解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
解线性方程组的直接方法主元素方法
17
设方程组
Ax b 的系数矩阵A的顺序主子式不为零
Ak
a11 a21
a12 a22
a1k a2 k akk
0, k 1,2,
, n 1,
ak1 ak 2
在Gauss消去法中,第一次消元时等价于用单位下三角阵
18
第二章 解线性方程组的直接方法
1 l 21 L1 l 31 l n1
(3)
等价于用矩阵
0 1 l32 ln 2
0 0 1 0
(i 3,4,, n)
(2) (2)
20
于是有
[ A , b ] L2 [ A , b ]
(3)
第二章 解线性方程组的直接方法
一般地，第k次消元等价于用矩阵
Lk 1 1 O lk 1 k lnk 1 O O 1
（2-13）
(k ) (k ) 左乘矩阵 [ A( k ) , b(k ) ], 其中 lik aik / akk (i k 1,, n)
经过
n 1
次消元后得到
21
21
第二章 解线性方程组的直接方法
(1) a11 [ A( n ) , b ( n ) ] 0
再用Gauss消去法求解，消元后得同解方程
(2 10b)
5.0 x1 0.96x 2 6.5 x3 0.96 4.12x 2 2.24x3 0.364 2.99x3 5.99
4
第二章 解线性方程组的直接方法
回代得解
x3 2.00, x2 1.00, x1 2.60
与准确解相同. 产生上述现象的原因在于舍入误差.因为按式(2-10)的 方程顺序进行消元时，主元
数值分析小论文线性方程组的直接解法
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
数值分析第二章解线性方程组的直接方法
a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2) ,
..............
an(nn) xn bn(n) .
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解.
xn
xiΒιβλιοθήκη bn(n) (bi(i )
an(nn) ,
n
ai(ji ) x
j i 1
j
)
ai(ii ) ,
i n 1,n 2,,1.
x3 x3
1 1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
6x2 6x3 1
再消去最后一个方程的x2得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
42 5
x3
7 5
消元结束.
x1
1 2
经过回代得解:
x2
1 3
互换, 因而程序比较复杂, 计算时间较长.
• 列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法, 但其
计算简单, 工作量大为减少, 且计算经验与理论实
践均表明, 它与全主元素法同样具有良好的数值稳
定性.
• 列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好
方法之一.
27
§2 直接三角分解法
Gauss消元法的矩阵表示
a12
a13
a 1 0 a21 a22 a23 a21 aa11 a22 aa12 a23 aa13
b 0 1 a31 a32 a33 a31 ba11 a32 ba12 a33 ba13
28
n=3时Gauss消元法的矩阵表示
a11 a12 a13 A a21 a22 a23
线性方程组的直接解法
线性方程组的直接解法
线性方程组（linear equation system）是一类几何问题，也是解决线性系统和代数问题的重要方法，线性方程组由多个联立方程组成，这些方程中也可能含有未知量。
直接解法是把数学模型转换为数值模型，并给出实现其解题步骤的算法，它不同于间接求解的方法，既不做任何假设，也不处理不确定性问题，只是简单地直接求解线性方程组。
解线性方程组的直接解法主要分为三种，分别是高斯消元法、列主元消去法和列坐标变换法。
高斯消元法是一种比较常用的方法，主要是把线性方程组的未知量从左到右一步步求出来，其中用到的主要技术是把矩阵中部分元素消去为零，以便求解不定线性方程组的未知量。
而列主元消去法则是以一列为主元，去消除其他联立方程中出现的此列中的变量，从而最终求出其他未知变量的值。
最后，列坐标变换法是将线性方程组转换为一个更有利于求解的矩阵，其中未知量可以直接求得解答。
除了这三种常见方法外，还有一些更特殊的直接解法，比如要解常微分方程的未知函数，可以用拉格朗日方法和分部积分方法，再比如求解雅各比方程的根，可以通过主副方程互解求解，这种方法也叫作特征根法。
综上，解线性方程组的直接解法有高斯消元法、列主元消去法、列坐标变换法等；特殊问题可以采用拉格朗日方法、分部积
分法和特征根法等。
每种方法都有自己的优势，因此在使用时，可以根据问题的特点，选择适合的方法来解决。
第三章 解线性方程组的直接法
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⇔∈⨯nn n n n n ij nm a a aa a aa a a a212222111211A R A 此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇔∈n n x x x 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成)(n 21a ,,a ,a A = 其中 a i 为A 的第i 列。
同理⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T n 21b b b A其中T i b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m n m R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c . （2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C （3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kjik b acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T nm a c ==∈⨯ , ,A C RA（5） 单位矩阵 ()n n ⨯∈=R e ,,e ,e I n 21 ，其中 ()Tk e 0,0,1,0,0 = k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设nn ⨯∈RA ，nn ⨯∈RB 。
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(1.5)
消去法的回代过程是解上三角形方程组(1.5).我们从方程组(1.5)的第三个方 x3 6 / 6 1 ; 程解得 然后将它代入第二个方程得到
x2 ( 5 x3 ) / 3 2;
最后，将 x3 1, x2 2 代第一个方程得到
x1 (3 2 x2 3 x3 ) / 2 2.
