直接法解线性方程组
解线性方程组的直接方法
解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
数值分析--解线性方程组的直接方法
值 为A的特征值，x为A对应的特征向量，A的全体特征值
分 析
称为A的谱，计作 ( A),即 ( A) {i ,i 1,2,, n}, 则称
》
( A)
max
1in
|
i
|
为矩阵A的谱 半 径.
三、特殊矩阵
第5章 解线性方程组的直接方法
1) 对角矩阵
2) 三对角矩阵
3) 上三角矩阵
4) 上海森伯(Hessenberg)阵
分 析
1.00x 1.00y 2.00
》 解法1： 1.00105 x 1.00 y 1.00
(1.00 1.00105) y (2.00 1.00105)
1.00105 x 1.00 y 1.00
1.00
105
y
1.00
105
x 0.00,
y 1.00
第5章 解线性方程组的直接方法
1
Ly b y 3,Ux y x 1.
2
1
第5章 解线性方程组的直接方法
§3 高斯主元素消去法
若ak(kk) 0,或ak(kk)很接近于0，会导致其他元素数量级严重 增长和舍入误差的扩散，使得计算结果不可靠.
《例3’采用3位十进制，用消元法求解
数 值
1.00105 x 1.00y 1.00
L21L1 U2U11
L21L1
U
U 1
21
I
(因为上式右边为上三角矩阵，左边为单位下三角矩阵
从而上式两边都必须等于单位矩阵)
《 数
L1 L2 , U1 U2
1 1 1
值分例2
析
.例1中，A
0
4
-1，将A作LU分解。
线性方程组直接解法
在求解线性规划问题时，高斯消元法 可以用于求解单纯形表中的方程组，
从而得到最优解。
矩阵求逆
通过高斯消元法可以将一个可逆矩阵 化为单位矩阵，从而求出其逆矩阵。
计算机图形学
在计算机图形学中，高斯消元法可以 用于求解三维变换矩阵，实现图形的 旋转、平移等操作。
2023
PART 03
克拉默法则
REPORTING
2023
PART 02
高斯消元法
REPORTING
高斯消元法的基本思想
通过对方程组的增广矩阵进行初等行 变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后 逐步回代求解未知数。
高斯消元法的基本思想是将方程组中 的未知数逐一消去，从而得到一个易 于求解的三角形方程组。
高斯消元法的步骤
将方程组的增广矩阵写出来， 并对其进行初等行变换，化为 行阶梯形矩阵。
未来研究方向
高性能计算
随着计算资源的不断发展，研究如何 在高性能计算环境中更有效地应用直 接解法和迭代解法具有重要意义。
预处理技术
研究更有效的预处理技术，以 改善迭代解法的收敛性和稳定 性。
并行化与分布式计算
探索并行化和分布式计算技术 在解线性方程组中的应用，以 提高计算效率和可扩展性。
自适应算法
开发能够自适应地选择最合适 算法和参数的线性方程组求解 器，以提高求解效率和精度。
2023
THANKS
感谢观看
https://
REPORTING
从行阶梯形矩阵中，选取一个 主元，通过行变换将主元所在 的列的其他元素消为0。
重复上述步骤，直到所有未知 数都被消去，得到一个上三角 形方程组。
从上三角形方程组中，逐个回 代求解未知数。
解线性方程组的直接法
a23x3 a33x3
a24x4 a34x4
b2 b3
a41x1 a42x2 a43x3 a44x4 b4
增广矩阵 a11 a12 a13 a14
A
a21
a22 a23
a24
a31
a32 a33
a34
a41 a42 a43 a44
b1
b2
b3
b4
32
计算3个消元因子(乘子向量)
-3x1 + x2 + 3x3 + 2x4 =6
1 2 1 4 13
1 2 1 4 13
2 0 4 3 28 4 2 2 1 20 -3 1 3 2 6
-主元行＊2 -主元行＊4 -主元行＊-3
0 –4 2 -5 2 0 –6 –2 –15 -32 0 7 6 14 45
24
1 2 1 4 13
0 –4 2 -5 2
消元过 程
回代：x4=2,x3=4,
x2=-1,x1=3
25
有回代的高斯消去法
(Gaussian Elimination with Back Substitution)
如果A是NN非奇异矩阵（存在A-1），则存 在 线性方程组UX=Y与线性方程组AX=B等价，这 里U 是上三角矩阵，并且akk0。当构造出U和Y后， 可用回代法求解UX=Y，并得到方程组的解X。
16
➢ 高斯消元法： 思 首先将A化为上三角阵 ，再回代求解。
路
=
17
4 初等变换(Elementary Transformation) 下列三种变换可使一个线性方程组变换成另一
个等价的线性方程组 交换变换：对调方程组的两行 比例变换：用非零常数乘方程组的某一行 替换变换：将方程组的某一行乘一个常数再加到
解线性方程组的直接解法
解线性方程组的直接解法一、实验目的及要求关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。
直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。
通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。
二、相关理论知识求解线性方程组的直接方法有以下几种：1、利用左除运算符直接求解线性方程组为bx\=即可。
AAx=，则输入b2、列主元的高斯消元法程序流程图：输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。
根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行；对于1p:1-=n选择第p列中最大元，并且交换行；消元计算；回代求解。
