线性方程组的公式解
线性方程组的几种求解方法
甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。
关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。
高等代数04线性方程组
最后一个矩阵所对应的线性方程组为 x1+ 7x3 = 1 , x26x3 = 1 . 它与原方程组同解，取 x3 = C, 得 x1 = 17C, x2 = 1+6C, x 1= 1 7C , 即原方程组解为 x2 = 1+ 6C, 其中 C 为任意实数. x3 = C , 将解写成向量形式 ( x1, x2, x3 )T = (17C , 1+6C, C )T.
定义1 定义1 由st个数cij 排成的一个 行t列的表 个数 排成的一个s行 列的表
c11 c12 L c21 c22 L L L cs1 cs 2 L c1t c2t L cst
叫作一个s行 列矩阵 c 列矩阵。 叫作一个 行t列矩阵。 ij 叫作这个矩阵的元素
注意： 注意：矩阵和行列式虽然形式上有些类似，但有完全不同的意义。 一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。
例2
解
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0 , x + x2 – 2x3 + 3x4 = 0 , 求下列线性方程组的解： 1 3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0 , x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0 .
1 1 1 1 1 5 0 2 7 4 3 → 0 → 0 0 2 7 4 1 7 0 4 14 8 0
并且用B表示 B 的前n列作成的矩阵。那么由定理4.2.1得： 秩A=秩B= r，秩A =秩B 现在设线性方程组（1）有解。那么或者r = m，或者r < m，而
dr+1 =L= dm = 0，这两种情形都有秩B=0，于是由（4）得，
B 反过来，设秩 A =秩B 。那么由（4）得， 的秩也是 r。由此得，或 者r = m，或者r < m 而 dr+1 =L= dm = 0 ，因而方程组（1）有解。
2-3线性方程组有解的判定定理
组 Ax = 0 只有零解 ( 有非零解 )的充分必要 条件是系数行列式
定理 2 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解 的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩 .
证 设 A = (α 1 , α 2 , L , α n ), 这里 α 1 , α 2 , L , α n 是 A 的列向量组， 的列向量组，则 Ax = b 可写成 (4) x 1α 1 + x 2α 2 + L + x nα n = b .
5 1 0 − 2 − 1 2 2 1 3 r3 − r2 4 r1 − 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ÷ ( −3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组
5 x1 − 2x3 − 3 x4 = 0, 4 x2 + 2x3 + x4 = 0, 3
L 从而方程组（ 从而方程组（ 2）有解 ⇔ b 可由 α 1 , α 2， , α n L 线性表示 ⇔ R ( A ) = rank (α 1 , α 2， , α n ) = 证毕 rank (α 1 , α 2， , α n， b ) = R ( B ). L
推论
Ax = b有唯一解 ⇔ R(A) = R(B ) = n Ax = b有无穷多解. ⇔ R(A) = R(B ) < n 有无穷多解.
三、线性方程组的求解
例1 求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 0 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 . x − x − 4x − 3x = 0 1 2 3 4 解
线性代数及其应用第5节线性方程组的解
x1
c1,r1
c1n
d1
xr
xr1
k1
cr,r1
1
knr
crn
0
dr
0
xn
0
1
0
可表示线性方程组的任一解，称之为线性方程组
的通解.
下面我们利用线性方程组有解的判别定理研究 线性方程组的解法．
由定理8的证明过程易得线性方程组的求解步 骤，现归纳如下：
Step1 对于非齐次线性方程组，把它的增广 矩阵 B 化成行阶梯形矩阵，从中可同时看出 R(A) 和R(B) . 若 R(A) < R(B) ，则方程组无解.
Step2 若 R(A) = R(B) ，则进一步把 B 化成行 最简形矩阵. 而对于齐次线性方程组，则把系数矩 阵 A化成行最简形矩阵.
0 1 2 2 6 3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
b
a
2
例14 求下列齐次线性方程组的通解
x1 x2 x3 4x4 3x5 0,
2x1x1xx2 233xx3 352x4x45xx55
0, 0,
3x1 x2 5x3 6x4 7x5 0.
