考】解法1和解法2的比较？（比较发现，解法2较解法1简 单，但解法2只适合于系数矩阵为方阵时的情形。）
由定理1容易得到下面的定理2和定理3，将线性方程组推广到 矩阵方程，又可以得到下面的定理4。
定理2 线性方程组有解的充分必要条件是。 定理3 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。 例4 （自学P72 例10）
定理4 矩阵方程有解的充分必要条件是。
证明：设为矩阵，设为矩阵，设为矩阵，把和按列分块，记为，则 矩阵方程等价于个向量方程。
（1）充分性：设，由于
∴。 由上面的定理2的结论知都有解，故矩阵方程有解。 （2）必要性：矩阵方程 有解，则都有解，设它们的解分别为 记，其中是矩阵的列向量，则有 对矩阵 作初等列变换可以把的第列都变成了0向量，即， 证
解法1 对增广矩阵无解； （3）当，方程组有无数解，这时 由此得到： 设，方程组的全部解可以表示为：
解法2 由于系数矩阵为3阶方阵，则，则方程组有唯一解 的充要条件是，则
，则有 （1）当且时，方程组有唯一解。 （2）当时
此时，故方程组无解。 （3）当时
（1）线性方程组求解； （2）线性方程组解的判定。 【教学手段】 讲授 【知识回顾】 前面学习了矩阵的初等变换以及对矩阵施以初等变换与左乘、右乘 可逆矩阵的关系，从而给出了矩阵逆的新的计算方法，然后学习了矩阵 秩的概念和求法。矩阵的秩是矩阵在初等变换过程中的一个不变量，体 现了矩阵的某些内在的特性，有重要的意义和应用价值，本节将讨论矩 阵的秩在线性方程组解的问题上的应用。将给出线性方程组解的判定方 法以及在有解情况下解的表示。 【教学内容】
（ⅲ）有解的情况下，表示出解（特别对于有无数解的情 形）。
33线性方程组解判定
3.3 线性方程组解的判定在上一节中,我们利用实例讨论了线性方程组解的各种情况,分析以上解方程组的过程,可以得到用消元法解线性方程组的一般步骤：写出线性方程组（1）的增广矩阵.（一）设,否则,将的第1行与另一行交换,使第一行第一列的元素不为0.(二) 第一行乘以()再加到第行上(),使化成如下形式对这个矩阵的第二行到第行,再按以上步骤进行,最后可以得到如下形状的阶梯型矩阵其中注意到增广矩阵去掉最后一列就是系数矩阵，此时系数矩阵也经过同样初等行变换化为阶梯型矩阵.容易看出, 增广矩阵的秩与系数矩阵的秩.以下分析与之间的关系,确定方程组有解的充分条件.方程组(1)相应的阶梯型方程组为（2）其中从上节讨论可知,方程组(2)与原方程组(1)是同解方程组.由(2)可见,化为“”形式的方程是多余的方程，去掉它们不影响方程组的解.我们只需讨论阶梯型方程组(2)的解的各种情形,便可知道原方程组(1)的解的情形.根据初等变换不改变矩阵秩的性质,有显然,当方程组(2)中,,则(2)中的第个方程“”是矛盾方程，所以方程组(2)无解，从而原方程组(1)也无解.如果方程组(2)中,又有以下两种情况：1.当时，方程组（2）可以写成（3）因为，则满足：依据克莱姆法则，方程组有唯一解.对于上述等价方程组（3）的解，除了利用克莱姆法则求解外，我们还可以从方程组(3)的最后一个方程中解出,再回代到第个方程,求出.如此继续下去,则可求出未知量.(2)当时,方程组(2)可改写成(4)同样对它进行回代过程,则可求出含有个未知量的表达式(5)由此可见,任给个未知量的一组值,就可定出的值,从而得到(4)或(1)的一个解.如果取,其中为任意常数,则方程组(4)有如下无穷多组解：（6）这是（4）的无穷多解的一般形式，也是（1）的无穷多解的一般形式. 个未知量可称为自由未知量.以上解还可以表达为向量形式：=+++(5) 也称(5)式为方程组(1)的解向量.综上所述,可得线性方程组解的判定理论.定理1以为系数矩阵的元线性方程组,若记增广矩阵为,则。
线性方程组的解的 判定
线性方程组的解的判定
线性方程组的解的判定，是指对线性方程组的解进行判定，以确定其是否有解、是唯一解或者无解。
下面就来详细介绍线性方程组解的判定。
首先，我们来看一下线性方程组的定义：线性方程组是由一组线性方程组成的集合，并且每一个方程中变量的指数为1。
例如：2x + 3y = 5, 4x - 6y = 12.