（此部分可以参看课本第150页相关算法）3、利用矩阵的分解求解线性方程组（1）LU分解调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下：[L,U]=lu（A）注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。
（2）平方根法调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下：R=chol （A ）输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。
三、研究、解答以下问题问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=19631699723723312312A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=71636b 解答：程序：A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19];R=chol(A)b=[6 3 -16 7]';y=inv(R')*b %y=R'\bx=inv(R)*y %x=R\y结果：R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.28870 4.7170 -1.3780 -0.58300 0 9.8371 -0.70850 0 0 4.2514y =1.73210.9540-1.59451.3940x =0.54630.2023-0.13850.3279问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=8162517623158765211331056897031354376231A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=715513252b解答：程序：A=[1/3 -2 76 3/4 5;3 1/sqrt(3) 0 -7 89;56 0 -1 3 13;21 65 -7 8 15;23 76 51 62 81];b=[2/sqrt(5);-2;3;51;5/sqrt(71)];[L,U]=lu(A)y=inv(L)*bx=inv(U)*y结果：L = 0.0060 -0.0263 1.0000 0 00.0536 0.0076 -0.0044 0.1747 1.00001.0000 0 0 0 00.3750 0.8553 -0.6540 1.0000 00.4107 1.0000 0 0 0U =56.0000 0 -1.0000 3.0000 13.00000 76.0000 51.4107 60.7679 75.66070 0 77.3589 2.3313 6.91370 0 0 -43.5728 -50.06310 0 0 0 96.5050y =3.0000-0.63880.859850.9836-11.0590x =0.13670.90040.0526-1.0384-0.1146问题3、利用列主元的高斯消去法，求解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=--+=-+-=+-+01002010100511.030520001.0204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解答：程序：function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0disp('Çë×¢Ò⣺RA~=RB£¬ËùÒÔ´Ë·½³Ì×éÎ޽⡣')returnendif RA==RBif RA==ndisp('Çë×¢Ò⣺ÒòΪRA=RB=n,ËùÒÔ´Ë·½³Ì×éÓÐΨһ½â¡£')X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1[Y ,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1)endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('Çë×¢Ò⣺ÒòΪRA=RB¡´n£¬ËùÒÔ´Ë·½³ÌÓÐÎÞÇî¶à½â¡£') endend键入A=[1 20 -1 0.0012 -5 30 -0.15 1 -100 -102 -100 -1 1];b=[0;1;0;0];[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)结果：请注意：因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解。
解线性方程组的直接方法
或写为矩阵形式
a11 a21
a12
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
,
am1 am2 amn xn bm
（2.1）
17
简记为 Ax b. 例1 用消去法解方程组
x1 x2 x3 6,
4x2 x3 5,
2x1 2x2 x3 1.
(2.2) (2.3) (2.4)
其中用 r表i 示矩阵的第 行i . 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Ax 化b为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化
为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的
问题转化为求解简单方程组的问题.
x
j
)/ ai(ii)
(i n1,n2,,1).
(2) 如果 为A非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交
换两行的初等变换)将方程组 Ax约b化为(2.10).