解
本若请本本若若请请本若请节想本单若请节节想想本单单若请节想本单若内请结节击想本单若内内请结结节击击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容容单若束束内请返返结节击想本容单若束内请返结节已击想本本容单若回束内请返结节已已击想本 本本容单若回 回束内请返结节已击想本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容单若回束内结结请返结堂 堂节已击想按 按本本容单若回束内结请返结堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结钮堂节已击想按本本容束束单若回束课 课内结请返结钮 钮堂节已击想按本本容束单若回束课内结请返结本钮堂若节已击想按本,请本 本 本容束单若 若 若回束课.内结!请 请 请返结钮堂节已击想按本,,容束单回束课..内结!!返结钮堂节已击想按本,容束单回束节课.想内结!返结钮堂单节 节节已击想 想 想按本,容束单 单单回束课.内结!返结钮堂已击按本,容束回束课.内结!返结钮堂已击按本内,结容束回束课.击内 内内!结返结 结 结钮堂已击 击击按本,容束回束.课结!返钮堂已按本,容束回束课.结!返钮堂容束已按本,返容容 容束回束 束 束课.结!返返 返钮堂已按本,束回课.结!钮堂已按本,束回课.已本结!钮堂回已 已已按本本本,束回 回回课.结!钮堂按,束课.结!钮堂按,结堂束课.按结结结!钮堂堂堂按按按,束课.!钮,束课.!钮束课,钮束束束课课课.!钮钮钮,.!,.,!.,,,!...!!!
2.6线性方程组解的一般理论
x4
0
,
1
,
0
x5 0 0 1
2 2 6
1
1
5
1
1
,2
0
,3
0
0
1
0
0
0
1
一般解 c11 c22 c33
(c1, c2, c3为任意常数.)
8
三、非齐次线性方程组解的结构
x11 x22 xnn (I) 0 (II)
第二章 线性方程组 §2.6 线性方程组解的一般理论
一、线性方程组有解的判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构
1
一、线性方程组有解的判定定理
定理1 线性方程组 x11 x22 xnn (I) 有解
r( A) r( A) 推论1 线性方程组(I)无解 r(A) r( A) 推论2 线性方程组(I)有唯一解 r(A) r(A) n 推论3 线性方程组(I)有无穷多解 r(A) r(A) n
方程组的三个解向量 1,2 ,3满足
1
0
1
1 2 2, 2 3 1, 3 1 0
3
1
1
求 非 齐 次 线 性 方 程 组 一 的 般 解.
19
解 A是m 3矩阵, r(A) 1,
导出组的基础解系中有 含3 1 2个线性无关的解向量.
令1 2 a, 2 3 b, 3 1 c,则
其中k1 , k 2为任意实数.
21
A
2 1
3 0
1 2
1 2
3 6
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0
5 0
0
0
4
5
3
线性方程组的解法例题线性方程组的解法
线性方程组的解法例题线性方程组的解法第二章线性方程组的解法n阶线性方程组的一般形式为:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1 ax,ax, ,ax b 2112222nn2(2.0.1)an1x1,an2x2, ,annxn bnAx b用矩阵表示为: 其中A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为常数向量(简称方程组自由项)，它们分别为:x1 b1 a11a12a1nx b aa2122a2n x 2 b 21，， Axn bn an1an2ann如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A) 0，则根据克莱姆(Cramer)规则，方程组有唯一解:Di,i 1,2, ,n xi D其中D det(A)，Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。
但克莱姆规则不适用于求解线性代数方程组，因为计算工作量大得难以容忍。
实际用于求解线性代数方程组的计算方法主要有两种:一是消去法，它属于直接解法;二是迭代解法。
消去法的优点是可以预先估计计算工作量，并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算(如矩阵求逆等)的求解方法。
但是，由于实际计算过程总存在有误差，由消去法得到的结果并不是绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题。
迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序。
在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的问题。
?2.1 线性方程组的直接计算求解线性代数方程组的直接解法主要是消去法(或称消元2法)。
消去法的基本思想是通过初等行变换:将一个方程乘以某个常数，以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目，最终使每个方程中含一个未知数，从而得到所需要的解。
2.1.1 三角形方程组的计算对下三角形方程组:a11x1 b1ax,ax b 2112222(2.1.1)an1x1,an2x2, ,annxn bn可以通过前代的方法求解:先从第1个方程求出x1，代入第2个方程求出x2，依次类推，可以逐次前代求出所有xi(i 1,2, ,n)，计算公式如下:b1x1 a11i～1bi～ aij xj(2.1.2)j 13xi , i 2, 3, , n aii对上三角形方程组:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1ax, ,ax b 2222nn2annxn bn(2.1.3)可以通过回代的方法求解:先从第n个方程求出xn，代入第n～1个方程求出xn～1，依次类推，可以逐次回代求出所有xi(i n,n～1, ,1)，计算公式如下:bnxn annnbi～ aij xj(2.1.4)j i,1xi , i n～1, n～2, , 1 aii2n 前代法和回代法的计算量都是次四则运算。
第5章_线性方程组的解法
k 1
326
0
0
0
a(n) nn
bn(n
)
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ... ...