②
（n＋1）n/2次运算
i 1 l11 bi lij x j l21 l22 j 1 A xi , i 1, , n lii l l l nn n1 n 2
③
（n＋1）n/2次运算
n u11 u12 u1n bi uij x j u22 u2 n j i 1 A x , i n, ,1 i uii u nn
1,2,...,n)
（ 1 .2 ）
Ax b,
a1n a2 n , ann
§1 1.1 Gauss 消去法 本章主要介绍求解线性方程组(1.1)的直接法。所谓直接法，就是不考虑 计算过程的舍入误差时，经有限次数的运算便可求得方程组准确解的方法.我 们还将在§5中对计算过程中的舍入误差作一些初步分析．
a11 a 21 A, b ... an 2
之间有一对应关系.不难看出:
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
b1 b2 ... bn
（1.3）
（1）交换矩阵(1.3)的第p,q两行(记作 的第p,q两个方程；
(1.8)
(1.9)
(1.9)式是消元过程的一般计算公式.式中作分母的元素
( k 1)
步的)主元素(简称主元).若 akk 0, 则 ak 1,k ,...,ank 中至少有一 个元素，比方说 a( k 1) , 不为零(否则,方程组(1.1)的系数矩阵A奇异).这样, rk ( k 1) 我们可取 a , 作为主元 .然后,交换矩阵 A( k 1) , b( k 1) 的第 k行与第 r行,把它交换到(k,k)的位置上.
在回代过程中，我们反复运用了上述的行运Gauss消去法推广到解一般的 n×n 阶线性方程组(1.1). Gauss消去法的消元过程由n—1步组成： 第一步 设 a11 0, 把增广矩阵(1.3)的第一列中元素 a21 , a31 ,..., an1 消为零．为此， ai1 l , i 2,..., n. 令 i1 从
(1.6)
(1) aij aij lij a1 j , j 2,..., n ai(1) 0 i 2,..., n. 1 bi(1) bi li1b1
第二步 设 a (1) 0, 把矩阵 A(1) , b (1) 的第二列中元素 22 为零. 仿此继续进行消元，假设进行了k—l步，得到
(1) a32 ,...,an(12)
消
A
( k 1)
, b ( k 1)
第 k步 消为零，得到
b1 a11 a12 ... a1k a1,k 1 ... a1n (1) (1) (1) (1) (1) a22 ... a2 k a2,k 1 ... a2 n b2 ... ... ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) akk ak ,k 1 ... akn bk . (1.7) 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ak( k a ... a b 1, k k 1, k 1 k 1, n k 1 ... ... ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) a a ... a b nk n , k 1 nn n ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) 设 akk 0, 把 A 的第k列的元素 ak 1,k ,...,ank ,b
A, b 的第i(i—2，…， n)行分别减去第一行的 li1 倍，得到
(1) (1) A , b
a11
其中
a11 0 ... 0
a12 (1) a22 ... (1) an 2
... ... ...
a1n (1) a2 n ... (1) ann
b1 (1) b2 , ... (1) bn
rp rq )相当于交换方程组(1.1)
p
（2）用一个非零数 λ 乘矩阵(1.3)的第p行(记作 p )相当于用 λ 乘 方程组(1.1)的第p个方程；
（3）矩阵(1.3)的第q行减去第p行的 λ 倍(记作 q 组(1.1)的第q个方程减去第p个方程的 λ 倍.