29
算法1(高斯算法)
设 AR mn (m 1), s min( m1,n), 如果
a(k) kk
0(k
1,2,,s),
本算法用高斯方法将
非奇异矩阵 P使得
设 A为 n阶矩阵，则存在一个
J1(1)
P1 AP
J 2 (2 )
,
J r (r )
13
其中
i
1
i
J
i
(i
)
i 1
i ni ni
r
ni 1(i 1,2,,r),且 ni n. i1
为若当（Jordan）块.
解线性方程组直接法
第三章 解线性方程组的直接法3.1 引言许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。
例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。
关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。
1. 直接法直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
2. 迭代法迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。
迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。
为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。
3.1.1 向量和矩阵 用nm ⨯R表示全部n m ⨯实矩阵的向量空间，nm C⨯表示全部n m ⨯复矩阵的向量空间。
此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇔∈n n x x x 21x R x x 称为n 维列向量矩阵A 也可以写成其中 a i 为A 的第i 列。
同理 其中Ti b 为A 的第i 行。
矩阵的基本运算：（1） 矩阵加法 )( ,n m nm R C ,R B ,R A B A C ⨯⨯⨯∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c .（2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C（3） 矩阵与矩阵乘法 p nk kj ikb acij ⨯⨯⨯=∈∈∈==∑m p n n m R C ,R B ,R A AB C ( ,1（4） 转置矩阵 ji ij T n m a c ==∈⨯ , ,A C R A （5） 单位矩阵 ()nn ⨯∈=Re ,,e ,e I n 21 ，其中()T k e 0,0,1,0,0 = k=1,2,…,n（6） 非奇异矩阵 设n n ⨯∈R A ，n n ⨯∈R B 。
计算方法第六章解线性方程组的直接法
未知数
在方程组中需要求解的变量 。
系数
方程中未知数的系数，构成 系数矩阵。
直接法的基本思想
直接法
通过对方程组进行变换，消去未知数，从而求得方程 组的解。
高斯消元法
一种常用的直接法，通过对方程组进行初等行变换， 将系数矩阵变为上三角矩阵，然后回代求解。
列主元消元法
在高斯消元法的基础上，每次消元前选取列主元，避 免计算过程中出现零除问题，提高数值稳定性。
回代过程
从最后一行开始，将已知量代入方程求解， 得到当前未知数的解。然后逐层回代，得到 所有未知数的解。
高斯消元法的应用举例
01
求解二元一次方程 组
通过高斯消元法，可以方便地求 解二元一次方程组，得到未知数 的解。
02
求解三元一次方程 组
对于三元一次方程组，同样可以 通过高斯消元法进行求解，得到 未知数的解。
感谢您的观看
07
总结与展望
直接法的优缺点总结
精确性
直接法通过有限步精确运算可求得方程组的精确解，避免了迭代法可能产生的误差累积。
稳定性
对于适定问题，直接法的数值稳定性较好，不易受到舍入误差的影响。
直接法的优缺点总结
直接法的优缺点总结
计算量
对于大规模问题，直接法的计算 量往往很大，需要消耗大量的计 算资源和时间。
回代
从最后一个方程开始，逐个将已知量代入方程求解未知量，直到求出 所有未知量。
列主元消元法的应用举例
求解线性方程组
列主元消元法可以用于求解各种类型 的线性方程组，包括齐次线性方程组 和非齐次线性方程组。
求解最小二乘问题
列主元消元法可以用于求解最小二乘 问题，通过构造法方程组并应用列主 元消元法，可以得到最小二乘解。
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直接法解线性方程组
实习题目：
仿照三对角方程组的追赶法解五对角方程组，其中系数矩阵为A,右端向量为：r。
将A分解为LU。
其中L为下三角，U为单位上三角。
A为7*7阶的矩阵，其中对角元为4 5 6 7 8 9 10。
上下次三角对角线元素为1 2 3 4 5 6 ；上下第二条对角线元素为1 2 3 4 5;右端项为：1 2 3 4 5 6 7.