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
x1
x2
... xn
bb12((12))
...
bn(n)
回代:
xn
b(n) n
/
a
(n nn
11
3种常用范数：
2-范数（长度）
n
1-范数
x ( 2
xi2 )1/2
i 1
∞-范数
n
x 1
xi
i 1
x
max
1 i n
xi
12
矩阵的范数： 对于给定的n阶方阵A，将比值 Ax / x 的上确界 称为矩阵A的范数
直接由定义知，对于任意向量x，有：|| A x ||≤|| A || || x || 基本性质：
det
a11
an1
a1i1
ani1
b1
bn
a1i1
a1n
ani1 ann
（1）计算n+1个n阶行列式. （计算一个n阶行列式就需要做(n-1)n!次乘法. 要计算n+1个n阶行列式,共 需做(n2-1)n!次乘法）. （2）做n次除法才能算出xi(i=1,… n). （3）用此法，需作乘除法的运算： N=(n2-1)n!+n 例如,当n=10(即求解一个含10个未知量的方程组), 次数共为32659210次； 当n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年
a(1) 13
a(2) 23
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
解线性方程组的解法_图文
线性方程组是线性代数中最重要最基本的内容之 一，是解决很多实际问题的的有力工具，在科学技术 和经济管理的许多领域（如物理、化学、网络理论、 最优化方法和投入产出模型等）中都有广泛应用. 第一章介绍的克莱姆法则只适用于求解方程个数 与未知量个数相同，且系数行列式非零的线性方程组. 本章研究一般线性方程组，主要讨论线性方程组解的 判定、解法及解的结构等问题，还要讨论与此密切相 关的向量线性相关性等. 其主要知识结构如下：
为方程组（3.1）的增广矩阵(augmented matrix). 因为 一个线性方程组由它的系数和常数项完全确定，所以 线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的. 如果 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 可以使（3.1）中的每个等式都 T x ( c , c , , c ) 成立，则称 为线性方程组（3.1）的一个 1 2 n 解(solution). 线性方程组（3.1）的解的全体称为它的解
集(solution set). 若两个线性方程组的解集相等，则称 它们同解(same solution). 若线性方程组（3.1）的解存 在，则称它有解或相容的. 否则称它无解或矛盾的. 解 线性方程组实际上先要判断它是否有解，在有解时求 出它的全部解.
例1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 2 x3 6 2 x1 4 x 2 x 5 x 4 2 3 1
( 2 ) (1)
x2 x3
1 6
显然原方程组与最后的方程组（叫阶梯形方程组） 同解，所以原方程组有唯一解 x1 9, x2 1, x3 6
由此不难发现，在求解线性方程组的过程中，可 以对方程组反复施行以下三种变换： 1. 交换两个方程的位置； 2. 用一个非零数乘某个方程的两边； 3. 把一个方程的倍数加到另一个方程上. 称它们为线性方程组的初等变换. 显然：线性方程组的初等变换不改变线性方程组 的同解性. 在例1的求解过程中，我们只对方程组的系数和 常数项进行了运算，对线性方程组施行一次初等变 换，就相当于对它的增广矩阵施行一次相应的初等行 变换，用方程组的初等变换化简线性方程组就相当于 用矩阵的初等行变换化简它的增广矩阵. 下面我们将 例1的求解过程写成矩阵形式：
高等代数 第3章线性方程组 3.2 线性方程组解的结构
7 2 1 - 3 - 2 1 2 6 23 4 3 - 1 12 1 1 1
1 1 0 - 2 ~ 0 0 0 0 1 0 ~ 0 0
( 2) 设x = 是方程 Ax = b的解, x = 是方程 Ax = 0的解, 则x = + 仍是方程 Ax = b 的解.
