计算方法解线性方程组的直接法
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
计算方法2线性方程组直接法
04
矩阵的三角分解法
LU分解法
定义：将系数矩阵A分解为一个下三角 矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即 A=LU。
适用范围：适用于所有可逆矩阵，特别 适用于中小型稠密矩阵。
迭代法收敛性判断
在迭代法求解方程组时，可以通过观察迭代过程中解向量的范数的变化情况来判断迭代法 是否收敛。如果解向量的范数逐渐减小并趋于零，则表明迭代法收敛。
方程组性态分析
方程组的性态是指方程组解的存在性、唯一性和稳定性等方面的性质。通过分析方程组的 系数矩阵的范数，可以对方程组的性态进行初步的判断。例如，如果系数矩阵的谱半径（ 即最大特征值的模）较小，则方程组往往具有较好的性态。
03
线性方程组在科学研究、工程技术和经济管理等领域具有广 泛的应用。
直接法的定义与分类
1
直接法是一种通过有限步四则运算求解线性方程 组的方法，具有计算精度高、稳定性好的特点。
2
直接法可分为高斯消元法、列主元消元法、全主 元消元法等多种方法，其中高斯消元法是最基本 的方法。
3
各种直接法的主要区别在于选主元和消元的过程 中采用不同的策略，以达到提高计算精度和稳定 性的目的。
对系数矩阵A进行Crout分解，得到下三角矩阵L和单位 上三角矩阵U。
利用后向代入法求解Ux=y，得到向量x。
求解步骤
利用前向代入法求解Ly=b，得到向量y。
适用范围：适用于所有可逆矩阵，特别适用于中小型稠 密矩阵。与LU分解法和Doolittle分解法相比，Crout 分解法在某些情况下具有更高的计算效率。
性质
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
线性方程的概念与解法
线性方程的概念与解法线性方程是我们在数学中经常遇到的一类方程，其基本形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的实数，x是未知数。
解线性方程的目标是找到满足方程的x的值。
解线性方程的方法有多种，下面将介绍常见的几种解法。
直接法：对于简单的线性方程，我们可以直接通过变量的运算来解得x的值。
例如，对于方程3x + 2 = 5，我们可以通过减去2，再除以3的操作来求解x，即x = (5-2)/3 = 1。
消元法：对于一般的线性方程组，我们可以通过消元法来求解。
消元法的基本思想是通过逐步的变换，使得方程组中的某个变量逐渐消失，从而简化方程组的解法。
我们可以通过适当的加减法来将方程组化为更简单的形式，直到最后得到只包含一个变量的方程，从而求解出该变量的值。
例如，考虑方程组：2x + 3y = 74x - y = 5我们可以通过消元法来求解该方程组。
首先，我们可以将第二个方程中的y的系数变为3，即将第二个方程乘以3，得到：12x - 3y = 15然后，我们可以将第一步得到的新方程与第一个方程相减，消去y 这个变量，得到新的方程：10x = 8最后，我们可以将方程两边同时除以10，求解出x的值为0.8。
将x的值代入方程2x + 3y = 7，可以求出y的值为2.2。
因此，该方程组的解为x = 0.8，y = 2.2。
矩阵法：对于包含多个方程的线性方程组，我们可以利用矩阵的方法求解。
矩阵法的基本思想是将线性方程组表示成矩阵的形式，然后通过矩阵的运算求解未知数。
考虑以下线性方程组：2x + 3y - z = 4x - 2y + 3z = 13x + y - 2z = 5我们可以将其表示为矩阵形式：⎡ 2 3 -1 ⎤⎡ x ⎤⎡ 4 ⎤⎢ 1 -2 3 ⎥ ·⎢ y ⎥ = ⎢ 1 ⎥⎣ 3 1 -2 ⎦⎣ z ⎦⎣ 5 ⎦然后，我们可以对这个矩阵进行行变换，将它化为上三角矩阵的形式。
通过适当的行变换操作，我们可以将第一列下方的元素变为0。
计算方法-解线性方程组的直接法实验报告
cout<<endl;
for(k=i+1;k<m;k++)
{
l[k][i]=a[k][i]/a[i][i];
for(r=i;r<m+1;r++) /*化成三角阵*/
a[k][r]=a[k][r]-l[k][i]*a[i][r];
}
}
x[m-1]=a[m-1][m]/a[m-1][m-1];
{
int i,j;
float t,s1,s2;
float y[100];
for(i=1;i<=n;i++) /*第一次回代过程开始*/
{
s1=0;
for(j=1;j<i;j++)
{
t=-l[i][j];
s1=s1+t*y[j];
}
y[i]=(b[i]+s1)/l[i][i];
}
for(i=n;i>=1;i--) /*第二次回代过程开始*/
s2=s2+l[i][k]*u[k][r];
l[i][r]=(a[i][r]-s2)/u[r][r];
}
}
printf("array L:\n");/*输出矩阵L*/ for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
printf("%7.3f ",l[i][j]);
printf("\n");
{
s2=0;
for(j=n;j>i;j--)
解线性方程组直接法
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇔∈n n x x x 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成其中 a i 为A 的第i 列。