要求：输出系数矩阵A，右端向量r,下三角矩阵L，单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y,单位上三角方程组Ux=y的解（即最终的解向量。
保留七位小数。
实现方法：通过MATLAB编程实现。
建立MATLAB脚本文件。
首先通仿照三对角方程组的追赶法得到五对角矩阵的实现算法。
然后又MATLAB编程实现。
实验结果（MATLAB截图）：
结果分析：
通过提供的计算数据得到最终的解向量x及中间过程产生的下三角矩阵L，单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y。
同时为了确保算法的正确性，我还通过MATLAB的左除运算检验得使用此算法的计算结果正确。
这里由于是用MATLAB，最终结果为分数形式，考虑到精确解一般比近似解更好，因此未化成七位小数形式。
算法实现分析：
首先计算L和U的元素。
由于已知L和U的特定形式（及除了对角线和上下次对角线和上下第二条对角线外，其余为0。
故通过矩阵的乘法即可得到LU中元素的计算公式。
（具体算法见MATLAB程序）
算法优劣点：
1.解此题时看上去要用较多的存储单元，但实际上只需存储系数矩阵A的不为0的元素。
2.A分解为LU计算完成后，后续计算x和y的“追赶过程”运算量一般来说计算量比较小。
3.此题也可用之前的LU算法求解。
但此处算法与一般的LU分解的解线性方程组的算法，相比计算量小了不少。
4.对于此处特定的对称的系数矩阵A，算法还可以进一步优化。
5.由于我在此算法中A.L U的各对角值均用一个列向量表示，一个缺点在于输出A，L,U时要重新组成矩阵形式。
不过优点在于减少了存储单元。
6.另一缺点是，未能将结果封装成一个文件。
后附MATLAB代码：
c=[4,5,6,7,8,9,10];d=[1,2,3,4,5,6,0];b=[0,1,2,3,4,5,6];e=[1,2,3,4,5,0,0];a=[0,0,1,2,3,4,5];
r=[1 2 3 4 5 6 7];
w=zeros(7,1);x=zeros(7,1);y=zeros(7,1);m=zeros(7,1);n=zeros(7,1);h=zeros(7,1);
w(1)=c(1);m(1)=d(1)/c(1);n(1)=e(1)/c(1);
h(2)=b(2);w(2)=c(2)-h(2)*m(1);m(2)=(d(2)-b(2)*n(1))/w(2);n(2)=e(2)/w(2);
for k=3:5
h(k)=b(k)-a(k)*m(k-2);
w(k)=c(k)-a(k)*n(k-2)-h(k)*m(k-1);
m(k)=(d(k)-h(k)*n(k-1))/w(k);
n(k)=e(k)/w(k);
end
h(6)=b(6)-a(6)*m(4);
w(6)=c(6)-a(6)*n(4)-h(6)*m(5);
m(6)=(d(6)-h(6)*n(5))/w(6);
h(7)=b(7)-a(7)*m(5);
w(7)=c(7)-a(7)*n(5)-h(7)*m(6);
y(1)=r(1)/w(1);y(2)=(r(2)-h(2)*y(1))/w(2);
for k=3:7
y(k)=(r(k)-a(k)*y(k-2)-h(k)*y(k-1))/w(k);
end
x(7)=y(7);
x(6)=y(6)-x(7)*m(6);
for k=2:6
x(7-k)=y(7-k)-m(7-k)*x(8-k)-n(7-k)*x(9-k); end
A=[c(1),d(1),e(1), 0,0,0 0;
b(2),c(2),d(2),e(2),0,0,0;
a(3),b(3),c(3),d(3),e(3),0,0;
0,a(4),b(4),c(4),d(4),e(4),0;
0,0,a(5),b(5),c(5),d(5),e(5);
0,0,0,a(6),b(6),c(6),d(6);
0,0,0,0,a(7),b(7),c(7)]
B=r'
U=[1 m(1) n(1) 0 0 0 0;
0 1 m(2) n(2) 0 0 0;
0 0 1 m(3),n(3),0,0;
0 0 0 1 m(4),n(4),0;
0 0 0 0 1 m(5),n(5);
0 0 0 0 0 1 m(6);
0 0 0 0 0 0 1]
L=[w(1),0 0 0 0 0 0;
h(2) w(2) 0 0 0 0 0;
a(3),h(3),w(3),0 0 0 0;
0 a(4) h(4) w(4) 0 0 0;
0 0 a(5) h(5) w(5) 0 0;
0 0 0 a(6) h(6) w(6) 0;
0 0 0 0 a(7) h(7) w(7)]
y
x。