证明 A( + ) = A + A = 0 + b = b,
所以x = + 是方程 Ax = b的解.
证毕．
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
例5 求下述方程组的解 x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 , 3 x + x + 2 x + x - 3 x = -2, 1 2 3 4 5 2 x 2 + x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23, 8 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 + 3 x 4 - x 5 = 12.
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B= 3 - 1 - p 15 3 1 - 5 - 10 12 t
2 3 1 1 1 4 -2 2 0 2 ~ 0 -4 - p-6 6 0 0 - 6 12 9 t 1
x2 1 0 x1 1 1 = 及 , 则 = 及 , x4 0 1 x3 0 2
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（2.1.1）
利用加减消元法，由 (1) × b2 − (2) × b1 和 ( 2 ) × a1 − (1) × a2 得
⎧ ( a1b2 − a2b1 ) x = b2 c1 − b1c2 ⎪ ⎨ ⎪( a1b2 − a2b1 ) y = a1c2 − a2 c1 ⎩
第二章 行列式
若 a1b2 − a2b1 ≠ 0, 则有
b2 c1 − b1c2 ⎧ ⎪x = a b − a b ⎪ 1 2 2 1 ⎨ ⎪ y = a1c2 − a2 c1 ⎪ a1b2 − a2b1 ⎩
用记号 D =
－
a1 a2
b1 b2
+
表示 a1b2 − a2b1
a1 c1 Dx = = b2 c1 − b1c2 , Dy = = a1c2 − a2c1 , c2 b2 a2 c2 Dy Dx , y= 是方程组（2.1.1）的 若 D ≠ 0, 则 x = D D 公式解。
－
a12 a22 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ32
a13 a23 a33
+
= a11a22 a33 + a13 a21a32 + a12 a23 a31
≠0
第二章 行列式
− a13 a22 a31 − a11a23 a32 − a12 a21a33
D 是方程组（2.1.2）的公式解。这里 Dx1 , Dx2 , Dx3 是分别
第二章 行列式
第二章 行列式
+ a1n xn = b1 + a2 n xn = b2 + ann xn = bn
（2.1.3）
是否也有类似于（2.1.1)、（2.1.2）的公式解？ 这首先就必须解决：能否把二阶、三阶行列式推 广到n阶行列式？要解决这个问题，必须回答以下一 系列问题： 这个n阶行列式如何定义？ n阶行列式中一共包含有多少项？ 每一项由哪些元素组成？ 哪些项前面带正号？ 哪些项前面带负号？ 有了n阶行列式的定义后，我们才能研究方程组 （2.1.3）有没有类似于二元、三元方程组的公式解。
则
x1 =
Dx1 D
, x2 =
Dx2 D
, x3 =
Dx3
用 ( b1 , b2 , b3 ) 代替 D 中第1列，第2列，第3列所得的 行列式。
由此我们得到二元一次和三元一次线性方程组的 公式解。我们自然要问，对于n元一次线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⎪a x + a x + ⎪ 21 1 22 2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩an1 x1 + an 2 x2 +
§2.1 线性方程组的公式解
§2.1
线性方程组的公式解
解方程是代数中一个基本问题，在中学我们学过 一元、二元、三元以至四元一次线性方程组。在解线 性方程组时，我们曾用代入消元法和加减消元法来解 线性方程组。例如，对二元一次方程组
⎧ a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩a2 x + b2 y = c2 (1) (2)
c1 b1
第二章 行列式
对三元一次线性方程组 ⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ⎪ ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ⎪a x + a x + a x = b ⎩ 31 1 32 2 33 3 3
（2.1.2）
若
a11 D = a21 a31