同理 其中Ti b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m nm R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c .（2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C（3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kj ikb acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T n m a c ==∈⨯ , ,A C R A （5） 单位矩阵 ()nn ⨯∈=Re ,,e ,e I n 21 ，其中()T k e 0,0,1,0,0 = k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设n n ⨯∈R A ，n n ⨯∈R B 。
第三章 线性代数方程组的直接解法1
for
j = n : −1 : 2
y( j ) = y( j ) u( j , j )
y (1 : j − 1) = y (1 : j − 1) − y ( j )u(1 : j − 1, j )
end
y(1) = y(1) u(1,1)
加减乘除运算次数之和)均为 两种算法的工作量(加减乘除运算次数之和 两种算法的工作量 加减乘除运算次数之和 均为 n
高斯变换
a 0
(1) 11
取
L = I +l e 1
其中 l i 1
T 1 1
l1 = (0, l21,⋯, ln1)
a
(1) 11
T
=
−1 1
a
(1) i1
i = 2, 3,⋯ , n
−1 1 T 1 1
记
A
( 2)
=L A
(1)
L = I −l e
(1 a11) 0 I n−1 c1 T 1
(i ) ii
的各阶顺序主子式都不等于零 顺序主子式都不等于 A 的各阶顺序主子式都不等于零，即
−1 −1 1 2
1 4 7 0 −3 − 6 = U L2 L1 A = 0 0 1
∴ A = L L U = LU
其中
1 0 0 2 1 0 −1 − 1 L = L1 L2 = 3 2 1
Gauss消去法的矩阵表示 消去法的矩阵表示 设给定 n 阶矩阵 记
1 0 0 −2 1 0 L1 = −3 0 1
设给定矩阵
则有
7 1 4 0 −3 −6 L1 A = 0 −6 −11
线性方程组的直接解法
线性方程组的直接解法
线性方程组（linear equation system）是一类几何问题，也是解决线性系统和代数问题的重要方法，线性方程组由多个联立方程组成，这些方程中也可能含有未知量。
直接解法是把数学模型转换为数值模型，并给出实现其解题步骤的算法，它不同于间接求解的方法，既不做任何假设，也不处理不确定性问题，只是简单地直接求解线性方程组。
解线性方程组的直接解法主要分为三种，分别是高斯消元法、列主元消去法和列坐标变换法。
高斯消元法是一种比较常用的方法，主要是把线性方程组的未知量从左到右一步步求出来，其中用到的主要技术是把矩阵中部分元素消去为零，以便求解不定线性方程组的未知量。
而列主元消去法则是以一列为主元，去消除其他联立方程中出现的此列中的变量，从而最终求出其他未知变量的值。
最后，列坐标变换法是将线性方程组转换为一个更有利于求解的矩阵，其中未知量可以直接求得解答。
除了这三种常见方法外，还有一些更特殊的直接解法，比如要解常微分方程的未知函数，可以用拉格朗日方法和分部积分方法，再比如求解雅各比方程的根，可以通过主副方程互解求解，这种方法也叫作特征根法。
综上，解线性方程组的直接解法有高斯消元法、列主元消去法、列坐标变换法等；特殊问题可以采用拉格朗日方法、分部积
分法和特征根法等。
每种方法都有自己的优势，因此在使用时，可以根据问题的特点，选择适合的方法来解决。
《计算方法》课程简介及教学大纲
《计算方法》课程简介及教学大纲一、课程简介1.课程编号：201100112.课程名称：计算方法3.开课学院：数学课程组4.学时：325.类别：公共选修课6.先修课程：高等数学，线性代数7.课程简介：《计算方法》全面地介绍科学与工程计算中常用的计算方法，具体介绍了这些计算方法的基本理论与实际应用，同时对这些数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛效果、适用范围以及优劣性与特点也作了简要的分析。
内容包括引论、线性代数方程组求解方法、非线性方程求根、函数插值、函数拟合、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、自治微分方程稳定区域的计算等。
本课程的任务是通过各个教学（和实践）环节，运用各种教学手段和方法，使学生掌握数值计算的基本原理和各种方法的基本思想，并藉此培养学生分析问题和解决问题的能力，为学习后续课程、从事工程技术研究工作打下坚实的基础。