)相当于方程
因此，解线性方程组(1.1)的基本Gauss消去法的消元过程可以对它的增 广矩阵进行上述行初等变换．
线性方程组直接解法
引言
快速、高效地求解线性方程组是数值线性代数研究中的 核心问题，也是目前科学计算中的重大研究课题之一。 各种各样的科学和工程问题，往往最终都要归结为求 解一个线性方程组。 线性方程组的数值解法有：直接法和迭代法。
直接法：在假定没有舍入误差的情况下，经过有限次 运算可以求得方程组的精确解；
a1,k 1 ... a1n b1 a11 a12 ... a1k (1) (1) (1) (1) (1) a ... a a ... a b 22 2k 2 , k 1 2n 2 ... ... ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) akk ak ,k 1 ... akn bk . A ,b 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ak( k a ... a b 1, k k 1, k 1 k 1, n k 1 ... ... ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) a a ... a b nk n , k 1 nn n 其中 ( k 1) ( k 1) lik aik / akk , (k ) aik 0, i k 1,...,n. (k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj , j k 1,...,n, bik bi( k 1) lik bk( k 1) , (0) aij aij , bi( 0) bi , i , j 1,2,...,n. 规定
1.1 Gauss 消去法
我们知道，对线性方程组（1.1）作行运算（变换）: （1）交换方程组中任意两个方程的顺序； （2）方程组中任何一个方程乘上某一个非零数； （3）方程组中任何一个方程减去某倍数的另一个方程， 得到新的方程组都是与原方程组(1.1)等价的。若方程组(1.1)或(1.2)的系数 矩阵A是非奇异的，则得到的新方程组与原方程组是同解的。这一章若无特别 申明，总是假定方程组(1.1)的系数矩阵是非奇异，因此它有唯一解。 解方程组(1.1)的基本Gauss消去法就是反复运用上述运算，按自然顺序 (主对角元素的顺序)逐次消去未知量，将方程组(1.1)化为一个上三角形方程 组，这个过程称为消元过程；然后逐一求解该上三角形方程组，这个过程称 为回代过程。计算得该该上三角形方程组的解就是原方程组(1.1)的解. 我们知道，线性方程组(1.1)与其增广矩阵
解：
2 2 1 2 0 1 7 8 0 9 2 1 1
x3 1 x2 8 7 x3 1 x1 2 2x2 2x3 2
我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出： ①
n次运算
bi A diag(a11 , a22 ,, ann ) xi , i 1,, n aii
迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格 式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。
举例（一）
x1 2 x2 2 x3 2 例：直接法解线性方程组 2 x1 3 x2 3 x3 4 4 x1 x2 6 x3 3
1 2 2 2 ( A, b) 2 3 3 4 4 1 6 3 2 2 1 2 0 1 7 8 0 0 61 61
rk
( k 1)
( k 1)
( k 1) akk 称为(第k
lik (i k 1,..,n)
3 5 4
2 3 3 2 3 2 2 0 3 1 5 0 6 6 0 此得到与方程组(1.4)同解的上三角形方程组 2 x1 2 x2 3 x3 3, 3 x2 x3 5, 6 x3 6.
例1
用基本Gauss消去法解线性方程组
2 x1 2 x2 3x3 3, 4 x1 7 x2 7 x3 1, 2 x1 4 x2 5 x3 7.
(1.4)
解
Gauss消去法的消元过程可对方程组(1.4)的增广矩阵进行初等变换：由 2 3 3 2 3 2 2 2 2 1 0 3 ( 1) 1 A, b 4 7 7 1 3 1 4 5 7 6 8 2 0
对方程组，作如下的变换，解不变 ①交换两个方程的次序 ②一个方程的两边同时乘以一个非0的数 ③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程 因此，对应的对增广矩阵(A，b)，作如下的变换，解不变 ①交换矩阵的两行 ②某一行乘以一个非0的数 ③某一个乘以一个非0数，加到另一行 消元法就是对增广矩阵作上述行的变换，变为我们已知的3 种类型之一，而后求根.
§1 §2 §3 §4 §5
解线性方程组的 Gauss 消去法 直接三角分解法 行列式和逆矩阵的计算 向量和矩阵的范数 Gauss 消去法的浮点舍入误差分析