对于线性方程组的解的判定，有三种常用的方法：
1. 通解法：通解法是求解线性方程组的一种常用方法，即令原方程组的所有方程式左端相加，右端相减，得到一个新的等式。
然后再将此等式化为标准形式，即将所有变量的系数变为正数，最后将方程组解为一个共同的标准型，从而得出线性方程组的解。
2. 秩的判定法：秩的判定法是根据矩阵的秩来判断线性方程组的解。
可以将线性方程组转换为矩阵形式，计算出矩阵的秩，然后根据矩阵的秩来判断线性方程组是否有解。
3. 间接判定法：间接判定法是一种在解线性方程组时，对方程组的解进行判定的一种方法。
这种方法既不求解方程组，也不求矩阵的秩，而是计算出方程组的系数矩阵的行列式，根据行列式的值来判定方程组是否有解，这
种方法的优点是求解简单易懂，但是缺点是计算量大，无法直接判断方程组是否有唯一解。
以上就是线性方程组解的判定的详细介绍，它是一种重要的数学解决问题的方法，可以有效地判定线性方程组的解是否有解，是唯一解或者无解，从而给出解决问题的有效方案。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
线性方程组的解的性质与判定
线性方程组解的性质与判定在控制系统中的应用，可以用于分析系统的稳定性。 通过线性方程组解的性质与判定，可以确定控制系统的响应时间，优化控制效果。 在控制工程中，线性方程组解的性质与判定可以用于设计控制器，提高系统的性能指标。 在处理复杂控制系统时，线性方程组解的性质与判定能够提供有效的解决方案，简化计算过程。
逻辑回归模型：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳分类边界，实现分类任务。
支持向量机：利用线性方程组解的性质与判定，找到支持向量，实现分类和回归任务。
决策树和随机森林：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳划分标准，构建决策树和随机 森林模型。
PART FOUR
线性方程组解的性质与判定的研究历史 当前研究的主要方向和重点 近年来的重要研究成果和突破 未来研究展望和挑战
近年来的研究热 点和重点
在各个领域的应 用情况
未来研究的发展 趋势和展望
深入研究线性方程组解的性质与判定的关系，为实际应用提供更准确的数学模型。 探索更高效的算法和计算方法，提高线性方程组求解的效率和精度。 结合人工智能和大数据技术，对大规模线性方程组进行高效求解和优化。 拓展线性方程组解的性质与判定的应用领域，如物理、工程、经济等领域。
汇报人：XX
线性方程组解的 性质与判定可用 于数据清洗，识 别异常值和缺失 值。
在数据分析中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于确定数据分布 和趋势。
在机器学习中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于特征选择和降 维处理。
在数据预测中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于建立预测模型 和优化算法。
线性回归模型：利用线性方程组解的性质与判定，确定最佳拟合直线，提高预测精度。
02
注意事项：在使用系数矩阵判定法时，需要注意 计算秩的正确性和准确性，以避免误判。
3-3线性代数
1 2 3 1 1 r2 3r1 1 2 3 1 1 r3 2r1 B = 3 1 5 3 2 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r3 r2 0 0 4 0 1 2 5 0
显然， 显然， R( A) = 2, R( B ) = 3,
故方程组无解． 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x2 x3 + x4 = 0 . x1 x2 + x3 3 x4 = 1 x x 2x + 3x = 1 2 1 2 3 4
解 对增广矩阵 进行初等变换 对增广矩阵B进行初等变换
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B = 1 1 1 3 1 ~ 0 0 2 4 1 1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
x1 1 0 1 2 x2 0 0 1 x = c1 0 + c2 2 + 1 2 . (c1 , c2 ∈ R ) 3 0 1 0 x 4
例4 解非齐次线性方程组
2 x1 + 4 x2 x3 = 7, 2 x2 2 x3 = 2, x + 2 x x = 2. 2 3 1
且 1 0 B~ 0 0 1 1 0 0 2 3 2 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 ~ 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 8 0 3 1 2 0 0
与原方程组同解的方程 组为
x1 = 8, x 2 + 2 x 3 = 3, x = 2, 4
(c1 , c2 ∈ R)
例２ 求解非齐次线性方程组 x1 2 x2 + 3 x3 x4 = 1, 3 x1 x2 + 5 x3 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x 2 x = 3. 1 2 3 4 解 对增广矩阵B进行初等变换， 对增广矩阵 进行初等变换， 进行初等变换
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消元法解线性方程组的一般步骤：
）的增广矩阵.
（一）设,将的第
()再加到第行上(),使化成如下形式对这个矩阵的第二行到第行
其中
注意到增广矩阵去掉最后一列就是系数矩阵，此时系数矩阵也经过同样初等行变换化为阶
增广矩阵的秩与系数矩阵的秩.以下分析与之间
其中
化为“”形式的方程是多余的方程，去掉它们不影响方程组的解
中,,中的第个方程“”是矛盾
中,
当时，方程组（
因为，则满足：
的最后一个方程中解出,再回代到第个方程求出.
则可求出未知量.
当时
则可求出含有个未知量的表
任给个未知量的一组值就可定出的值如果取,其中为任意常数
. 个未知量可称为自由未知量
=+++
以为系数矩阵的元线性方程组,若记增广矩阵为,
若,
若,且有个自由未知量
若,
求增广矩阵与系数矩阵的秩；
对增广矩阵作初等行变换可以同时得到增广矩阵与系数矩阵的
秩.
因为,
对增广矩阵作初等行变换
因为,
将含未知量的项移到等式的右端
设未知量,
(为任意常数对增广矩阵作初等行变换
因为
4 取何值时
当时,,
当时, ,设(为任意常数
5 为何值时线性方程组
对增广矩阵施以初等行变换 =
当且时, ,
当时, ,
当时,,
为系数矩阵，为常数项矩阵
由于增广矩阵的最后一列元素全为零
若,
，则方程组（
对于个方程个未知量的齐次线性方程组,
）若秩,
）若秩,
即时
对于个未知量个方程构成的齐次线性方程组当系数行列式值等于零也就是系数矩阵经过初等行变换化为阶梯型矩阵必有零行从而系数矩阵的秩
对增广矩阵作初等行变换
系数矩阵的秩,
(为自由变量令,
=
对增广矩阵作初等行变换
系数矩阵的秩,
若选择为自由未知量并设得
(为任意实数
=。