Course Code:20110011Name of Course:Computational MethodFaculty: Mathematics Course GroupCredit Hours: 32Classification: Elective coursePrerequisite:Advanced Mathematics, Linear AlgebraCourse Outline:Computational Method induces the calculation methods used in Scientific and Engineering roundly，and makes specific introduction to the calculation method of basic theory and practical application of these methods. It also makes a brief analysis of the calculation of effectiveness, stability, convergence effect, scopeand characteristics of the advantages and disadvantages. It includes introduction, method for solving linear algebraic equations, finding roots of nonlinear equations, function interpolation, function fitting, numerical differentiation and numerical integration, numerical methods for initial value problem for ordinary differential equations, autonomous differential equation and stability calculations.Through various teaching and practice, students will master the basic principles and methods of numerical calculation of the basic idea. This course aims to develop students' ability to analyze and solve problems, and lay a solid foundation for follow-up courses and engagment in engineering work.二、课程教学大纲1. 课程编号：20110011 6. 先修课程：高等数学，线性代数2. 课程类别：公共选修课 7.课内总学时：323. 开课学期：第二学年一学期 8.实验/上机学时：04. 适用专业：全校各专业 9.执笔人：陈丙振5.考核方式：考查1．课程教学目的《计算方法》全面地介绍科学与工程计算中常用的计算方法，具体介绍了这些计算方法的基本理论与实际应用，同时对这些数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛效果、适用范围以及优劣性与特点也作了简要的分析。
计算方法第三章线性方程组的直接解法
5 3
3 1
r3
r1 6
6 1 18 2
1 0
4 5 1 3
3 1
r3 r225
1 0
4 1
5 3
3 1
0 25 48 16
0 0 27 9
林龙
计算方法
6
化原方程组为三角方程组的过程为消元过程. 解三角方程组的过程为回代过程.
也可将上边的增广矩阵进一步化简.
1 4 5 3
1 0 7 1
xi
Di D
(i
1, 2,3,
)，由于方程含有n 1个
行列式.如对每个行列式按展开定理来计算.
用克莱姆法则求解,所需要的乘除运算量为
n!(n2 1) n次,若n 20用每秒一千万次的
计算机要三百万年,所以并不是凡直接法都
可以用来做实际运算.
林龙
计算方法
4
设有
§3.1直接法
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
解 : 10
7
0
7
r1 r2
5 1 5 6
林龙
计算方法
16
10 3 5
7 2 1
0 6 5
7 4 6
r2
3 10
r1
r3
5 10
r1
10
0
0
7 0.1 2.5
0 7 6 6.1 5 2.5
r2 r3
r3
1 25
r2
10 7 0 7 x3 1
0
2.5
5
2.5
x2
2.5 5x
nn
a11 a12 .... a1n 1 0 0
a21
a22
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a11 a12 (2) a 22 = 0
则当 akk 0 时,取
(k )
(k ) ank
(k ) ann
b1 (2) b2 bk( k ) (k ) bn
T Gk I k ak ek
7
计算方法 第一章解线性方程组的直接法 下面，按照上述思想推导消元法的一般算式 对于一般的矩阵A=[aij]，设a11≠0，令
1 1/ a11 a1 (a11 , a21 ,
构造Gauss矩阵
用G1左乘a1得
, an1 )T a1 (0, a21,
, an1 )T e1 (1,0, 0)T
回代过程 3
计算方法 第一章解线性方程组的直接法
按照矩阵变换的观点来描绘消元的过程
Rn x | x ( x1, x2 ,, xn ), xi为实数(i 1,2,, n)
C n x | x ( x1, x2 ,, xn ), xi为复数(i 1,2,, n)
分别表示n维实和复向量空间，用R n×n 表示n×n阶实矩阵 空间 考虑线性方程组 Ax=b 其中
li1 ai1 , a11 i, j 2, , n.
(2) ann
b1 (2) b2 (2) bn
8
计算方法 第一章解线性方程组的直接法
一般地，如果已经利用Gauss矩阵G1, …,Gk-1得到
( A( k ) , b( k ) ) Gk 1
G1 ( A, b) a1n (2) a2 n
其增广矩阵为
2 4 2 6 ( A, b) 1 1 5 0 4 1 2 2
5
计算方法 第一章解线性方程组的直接法 第一步消元过程相当于用矩阵G1左乘增广矩阵，即
2 4 2 6 G1 ( A, b) 0 3 6 3 0 7 2 10 1 0 0 0 0 1 1 1 G1 1 0 I (1, 0, 0) I 1 (1, 0, 0) 2 2 2 4 2 0 1 2
A [aij ] Rnn , b (b1, b2 ,, bn )T Rn
4
计算方法 第一章解线性方程组的直接法
2 x1 4 x2 2 x3 6 x1 x2 5 x3 0 4 x x 2 x 2 2 3 1
矩阵形式为
2 4 2 x1 6 x 0 b Ax 1 1 5 2 4 1 2 x3 2
1 T G1 I e1 2 T 其中 0,1, 4 是将A中的第一列中的元素a11换成0而得到的列向量， T e1 1, 0, 0 是单位矩阵I的第一列所形成的列向量，1/2是a11的倒数。 这种形式的矩阵称为Gauss矩阵。
它可以记为
6
计算方法 第一章解线性方程组的直接法
T G1 I 1a1e1
G1a1 G1 (a11, a21, an1 )T (a11,0, 0)T
a1n
(2) a2 n
从而G1(A,b)具有下列形式，
(2) a 其中 ij
a11 a12 0 a (2) 22 ( A(2) , b(2) ) G1 ( A, b) (2) 0 an 2 aij li1a1 j , bi(2) bi li1b1
计算方法 第一章解线性方程组的直接法
第一章 解线性方程组的直接法
1
计算方法 第一章解线性方程组的直接法
求解Ax=b
直接法是指在无舍入误差存在的情况下,经 过有限步运算即可求得精确解的算法,因此 又称精确法. 因为舍入误差的存在,精确解也是不精确的. 直接法的典型代表是Gauss消元法
2
计算方法 第一章解线性方程组的直接法
2 x1 4 x2 2 x3 6 x1 x2 5 x3 0 4 x x 2 x 2 2 3 1
2 x1 4 x2 2 来自3 6 行 1行1 / 2 2 0 x1 3 x2 6 x3 3 3行 1行 2 0 x 7 x 2 x 10 2 3 1
2 x1 4 x2 2 x3 6 行 2 行7 / 3 3 0 x1 3 x2 6 x3 3 0 x 0 x 12x 3 2 3 1
消元过程
由（ 3）式得x3 1 / 4
代入（ 2）式得x2 3 / 2
再将x3和x2代入（ 1 ）式得x1 1/ 4
同样，若取Gauss矩阵为
0 1 G2 I 0 (0,1, 0) 3 7
2 4 2 6 G2G1 ( A, b) 0 3 6 3 0 0 12 3
则有
从上述讨论看出，消元过程等价于将方程组的增广矩阵依 次左乘相应的Gauss矩阵，将其化为上三角形式
(k ) (k ) lik aik / akk ,
a1k
(2) a2 k
a1,k 1
(2) a2, k 1
a1n
(2) a2 n
(k ) akk
(k ) T ank )
ak (0,
(k ) 0, ak 1,k ,
(k ) k 1/ akk
9
计算方法 第一章解线性方程组的直接法
( A( k 1) , b( k 1) ) Gk ( A( k ) , b( k ) ) a11 (2) a 22 = 0